실베스터 관성법칙

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1. 개요
2. 실베스터 관성 법칙
3. 이차 형식과 관성 지수
- 3.1. 양의 관성 지수와 음의 관성 지수
- 3.2. 부호수
4. 실베스터 관성 법칙의 일반화
- 4.1. 복소 행렬에 대한 확장
- 4.2. 정규 행렬에 대한 확장 (이클라모프의 정리)
참조

1. 개요

실베스터 관성 법칙은 대칭 행렬의 합동 변환에 대한 불변성을 다루는 선형대수학의 정리이다. 이 정리는 두 대칭 정사각 행렬이 합동일 필요충분조건이 두 행렬의 양수, 음수, 0 고유값의 개수가 각각 일치하는 것이라고 설명한다. 이차 형식의 맥락에서, 실베스터 관성 법칙은 기저 변환을 통해 이차 형식을 대각선 형태로 변환했을 때, 주어진 부호의 계수 개수가 불변량임을 나타낸다. 이 법칙은 복소 행렬 및 정규 행렬로 일반화되어, 행렬의 고유값과 합동 변환 사이의 관계를 밝히는 데 기여한다.

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실베스터 관성법칙
개요
유형	이차 형식
분야	선형대수학
명명	제임스 조지프 실베스터
설명
내용	실수 계수를 갖는 이차 형식은 실수 선형 치환에 의해 양의 제곱항, 음의 제곱항, 0의 제곱항의 합으로 축소될 수 있으며, 양의 제곱항과 음의 제곱항의 수는 치환 방법에 관계없이 일정하다.

2. 실베스터 관성 법칙

차 정사각 행렬 가 실수 성분을 갖는 대칭 행렬이라고 하자. 같은 크기의 가역 행렬 는 를 다른 차 대칭 행렬 로 변환한다. 여기서 는 의 전치 행렬이다. 즉, 행렬 와 는 합동이다. 가 의 적절한 이차 형식의 계수 행렬이라면, 는 같은 이차 형식에 가 정하는 기저 변환을 수행하여 얻을 수 있는 이차 형식의 계수 행렬이다.

대칭 행렬 는 이 방법으로 반드시 대각 성분이 중 하나인 대각 행렬 로 변환할 수 있다. 실베스터의 관성 법칙은 이러한 대각 성분의 개수가 (행렬 의 선택에 의존하지 않는) 의 불변량임을 말한다.

의 개수 를 의 '''양의 관성 지수''' (positive index of inertia)라고 하고, 의 개수 를 '''음의 관성 지수''' (negative index of inertia)라고 부른다. 의 개수 는 의 핵의 차원이며, 의 여계수(퇴화 차수)이다. 이들은 다음 관계를 갖는다.

: $n_0 + n_+ + n_- =n$

차이 를 보통 부호수라고 부른다. 그러나 의 양의 관성 지수와 음의 관성 지수, 퇴화 차수의 세 쌍 를 부호수라고 부르는 문헌도 있다.

행렬 가 좌상단부터의 차 주 소행렬식 가 모두 0이 아니라는 성질을 갖는다면, 음의 관성 지수는 다음 열의 부호 변화 횟수와 같다.

: $\Delta_0=1, \Delta_1, \ldots, \Delta_n=\det A$

2. 1. 이차 형식의 관점

이차 형식의 맥락에서, ''n''개의 변수(또는 ''n''차원 실수 벡터 공간)에 대한 실수 이차 형식 ''Q''는 적절한 기저 변환(''x''에서 y|y^영어로의 비특이 선형 변환)을 통해 다음과 같은 대각선 형식으로 변환될 수 있다.

:

Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n a_i x_i^2

여기서 각

a_i \in \{ 0,1,-1\}

이다. 실베스터 관성 법칙은 주어진 부호의 계수 개수가 ''Q''의 불변량, 즉 대각화 기저의 특정 선택에 의존하지 않는다고 명시한다. 기하학적으로 표현하면, 관성 법칙은 이차 형식의 제한이 양의 정부호(각각 음의 정부호)인 모든 최대 부분 공간은 동일한 차원을 갖는다고 말한다. 이러한 차원은 관성의 양의 지수와 음의 지수이다.

2. 2. 고유값의 관점

대칭 행렬 A의 양수 및 음수 지수는 A의 양수 및 음수 고윳값의 수와 같다. 임의의 실수 대칭 행렬 A는 QEQ^T 형태의 고유값 분해를 가지며, 여기서 E는 A의 고유값을 포함하는 대각 행렬이고, Q는 고유 벡터를 포함하는 정규 직교 정사각 행렬이다.^[3] E = WDW^T로 쓸 수 있는데, 여기서 D는 0, +1, -1을 원소로 갖는 대각 행렬이고, W는 W_ii = √|E_ii|를 원소로 갖는 대각 행렬이다. S = QW는 D를 A로 변환한다.

실베스터 관성 법칙은 다음과 같이 바꿔 말할 수 있다. 동일한 크기의 두 대칭 정사각 행렬이 동일한 수의 양수, 음수 및 0 고유값을 갖는 것은 두 행렬이 합동일 때 (B = SAS^T, 여기서 S는 비특이 행렬) 필요충분 조건이다.^[3]

2. 3. 합동 변환과의 관계

실베스터 관성 법칙에 따르면, 동일한 크기의 두 대칭 정사각 행렬이 합동일 필요충분조건은 두 행렬이 동일한 수의 양수, 음수 및 0 고윳값을 갖는 것이다. (B=SAS^\mathrm{T^영어}, 여기서 S^영어는 비특이 행렬)^[3]

대칭 행렬 $A$의 양수 및 음수 지수는 $A$의 양수 및 음수 고윳값의 수와 같다. 임의의 실수 대칭 행렬 $A$는 $QEQ^\mathrm{T}$ 형태의 고유값 분해를 가지며, 여기서 $E$는 $A$의 고윳값을 포함하는 대각 행렬이고, $Q$는 고유 벡터를 포함하는 정규 직교 정사각 행렬이다. 행렬 $E$는 $E=WDW^\mathrm{T}$로 쓸 수 있는데, 여기서 $D$는 0, +1, -1을 원소로 갖는 대각 행렬이고, $W$는 $W_{ii}=\sqrt{\vert E_{ii}\vert}$를 갖는 대각 행렬이다. 행렬 $S=QW$는 $D$를 $A$로 변환한다.

3. 이차 형식과 관성 지수

이차 형식의 맥락에서, $n$ 개의 변수에 대한 실수 이차 형식 $Q$ 는 적절한 기저 변환을 통해 다음과 같은 대각선 형식으로 변환될 수 있다.

: $Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n a_i x_i^2$

여기서 각 $a_i \in \{ 0,1,-1\}$ 이다. 실베스터 관성 법칙은 주어진 부호의 계수 개수가 $Q$ 의 불변량, 즉 대각화 기저의 특정 선택에 의존하지 않는다고 명시한다.

$n$ 차 정사각 행렬 $A$ 가 실수 성분을 갖는 대칭 행렬일 때, 같은 크기의 가역 행렬 $S$ 에 대해 $B = SAS^⊤$ 를 만족하는 $n$ 차 대칭 행렬 $B$ 가 존재한다. ( $S^⊤$ 는 $S$ 의 전치 행렬) 이때 행렬 $A$ 와 $B$ 는 합동이라고 한다. 만약 $A$ 가 $\mathbb{R}^n$ 의 적절한 이차 형식의 계수 행렬이라면, $B$ 는 같은 이차 형식에 $S$ 가 정하는 기저 변환을 수행하여 얻을 수 있는 이차 형식의 계수 행렬이다.

대칭 행렬 $A$ 는 대각 성분이 0, +1, -1 중 하나인 대각 행렬 $D$ 로 변환할 수 있다. 실베스터의 관성 법칙은 이러한 대각 성분의 개수가 (행렬 $S$ 의 선택에 의존하지 않는) $A$ 의 불변량임을 말한다.

+1의 개수를 $A$ 의 양의 관성 지수, -1의 개수를 음의 관성 지수라고 부른다. 0의 개수는 $A$ 의 핵의 차원이며, $A$ 의 여계수(퇴화 차수)이다.

3. 1. 양의 관성 지수와 음의 관성 지수

이차 형식의 맥락에서, Sylvester's law of inertia|실베스터 관성 법칙^영어은 실수 이차 형식

Q

를 대각화했을 때 나타나는 계수들의 부호 개수가 기저 변환에 관계없이 일정하다는 것을 의미한다. 이때 +1의 개수

n_+

를 '''양의 관성 지수''', -1의 개수

n_-

를 '''음의 관성 지수'''라고 부른다. 0의 개수

n_0

는

A

의 핵의 차원이며,

A

의 여계수(퇴화 차수)이다. 이들은

n_0 + n_+ + n_- = n

의 관계를 갖는다.

기하학적으로 표현하면, 관성 법칙은 이차 형식의 제한이 양의 정부호 (각각 음의 정부호)인 모든 최대 부분 공간은 동일한 차원을 갖는다는 것을 의미한다. 이러한 차원이 각각 양의 관성 지수와 음의 관성 지수이다.

행렬

A

가 좌상단부터의

k

차 주 소행렬식

\Delta_k

가 모두 0이 아니라는 성질을 갖는다면, 음의 관성 지수는

\Delta_0=1, \Delta_1, \ldots, \Delta_n=\det A

의 부호 변화의 개수와 같다.

3. 2. 부호수

이차 형식의 맥락에서, 실수 이차 형식

Q

는 적절한 기저 변환을 통해 대각선 형식으로 변환될 수 있다. 이때, 대각 성분에 나타나는 +1의 개수를 양의 관성 지수

n_+

, -1의 개수를 음의 관성 지수

n_-

라고 한다. 실베스터 관성법칙에 따르면, 이 값들은 기저 변환에 의존하지 않는 불변량이다.

n

차 정사각 행렬

A

가 대칭 행렬일 때,

A

는 대각 성분이 0, +1, -1 중 하나인 대각 행렬

D

로 변환될 수 있다. 이때 +1의 개수는

A

의 양의 관성 지수, -1의 개수는

A

의 음의 관성 지수이다. 0의 개수

n_0

는

A

의 핵의 차원이며,

A

의 여계수(퇴화 차수)이다. 이들은

n_0 + n_+ + n_- = n

의 관계를 갖는다.

n_+ - n_-

를

A

의 부호수라고 부른다. 하지만, 양의 관성 지수, 음의 관성 지수, 퇴화 차수의 세 쌍

(n_0, n_+, n_-)

자체를 부호수라고 부르는 경우도 있다.

4. 실베스터 관성 법칙의 일반화

실베스터 관성 법칙은 행렬이 복소수 성분을 가질 때에도 유효하다. 이 경우, 행렬 $A$ 와 $B$ 는 $*$ -합동이라고 하며, 비특이 복소 행렬 $S$ 가 존재하여 B=SAS^*^영어가 성립하는 경우를 말한다. 여기서 $*$ 는 켤레 전치를 나타낸다. 복소수 상황에서 실베스터 관성 법칙을 설명하면, $A$ 와 $B$ 가 에르미트 행렬일 때 $*$ -합동이기 위한 필요충분조건은 두 행렬이 동일한 관성을 가지는 것이다. 에르미트 행렬의 고윳값은 항상 실수이므로 관성의 정의는 여전히 유효하다.

오스트로프스키는 실베스터 관성 법칙의 정량적 일반화를 증명했다.^[4]^[5] $A$ 와 $B$ 가 B=SAS^*^영어를 만족하는 $*$ -합동이라면, 고윳값 $\lambda_i$ 는 다음과 같은 관계를 갖는다.

: $\lambda_{i} (B) = \theta_{i} \lambda_{i}(A), \quad i =1,\ldots,n$

여기서 $\theta_i$ 는 \lambda_n (SS^*) \leq \theta_i \leq \lambda_1 (SS^*) ^영어를 만족한다.

4. 1. 복소 행렬에 대한 확장

실베스터 관성 법칙은 복소수 성분을 가진 행렬에도 적용될 수 있다. 이 경우, A와 B가 * -합동이라는 것은 비특이 복소 행렬 S가 존재하여 B=SAS^*가 성립하는 것을 의미하며, 여기서 *는 켤레 전치를 나타낸다.

에르미트 행렬 A와 B가 * -합동이기 위한 필요충분조건은 두 행렬이 동일한 관성을 가지는 것이다. 에르미트 행렬의 고윳값은 항상 실수이므로 관성의 정의는 여전히 유효하다.^[4]^[5]

이클라모프는 관성 법칙을 임의의 정규 행렬 A와 B로 일반화했다.^[6] A와 B가 정규 행렬일 때, A와 B가 합동일 필요충분조건은 복소 평면의 원점에서 출발하는 각 열린 반직선 상에 동일한 수의 고윳값을 갖는 것이다.

4. 2. 정규 행렬에 대한 확장 (이클라모프의 정리)

이클라모프의 정리는 관성 법칙을 임의의 정규 행렬

A

와

B

로 일반화한다.^[6] 이 정리에 따르면, 두 정규 행렬

A

와

B

가 합동이기 위한 필요충분조건은 복소 평면의 원점에서 출발하는 각 열린 반직선 상에 동일한 수의 고유값을 갖는 것이다.

참조

_[1] 논문 A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares http://www.maths.ed.[...] 2008-06-27
_[2] 서적 Undergraduate algebra Oxford University Press
_[3] 서적 Groups, Matrices, and Vector Spaces: A Group Theoretic Approach to Linear Algebra Springer 2017
_[4] 논문 A quantitative formulation of Sylvester's law of inertia https://www.pnas.org[...] 1959
_[5] 논문 Modifying the inertia of matrices arising in optimization 1998
_[6] 논문 On the inertia law for normal matrices 2001
_[7] 서적 Undergraduate algebra Oxford University Press
_[8] 저널 A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares http://www.maths.ed.[...] 2008-06-27
_[9] 서적 Undergraduate algebra https://archive.org/[...] Oxford University Press

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