정규 행렬

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동치 조건
3. 성질
- 3.1. 충분 조건
- 3.2. 유리 표준형
4. 특수한 경우
5. 유추
참조

1. 개요

정규 행렬은 복소 정사각 행렬의 일종으로, 켤레 전치와의 곱셈에 대한 조건(NN† = N†N)을 만족한다. 정규 행렬은 유니터리 행렬에 의해 대각화가 가능하며, 고유 공간은 서로 직교하는 특징을 가진다. 정규 행렬은 스펙트럼 정리를 통해 대각 행렬로 표현될 수 있으며, 유니터리 행렬, 에르미트 행렬, 반 에르미트 행렬, 대각 행렬 등이 정규 행렬에 속한다. 두 정규 행렬의 합이나 곱은 일반적으로 정규 행렬이 아니지만, 교환 가능한 경우 정규 행렬이 된다. 정규 행렬은 복소수의 성질과 유사한 유추 관계를 가지며, 켤레 전치, 유니터리 행렬, 에르미트 행렬 등과 대응된다.

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정규 행렬
정의
설명	선형대수학에서, 복소수 정사각 행렬 A가 자신의 수반 행렬 A와 교환 법칙을 만족하면 정규 행렬이라고 한다. 즉, AA = AA*를 만족하는 행렬이다.
예시
종류	에르미트 행렬: A* = A 반에르미트 행렬: A* = −A 유니타리 행렬: A* = A⁻¹ 대칭 행렬: AT = A 반대칭 행렬: AT = −A 직교 행렬: AT = A⁻¹ 정규 행렬이 아닌 행렬의 예 : 정규 행렬의 예시 (영문 위키백과)
성질
정규 행렬의 필요충분조건	A는 유니타리 행렬 U에 의해 대각화될 수 있다. 즉, UAU는 대각 행렬이다. A는 서로 수직인 고유 벡터들로 이루어진 정규 직교 기저를 가진다. \|\|Ax\|\| = \|\|Ax\|\| for every x. A*는 A의 다항식으로 표현될 수 있다. A†A는 에르미트 행렬이다. A† = AB = CA인 행렬 B와 C가 존재한다. A†A는 정규 행렬이다.

2. 정의

복소수 또는 실수 정사각 행렬 N에 대해, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족하는 N을 '''정규 행렬'''이라고 정의한다.^[7]

$NN^\dagger=N^\dagger N$ ( $N^\dagger$ 는 켤레 전치).
* 실수 행렬의 경우 이 조건은 $NN^\top=N^\top N$ 과 동치이다 ( $N^\top$ 은 전치 행렬).
$U^{-1}NU$ 가 대각 행렬이 되는 유니터리 행렬 $U\in\operatorname U(n)$ 이 존재한다. (유니터리 대각화 가능성)

정규 행렬은 스펙트럼 정리와 밀접하게 관련되어 있어, 그 중요성이 크다.

2. 1. 동치 조건

복소수

n\times n

정사각 행렬

N

에 대하여, 다음은 서로 동치이며, 이를 만족시키는

N

을 정규 행렬이라고 한다.^[7]

$NN^\dagger=N^\dagger N$ ( $N^\dagger$ 는 켤레 전치).
* 실수 행렬의 경우 이 조건은 $NN^\top=N^\top N$ 과 동치이다 ( $N^\top$ 은 전치 행렬).
(유니터리 대각화 가능성) $U^{-1}NU$ 가 대각 행렬이 되는 유니터리 행렬 $U\in\operatorname U(n)$ 이 존재한다.
* 특히, 정규 행렬의 고유 공간들은 서로 직교한다.
* 이 조건은 실수 행렬에서 직교 대각화 가능성으로 대체할 수 없다. (예를 들어, 0도 또는 180도가 아닌 회전 행렬은 실수 직교 행렬이며, 특히 정규 행렬이지만, 실수 고윳값을 가지지 않는다.)

n \times n

복소수 행렬

A

에 대하여, 다음 명제들은 서로 동치이다.

#

A

는 정규 행렬이다.

#

A

는 유니타리 행렬에 의해 대각화 가능하다.

# C^n에 대한 정규 직교 기저를 형성하는

A

의 고유 벡터 집합이 존재한다.

# 모든

\mathbf{x}

에 대해

\left\| A \mathbf{x} \right\| = \left\| A^* \mathbf{x} \right\|

이다.

#

A

의 프로베니우스 노름은

A

의 고유값으로 계산할 수 있다:

\operatorname{tr} \left(A^* A\right) = \sum_j \left| \lambda_j \right|^2

.

#

A

의 에르미트 부분

\frac{1}{2}(A + A^*)

과 반 에르미트 부분

\frac{1}{2}(A - A^*)

는 교환한다.

#

A^*

는

A

의 다항식(차수

\le n - 1

)이다.^[1]

#

A^* = AU

는 어떤 유니타리 행렬

U

에 대해 성립한다.^[2]

# 극분해

A = UP

가 유니타리 행렬

U

와 양의 준정부호 행렬

P

로 주어질 때,

U

와

P

는 교환한다.

#

A

는 서로 다른 고유값을 갖는 어떤 정규 행렬

N

과 교환한다.

#

A

가 특잇값

\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n

을 갖고, 고유값이

|\lambda_1| \ge \cdots \ge |\lambda_n|

의 순서로 인덱싱될 때, 모든

1 \le i \le n

에 대해

\sigma_i = |\lambda_i|

이다.^[3]

3. 성질

정규 행렬 $N$ 과 자연수 $k$ , 복소수 $a$ 에 대해, $aN$ 과 $N^k$ 는 정규 행렬이다. 가역 정규 행렬 $N$ 에 대해, $N^{-1}$ 또한 정규 행렬이다. 그러나 두 정규 행렬의 합과 곱은 정규 행렬이 아닐 수 있다.^[7]

정규 행렬은 스펙트럼 정리가 적용되는 행렬이므로 중요하다.
정리: 행렬 $A$ 가 정규 행렬일 필요충분조건은 대각 행렬 $\Lambda$ 와 유니타리 행렬 $U$ 가 존재하여 $A = U\Lambda U^*$ 가 성립하는 것이다.

$\Lambda$ 의 대각 성분은 $A$ 의 고유값이며, $U$ 의 열은 $A$ 의 고유 벡터이다. $\Lambda$ 에서 일치하는 고유값은 고유 벡터가 $U$ 의 열로 정렬되는 것과 같은 순서로 나타난다.

정규 행렬은 적절하게 선택된 정규 직교 기저|정규 직교 기저^한국어를 기준으로 대각 행렬로 나타낼 수 있다. 즉, 행렬의 고유 공간이 $\mathbb{C}^n$ 을 span하고 $\mathbb{C}^n$ 의 표준 내적과 관련하여 쌍별로 직교하는 경우에만 정규 행렬이다.

정규 행렬에 대한 스펙트럼 정리는 모든 정사각 행렬에 대해 성립하는 슈어 분해의 특수한 경우이다. $A$ 가 정사각 행렬일 때, 슈어 분해에 의해 상삼각 행렬과 유니타리 유사하다. $A$ 가 정규 행렬이면 상삼각 행렬도 정규 행렬이고, 정규 상삼각 행렬은 대각 행렬이므로, 상삼각 행렬은 대각 행렬이어야 한다.

스펙트럼 정리는 정규 행렬의 분류를 가능하게 한다.
정리:

정규 행렬이 유니타리 행렬일 필요충분조건은 모든 고유값(스펙트럼)이 복소 평면의 단위 원에 놓여 있는 것이다.
정규 행렬이 자기 수반 행렬일 필요충분조건은 스펙트럼이 실수에 포함되는 것이다. 즉, 모든 고유값이 실수인 것이다.

일반적으로 두 정규 행렬의 합이나 곱이 정규 행렬일 필요는 없지만,

AB = BA

를 만족하는 경우,

AB

와

A+B

모두 정규 행렬이다. 또한

UAU^*

와

UBU^*

가 대각 행렬이 되도록 하는 유니타리 행렬

U

가 존재한다. 즉,

A

와

B

는 동시 대각화 가능하다.

이 특수한 경우,

U^*

의 열은

A

와

B

모두의 고유 벡터이며

\mathbb{C}^n

에서 정규 직교 기저를 형성한다.

정규 행렬의 작용소 노름은 수치 반경 및 스펙트럼 반경과 같다.

3. 1. 충분 조건

다음 복소수 정사각 행렬들은 모두 정규 행렬이다.^[7]

복소수 정사각 행렬에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.^[8]

상삼각 정규 행렬이다.
하삼각 정규 행렬이다.
대각 행렬이다.

복소 행렬 중에서 모든 유니타리, 에르미트, 반 에르미트 행렬은 정규 행렬이며, 모든 고유값은 각각 단위 모듈러스, 실수, 허수이다. 마찬가지로, 실수 행렬 중에서 모든 직교, 대칭, 반대칭 행렬은 정규 행렬이며, 모든 고유값은 각각 단위 원 위의 복소 켤레쌍, 실수, 허수이다. 그러나 모든 정규 행렬이 유니터리 행렬 또는 (반)에르미트 행렬인 것은 아니다. 왜냐하면 고유값은 일반적으로 모든 복소수일 수 있기 때문이다. 예를 들어,

:

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

는 고유값이

2, (1\pm i\sqrt{3})/2

이므로 유니타리, 에르미트 또는 반 에르미트 행렬이 아니다. 그러나 이는 정규 행렬인데, 왜냐하면

:

AA^* = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} = A^*A.

이기 때문이다.

두 정규 행렬의 합이나 곱은 반드시 정규 행렬이 아니지만, 그 둘이 가환일 때에는 정규 행렬이 된다.

''A''가 삼각 행렬이면서 정규 행렬이기도 하다면, ''A''는 대각 행렬이다. 이는 ''A''가 삼각 행렬이면서 정규 행렬일 때 ''A''^∗''A'' 및 ''AA''^∗의 대각 성분을 보면 알 수 있다. 구체적으로 ''A''를 상반 삼각 행렬로 하고, ''A''^∗''A'' 및 ''AA''^∗는 임의의 대각 성분이 같으므로, 제1-행의 노름과 제1-열의 노름은 같아

:

||A e_1||^2 = ||A^* e_1||^2

가 성립한다. 따라서 제1-행과 제1-열의 성분은 같고, 제1-열의 2번째부터 ''n''번째까지의 항은 (상반 삼각 행렬이므로) 0이며, 따라서 제1-행도 그렇다. 같은 것을 2번째부터 ''n''번째까지의 행과 열의 쌍에 대해 적용하면 ''A''가 대각 행렬이 된다는 것을 알 수 있다.

3. 2. 유리 표준형

복소수

n\times n

정사각 행렬

N

이 정규 행렬이라면,

U^{-1}NU

가 유리 표준형이 되는 유니터리 행렬

U\in\operatorname U(n)

이 존재한다.^[8] 만약

N

의 모든 성분이 실수일 경우,

Q^{-1}NQ

가 유리 표준형이 되는 실수 직교 행렬

Q\in\operatorname O(n;\mathbb R)

가 존재한다.^[8]

4. 특수한 경우

다음 복소수 정사각 행렬들은 모두 정규 행렬이다.^[7]

복소수 행렬 중에서 모든 유니타리 행렬, 에르미트 행렬, 반 에르미트 행렬은 정규 행렬이며, 모든 고유값은 각각 단위 모듈러스, 실수, 순허수이다. 마찬가지로, 실수 행렬 중에서 모든 직교 행렬, 대칭 행렬, 반대칭 행렬은 정규 행렬이며, 모든 고유값은 각각 단위 원 위의 복소 켤레쌍, 실수, 순허수이다. 그러나 모든 정규 행렬이 유니타리 행렬 또는 (반)에르미트 행렬인 것은 아니다.

:

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

는 고유값이

2, (1\pm i\sqrt{3})/2

이므로 유니타리, 에르미트 또는 반 에르미트 행렬이 아니다. 그러나 이는 정규 행렬인데, 왜냐하면

:

AA^* = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} = A^*A.

이기 때문이다.

복소수 정사각 행렬에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^[8]

상삼각 정규 행렬이다.
하삼각 정규 행렬이다.
대각 행렬이다.

''A'' 가 삼각 행렬이면서 정규 행렬이기도 하다면, ''A'' 는 대각 행렬이다.

5. 유추

정규 행렬과 복소수 사이에는 다음과 같은 유추 관계가 성립한다. 하지만 때로는 오해를 불러일으킬 수 있다.

정규 행렬의 종류	복소수의 종류
켤레 전치	복소 켤레
유니타리 행렬	단위 원 위의 복소수
에르미트 행렬	실수
에르미트 양의 정부호 행렬	양의 실수
반 에르미트 행렬	순허수
역행렬	0이 아닌 복소수
크기 조정 행렬	상수
영행렬	0
항등 행렬	1
멱등 행렬	각 고유값이 0 또는 1인 직교 투영
정규 대합 행렬	고유값이 ±1인 복소수

특히, 복소수는 다음과 같은 사상에 의해 정규 2×2 실수 행렬에 포함될 수 있다.

: $a + bi \mapsto \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} = a\, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + b\, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\,.$

이는 덧셈과 곱셈을 보존하며, 위의 모든 유추 관계를 만족한다.

참조

_[1] 문서 When $A$ is normal, use [[Lagrange polynomial|Lagrange's interpolation]] formula to construct a polynomial $P$ such that $\overline{\lambda_j} = P(\lambda_j)$ , where $\lambda_j$ are the eigenvalues of $A$ .
_[2] 간행물
_[3] 간행물
_[4] 문서 が正規のとき、の固有値に対してを満たす多項式をラグランジュ補間を用いて構築すればよい。
_[5] 문서 Horn, pp. 109
_[6] 서적 Topics in Matrix Analysis Cambridge University Press
_[7] 서적 알기쉬운 선형대수 범한서적주식회사
_[8] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1971

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