행렬식

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1. 개요

행렬식은 가환환 위의 정사각 행렬에 대해 정의되는 값으로, 선형 방정식의 해를 구하고, 선형 독립성을 확인하며, 기저의 방향과 부피를 계산하는 데 사용된다. 행렬식은 라이프니츠 공식, 다중 선형 형식, 재귀적 정의 등을 통해 정의될 수 있으며, 가우스 소거법, 분해 방법 등 다양한 계산 기법이 존재한다. 행렬식은 행렬의 가역성을 판단하고, 고유값과 연관되며, 블록 행렬 및 실베스터 행렬식 정리와 같은 다양한 성질을 갖는다. 또한, 자기 사상의 행렬식, 가환환 위의 행렬식, 외대수 등 추상대수학적 관점에서도 연구된다.

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행렬식
개요
정의	정사각 행렬에서 정의되는 스칼라 값
기호	det(A) 또는 det A 또는
계산
2 × 2 행렬	A = [[파일:2x2_matrix_det.svg\|25x25 픽셀]]이면, det(A) = ad − bc
3 × 3 행렬	A = [[파일:3x3_matrix_det.svg\|75x75 픽셀]]이면, det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh
일반적인 n × n 행렬	행렬식을 계산하는 다양한 방법이 있음 예를 들어, 라플라스 전개를 사용할 수 있음
성질
행렬식 값	가역 행렬이면 0이 아니고, 정칙 행렬이 아니면 0임
곱	det(AB) = det(A) det(B)
전치 행렬	det(A^T) = det(A)
스칼라 곱	det(cA) = cⁿ det(A) (여기서 n은 행렬의 크기)
행렬식 변환	행 또는 열을 교환하면 행렬식의 부호가 바뀜 한 행 또는 열에 스칼라를 곱하면 행렬식도 그 스칼라만큼 곱해짐 한 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 스칼라 배수를 더해도 행렬식은 변하지 않음
활용
선형 방정식	크라메르 공식을 사용하여 선형 방정식의 해를 구할 수 있음
고윳값	특성 다항식의 근을 찾으면 고윳값을 구할 수 있음
넓이와 부피	평행사변형 또는 평행육면체의 넓이 또는 부피를 계산하는 데 사용될 수 있음
참고
관련 항목	선형대수학 행렬 고윳값과 고유 벡터 역행렬 크라메르 공식
일반 정보
영어	Determinant
프랑스어	Déterminant
독일어	Determinante
스페인어	Determinante
중국어	行列式 (Hánglièshì)
일본어	行列式 (Gyōretsushiki)

2. 정의

가환환 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M=(M_{ij})$ 의 '''행렬식'''은 $K$ 의 원소로, 보통 $\det M$ 또는 $|M|$ 으로 표기한다.

: $\det M=\det\begin{pmatrix}M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1n} \\M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\M_{n1} & M_{n2} & \cdots & M_{nn} \\\end{pmatrix}\quad \text{또는} \quad|M|=\begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1n} \\M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\M_{n1} & M_{n2} & \cdots & M_{nn} \\\end{vmatrix}$

행렬식은 여러 가지 동등한 방법으로 정의될 수 있다. 주요 정의 방식은 다음과 같다.

1. '''다중 선형 형식(Multilinearity)과 교대성(Alternating property)''': 행렬식은 행렬의 행벡터(또는 열벡터)에 대한 유일한 교대 다중 선형 형식으로 정의된다. 이 함수는 단위 행렬에 대해 값 1을 가진다. 이는 행렬식의 기본적인 성질(선형성, 행 교환 시 부호 변경 등)을 공리적으로 정의하는 방식이다.

2. '''라이프니츠 공식(Leibniz formula)''': 행렬식은 행렬의 성분들을 이용한 특정 다항식으로 명시적으로 정의된다. 이 공식은 모든 순열에 대해 각 행과 열에서 하나씩 성분을 뽑아 곱한 항들의 합(부호 포함)으로 나타낸다.

3. '''라플라스 전개(Laplace expansion)''': 행렬식은 더 작은 크기의 행렬식(소행렬식)을 이용하여 재귀적으로 정의된다. 특정 행 또는 열을 기준으로 전개하여 계산할 수 있다.

가장 간단한 예로, $2 \times 2$ 행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 의 행렬식은 다음과 같이 정의된다.

: $\det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

예를 들어, $\det \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} = (3 \times (-4)) - (7 \times 1) = -12 - 7 = -19$ 이다.

기하학적으로, $n$ 차 정사각 행렬의 행렬식은 해당 행렬이 나타내는 선형 변환이 $n$ 차원 공간의 부피(또는 2차원의 경우 넓이)를 몇 배로 변화시키는지를 나타내는 값으로 해석될 수 있다. 행렬식의 절댓값은 부피의 확대/축소 비율을 나타내고, 부호는 변환에 의해 공간의 방향(orientation)이 보존되는지(+), 반전되는지(-)를 나타낸다. 행렬식이 0인 경우는 해당 변환이 공간을 더 낮은 차원으로 축소시킨다는 의미이며, 이는 행렬이 가역적이지 않음(즉, 정칙 행렬이 아님)을 나타낸다.

2. 1. 다중 선형 형식을 통한 정의

행렬식은 행 또는 열에 대한 표준적인 교대 다중 선형 형식으로 정의할 수 있다.

가환환

K

위의

n\times n

정사각 행렬

M

을 행벡터

\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_n \in K^{\oplus n}

의 튜플

(\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_n)

으로 생각하자. 여기서

\mathbf{u}_i = (M_{i1}, \dots, M_{in})

이다.

이때, 행렬식

\det\colon\operatorname{Mat}(n;K)\to K

는 단위 행렬에서의 값이 1인 유일한 교대

K

-다중 선형 형식이다. 즉, 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 함수이다.

'''다중 선형성'''(Multilinearity): 함수는 각 행벡터에 대해 선형이다. 즉, 임의의 $i\in\{1,\dotsc,n\}$ 및 행벡터 $\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_i,\dotsc,\mathbf{u}_n\in K^{\oplus n}$ 및 스칼라 $a,b\in K$ 에 대하여 다음이 성립한다.

\det(\mathbf{u}_1,\dotsc,a\mathbf{u}_i+b\mathbf{v}_i,\dotsc,\mathbf{u}_n)=a\det(\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_n)+b\det(\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{v}_i,\dotsc,\mathbf{u}_n)

'''교대성'''(Alternating property): 행렬의 두 행이 같으면 행렬식은 0이다. 즉, 임의의 $i,j\in\{1,\dotsc,n\}$ 및 행벡터 $\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_n\in K^{\oplus n}$ 에 대하여, 만약 $\mathbf{u}_{i}=\mathbf{u}_{j}$ 를 만족하는 $i \neq j$ 가 존재한다면 다음이 성립한다.

\det(\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_n)=0

'''정규성'''(Normalization): 단위 행렬 $I_n = (\mathbf{e}_1,\dotsc,\mathbf{e}_n)$ 의 행렬식은 1이다.

\det(I_n) = \det(\mathbf{e}_1,\dotsc,\mathbf{e}_n)=1

다중 선형성과 교대성 조건으로부터, 행렬의 두 행을 바꾸면 행렬식의 부호가 반대가 된다는 성질(㈁’)을 유도할 수 있다. 즉, 임의의

i,j\in\{1,\dotsc,n\}

(

i \neq j

)에 대하여 다음이 성립한다.

\det(\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_j,\dotsc,\mathbf{u}_i,\dotsc,\mathbf{u}_n)=-\det(\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_i,\dotsc,\mathbf{u}_j,\dotsc,\mathbf{u}_n)

만약

K

가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 이 성질(㈁’)은 교대성 조건(㈁)과 동치이다.

이 정의는 행벡터 대신 열벡터를 사용하여도 동일하게 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다. 즉, 행렬식은 열에 대해서도 다중 선형성과 교대성을 만족한다.

예를 들어, 실수체 위의 2차 정사각 행렬

X=\begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix}

는 평면 위의 선형 변환

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

를 정의한다. 두 평면 벡터

\mathbf{u} = (u_0, u_1)

,

\mathbf{v} = (v_0, v_1)

가 이루는 평행사변형의 방향을 고려한 넓이는

A(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = u_0 v_1 - u_1 v_0

로 주어진다. 이때

A(X\mathbf{u}, X\mathbf{v}) = (ad - bc)A(\mathbf{u}, \mathbf{v})

가 성립한다. 이는 선형 변환

X

에 의해 평면 도형의 넓이가

(ad - bc)

배로 변환됨을 의미하며, 이 값이 바로 행렬

X

의 행렬식

\det X = ad - bc

이다. 행렬식은 다중 선형성과 교대성을 만족하는 것을 확인할 수 있다.

일반적으로

n

차 정사각 행렬

X

의 행렬식은

X

가 나타내는 선형 변환이

n

차원 도형의 부피(초부피)를 몇 배로 확대 또는 축소하는지를 나타내는 값으로 해석할 수 있다. 행렬식의 부호는 변환에 의한 방향 보존 여부를 나타낸다.

이 정의에 따라 행렬식은 다음과 같은 성질을 가진다.

행렬의 한 행(또는 열)에 스칼라 $\lambda$ 를 곱하면 행렬식도 $\lambda$ 배가 된다. (선형성)

\det(\dotsc, \lambda\mathbf{u}_i, \dotsc) = \lambda \det(\dotsc, \mathbf{u}_i, \dotsc)

행렬의 한 행(또는 열)이 두 벡터의 합으로 표현되면, 행렬식은 각 벡터를 해당 행(또는 열)으로 하는 두 행렬의 행렬식의 합과 같다. (선형성)

\det(\dotsc, \mathbf{u}_i + \mathbf{v}_i, \dotsc) = \det(\dotsc, \mathbf{u}_i, \dotsc) + \det(\dotsc, \mathbf{v}_i, \dotsc)

행렬의 두 행(또는 열)을 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀐다. (교대성에서 유도)

\det(\dotsc, \mathbf{u}_i, \dotsc, \mathbf{u}_j, \dotsc) = - \det(\dotsc, \mathbf{u}_j, \dotsc, \mathbf{u}_i, \dotsc)

행렬의 두 행(또는 열)이 같으면 행렬식은 0이다. (교대성)
행렬 $A$ 의 행렬식과 전치 행렬 $A^T$ 의 행렬식은 같다. 따라서 위의 모든 성질은 행에 대해서도 동일하게 성립한다.

2. 2. 라이프니츠 공식

가환환

K

위의

n\times n

정사각 행렬

M=(M_{ij})

의 행렬식은 행렬의 성분들을 이용한 특정 다항식으로 정의될 수 있다. 이 정의를 '''라이프니츠 공식'''(Leibniz formula^영어)이라고 부른다.

\det M = \sum_{\sigma\in\operatorname{Sym}(n)}\sgn(\sigma)\prod_{i=1}^n M_{i,\sigma(i)}

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같다.

$\operatorname{Sym}(n)$ : 집합 $\{1, 2, \dots, n\}$ 의 모든 순열들의 집합, 즉 대칭군이다.
$\sigma$ : $\operatorname{Sym}(n)$ 에 속하는 하나의 순열이다.
$\sgn\sigma$ : 순열의 부호수이다. 순열 $\sigma$ 가 짝순열이면 +1, 홀순열이면 -1의 값을 가진다.
$\prod_{i=1}^n M_{i,\sigma(i)}$ : 행렬 $M$ 의 성분들을 곱한 것이다. 각 항은 $M_{1,\sigma(1)} \cdot M_{2,\sigma(2)} \cdots M_{n,\sigma(n)}$ 형태로, 각 행과 각 열에서 정확히 하나의 성분만을 선택하여 곱한 것이다.

라이프니츠 공식의 우변은 총

n!

(계승) 개의 항을 가지는

n

차 동차 다항식이다.

n \ge 2

인 경우, 전체 항의 절반은 부호가 +이고 나머지 절반은 부호가 -이다.

행렬식은 보통

\det M

또는

|M|

으로 표기한다. 행렬의 성분을 직접 나타낼 때는 다음과 같이 수직선으로 행렬을 감싸 표기한다.

\begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1n} \\M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\M_{n1} & M_{n2} & \cdots & M_{nn} \\\end{vmatrix}

=== 예시 ===

==== 2 × 2 행렬 ====

2 × 2 행렬

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

의 행렬식은 다음과 같다.

\det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

이 계산에는 두 개의 순열이 관여한다. 항등 순열

\sigma = (1, 2)

(부호 +1)은

a_{1,1}a_{2,2} = ad

항을 만들고, 순열

\sigma = (2, 1)

(부호 -1)은

a_{1,2}a_{2,1} = bc

항을 만든다.

예를 들어,

\det \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} = (3 \times (-4)) - (7 \times 1) = -12 - 7 = -19

==== 3 × 3 행렬 ====

3 × 3 행렬

A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}

의 행렬식은 다음과 같다.

\det A = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

이는 총

3! = 6

개의 항으로 이루어진다. 각 항은 행렬의 서로 다른 행과 열에서 가져온 세 성분의 곱으로 구성되며, 부호는 해당 순열의 부호에 따라 결정된다.

3x3 행렬의 행렬식을 구하는 사루스 규칙. 파란색 대각선 성분의 곱을 더하고, 빨간색 대각선 성분의 곱을 뺀다.

3 × 3 행렬의 행렬식은 사루스 규칙을 이용하여 시각적으로 계산할 수 있다. 행렬의 오른쪽에 첫 번째와 두 번째 열을 반복해서 쓴 다음, 북서쪽에서 남동쪽으로 향하는 대각선 상의 세 성분들의 곱을 더하고 (파란색 선), 남서쪽에서 북동쪽으로 향하는 대각선 상의 세 성분들의 곱을 뺀다 (빨간색 선). '''주의할 점은 사루스 규칙은 3 × 3 행렬에만 적용 가능하며, 더 큰 크기의 행렬에는 적용되지 않는다는 것이다.'''

=== 다른 표기법 ===

라이프니츠 공식은 시그마 표기법과 파이 표기법을 사용하여 다음과 같이 더 간결하게 표현할 수 있다.

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}\right)

여기서

A = [a_{ij}]

는

n \times n

행렬이고,

S_n

은

n

차 대칭군이다.

레비-치비타 기호

\varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}

를 이용하면 라이프니츠 공식을 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

\det(A) = \sum_{i_1, i_2, \dots, i_n = 1}^n \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} a_{1, i_1} a_{2, i_2} \dots a_{n, i_n}

여기서 합은

1

부터

n

까지의 정수로 이루어진 모든

n

-튜플

(i_1, i_2, \dots, i_n)

에 대해 수행된다. 레비-치비타 기호는 인덱스

(i_1, i_2, \dots, i_n)

가

(1, 2, \dots, n)

의 짝순열이면 +1, 홀순열이면 -1, 같은 인덱스가 하나라도 있으면 0의 값을 갖는다.

2. 3. 재귀적 정의

행렬식은 행 또는 열에 대한 라플라스 전개를 통해 작은 크기의 행렬부터 시작하여 재귀적으로 정의할 수 있다.

가환환

K

위의

n \times n

정사각 행렬

A = (a_{ij}) \in \operatorname{Mat}(n;K)

에 대하여,

A

의

i

번째 행과

j

번째 열을 제거하여 얻은

(n-1) \times (n-1)

부분 행렬의 행렬식을 소행렬식

M_{ij}

라고 한다. 표현식

(-1)^{i+j}M_{ij}

는

(i, j)

여인자라고 하며,

\Delta_{ij}

로 표기하기도 한다. 즉,

\Delta_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}

이다.

이를 이용하여 행렬식은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

우선 크기가 0인 행렬(항목이 없는 행렬)의 행렬식은 1로 정의한다.

:

\det\begin{pmatrix}\end{pmatrix}=1

크기가

n \times n

(

n \ge 1

)인 행렬

A

의 행렬식은 임의의 행

i

(

1 \le i \le n

)에 대해 다음과 같이 라플라스 전개를 이용하여 정의할 수 있다.

:

\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} = \sum_{j=1}^n a_{ij} \Delta_{ij}

이를 ''

i

번째 행을 따른 라플라스 전개''라고 한다.

마찬가지로, 임의의 열

j

(

1 \le j \le n

)에 대해 라플라스 전개를 사용하여 정의할 수도 있다.

:

\det(A) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} = \sum_{i=1}^n a_{ij} \Delta_{ij}

이를 ''

j

번째 열을 따른 라플라스 전개''라고 한다.

이 정의는 어떤 행이나 열을 선택하여 전개하든 항상 같은 결과를 주며, 다른 방식의 행렬식 정의와 동치이다. 여인자를 이용한 전개는 차수가 1만큼 작은 행렬식들의 계산으로 귀결되므로, 전개를 반복하여 원래 행렬의 행렬식을 계산할 수 있다.

예를 들어,

3 \times 3

행렬의 행렬식을 첫 번째 행(

i=1

)을 따라 전개하면 다음과 같다.

:

\begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix} =a\begin{vmatrix}e&f\\ h&i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d&f\\ g&i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d&e\\ g&h\end{vmatrix}

여기서

2 \times 2

행렬의 행렬식

\begin{vmatrix}p&q\\ r&s\end{vmatrix} = ps - qr

를 계산하면 원래의 행렬식을 얻을 수 있다.

라플라스 전개는 행렬식을 계산하기 위해 반복적으로 사용할 수 있지만, 이 방법은 큰 행렬의 경우 계산량이 급격히 증가하여 비효율적이다. 그러나 반데르몬드 행렬과 같이 특정 구조를 가진 행렬이나 작은 크기의 행렬식을 계산하는 데는 유용하다.

3. 성질

가환환 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M$ 의 행렬식 $\det M$ 또는 $|M|$ 은 여러 중요한 성질을 가지며, 이는 행렬식의 계산과 응용에 핵심적인 역할을 한다.

행렬식은 행렬 곱에 대해 곱셈적 성질( $\det(MN) = \det M \det N$ )을 만족하며, 이는 행렬식이 환 준동형임을 의미한다. 또한, 행렬의 열벡터(또는 행벡터)에 대해 다중 선형성과 교대성을 갖는다. 이러한 성질은 행렬식의 정의이자 특징이며, 가우스 소거법과 같은 계산 기법의 기초가 된다. 예를 들어, 두 행이나 열을 바꾸면 부호가 바뀌고, 같은 행이나 열이 있으면 0이 되며, 한 행이나 열에 상수를 곱하면 행렬식 값도 그 상수 배가 된다. 전치 행렬의 행렬식은 원래 행렬의 행렬식과 같다( $\det(M^\top) = \det M$ ).

2x2 행렬 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 의 행렬식 $ad-bc$ 의 절댓값은 벡터 $(a, b)$ 와 $(c, d)$ 가 이루는 평행사변형의 넓이와 같다.

3x3 행렬의 행렬식의 절댓값은 행렬의 열벡터(또는 행벡터)들이 이루는 평행육면체의 부피와 같다.

기하학적으로 실수 행렬의 행렬식은 해당 행렬이 나타내는 선형 변환에 의한 부피의 변화율(스케일링 인자) 및 방향 변화를 나타낸다. 행렬식의 절댓값은 부피(또는 넓이)의 확대/축소 비율을 의미하며, 부호는 변환이 공간의 방향을 보존하는지(+), 반전하는지(-)를 나타낸다. 행렬식이 0인 경우는 해당 변환이 공간을 더 낮은 차원으로 축소시켜 부피가 0이 됨을 의미하며, 이는 행렬이 가역적이지 않음과 동치이다.

이 외에도 행렬식은 행렬의 가역성 판별, 연립 일차 방정식의 해법, 고윳값 계산 등 다양한 수학적 문제와 깊은 관련을 맺고 있다. 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. 기본 성질

가환환

K

위의

n\times n

정사각 행렬

A, B

및 스칼라

c \in K

에 대해 행렬식은 다음과 같은 기본적인 성질들을 만족한다.

단위 행렬: 단위 행렬 $I_n$ 의 행렬식은 1이다.^[1]

:

\det(I_n) = 1

곱셈적 성질: 두 행렬의 곱의 행렬식은 각 행렬의 행렬식의 곱과 같다.^[8]

:

\det(AB) = \det(A)\det(B)

이 성질로부터, 행렬 $A$ 가 가역 행렬일 경우 (즉, 역행렬 $A^{-1}$ 이 존재할 경우), 그 역행렬의 행렬식은 원래 행렬식의 역수가 된다.

:

\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1} = \frac{1}{\det A}

행렬 $A$ 가 가역 행렬일 필요충분조건은 $\det(A) \neq 0$ 이다.

스칼라 곱: 행렬 $A$ 에 스칼라 $c$ 를 곱한 행렬 $cA$ 의 행렬식은 $c^n \det(A)$ 와 같다. ( $n$ 은 행렬의 크기)

:

\det(cA) = c^n \det(A)

전치 불변성: 전치 행렬 $A^\top$ 의 행렬식은 원래 행렬 $A$ 의 행렬식과 같다.^[7]

:

\det(A^\top) = \det(A)

이 성질 때문에, 아래에 설명될 열에 대한 모든 성질은 행에 대해서도 동일하게 성립한다.

다중 선형성: 행렬식은 각 열(또는 행)에 대해 선형이다. 예를 들어, 행렬 $A$ 를 열벡터 $(\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n)$ 으로 표현할 때,
$j$ 번째 열벡터가 다른 두 벡터 $\mathbf{v}$ 와 $\mathbf{w}$ 의 합 $\mathbf{a}_j = \mathbf{v} + \mathbf{w}$ 일 경우:

:

| \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{v} + \mathbf{w}, \dots, \mathbf{a}_n | = | \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{v}, \dots, \mathbf{a}_n | + | \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{w}, \dots, \mathbf{a}_n |

$j$ 번째 열벡터에 스칼라 $c$ 를 곱할 경우:

:

| \mathbf{a}_1, \dots, c\mathbf{a}_j, \dots, \mathbf{a}_n | = c \cdot | \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_j, \dots, \mathbf{a}_n |

교대성: 행렬식은 교대성을 갖는다.
행렬의 두 열(또는 행)을 서로 바꾸면 행렬식의 부호가 반대가 된다.

:

| \dots, \mathbf{a}_i, \dots, \mathbf{a}_j, \dots | = - | \dots, \mathbf{a}_j, \dots, \mathbf{a}_i, \dots |

만약 두 열(또는 행)이 동일하면 행렬식의 값은 0이다.

:

| \dots, \mathbf{v}, \dots, \mathbf{v}, \dots | = 0

이 성질로부터, 한 열(또는 행)의 스칼라 배를 다른 열(또는 행)에 더해도 행렬식의 값은 변하지 않는다.

:

| \dots, \mathbf{a}_i + c\mathbf{a}_j, \dots, \mathbf{a}_j, \dots | = | \dots, \mathbf{a}_i, \dots, \mathbf{a}_j, \dots |

이는 가우스 소거법을 이용하여 행렬식을 계산할 때 중요한 역할을 한다.

선형 종속: 행렬의 열벡터(또는 행벡터)들이 선형 종속이면 행렬식은 0이다.

삼각 행렬: 삼각 행렬 (상삼각행렬 또는 하삼각행렬)의 행렬식은 주대각선 성분들의 곱과 같다.

:

\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} = \prod_{i=1}^n a_{ii}

대각 행렬은 삼각 행렬의 특수한 경우이다.

켤레 복소수: 만약 행렬의 성분이 복소수라면, 켤레 전치 (에르미트 켤레) $A^*$ 의 행렬식은 원래 행렬식의 켤레 복소수와 같다.

:

\det(A^*) = \overline{\det A}

3. 2. 가역성과의 관계

가환환

K

위의

n\times n

정사각 행렬

M\in\operatorname{Mat}(n;K)

에 대하여, 가역 행렬은 행렬식이

K

의 가역원인 것과 동치이다. 특히, 만약

K

가 체일 경우, 가역 행렬은 행렬식이 0이 아닌 것과 동치이다.

3. 3. 크라메르 공식

가환환

K

위의

n\times n

정사각 행렬

M

과 벡터

b

에 대한 연립 일차 방정식

Mx=b

가 주어졌다고 하자. 만약

M

이 가역 행렬이라면 (즉,

\det M

이

K

의 가역원이라면), 이 방정식의 유일한 해

x = (x_1, \dots, x_n)

는 다음과 같이 주어진다.

:

x_i = (\det M)^{-1} \det(M_i) \qquad (i \in \{1, \dotsc, n\})

여기서

M_i

는

M

의

i

번째 열을 열벡터

b

로 교체하여 얻는 행렬이다.

:

M_i =\begin{pmatrix}M_{-,1} & \cdots & M_{-,i-1} & b & M_{-,i+1} & \cdots & M_{-,n}\end{pmatrix}

이 공식을 크라메르 공식이라고 한다. 이 공식은 행렬식의 열에 대한 선형성을 이용하여 유도할 수 있다. 즉,

j

번째 열벡터를

a_j

라고 할 때,

b = \sum_{j=1}^n x_j a_j

이므로,

:

\det(M_i) =\det\begin{bmatrix}a_1 & \ldots & a_{i-1} & b & a_{i+1} & \ldots & a_n\end{bmatrix} =\det\begin{bmatrix}a_1 & \ldots & a_{i-1} & \sum_{j=1}^n x_j a_j & a_{i+1} & \ldots & a_n\end{bmatrix}

:

\qquad = \sum_{j=1}^n x_j \det\begin{bmatrix}a_1 & \ldots & a_{i-1} & a_j & a_{i+1} & \ldots & a_n\end{bmatrix} =x_i\det(A)

이다. 마지막 등식은

j \neq i

일 때 행렬

\begin{bmatrix}a_1 & \ldots & a_{i-1} & a_j & a_{i+1} & \ldots & a_n\end{bmatrix}

는

j

열과

i

열이 같아 행렬식이 0이 되기 때문에 성립한다.

크라메르 공식은 수반 행렬을 이용하여 설명할 수도 있다. 행렬

A

의

(i, j)

여인수를

\Delta_{ij}

라고 할 때,

A

의 수반 행렬

\operatorname{adj}(A)

는

(j, i)

성분이

\Delta_{ij}

인 행렬로 정의된다.

:

\operatorname{adj}(A) := \begin{bmatrix}\Delta_{11} & \Delta_{21} & \cdots & \Delta_{n1} \\\Delta_{12} & \Delta_{22} & \cdots & \Delta_{n2} \\\vdots      & \vdots      & \ddots & \vdots \\\Delta_{1n} & \Delta_{2n} & \cdots & \Delta_{nn}\end{bmatrix}

이때 다음 항등식이 성립한다.

:

A\, \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A)\, A = \det(A)\, I_n

여기서

I_n

은

n\times n

단위 행렬이다. 만약

\det(A) \neq 0

이면,

A

의 역행렬은 다음과 같이 주어진다.

:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)

따라서 연립 일차 방정식

Ax=b

의 해는

x = A^{-1}b = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)b

로 표현되며, 이 식의 각 성분을 계산하면 크라메르 공식과 동일한 결과를 얻는다.

크라메르 공식을 사용하여 연립 방정식을 푸는 알고리즘의 계산 복잡도는

\mathcal{O}(n^3)

이다. 이는 가우스 소거법을 사용하는 LU 분해, QR 분해, 특이값 분해 등 다른 일반적인 해법들과 비슷한 수준이다.

크라메르 공식의 초기 형태는 동서양에서 비교적 이른 시기에 나타났다. 중국 송나라의 수학자 양휘(1238년? ~ 1298년)는 『상해구장산술』에서 숫자 계수를 갖는 2원 1차 연립 방정식의 해를 행렬식과 유사한 개념을 포함하여 크라메르 공식 형태로 제시했다. 유럽에서는 1545년 제롤라모 카르다노가 그의 저서 ''Ars Magna''^la에서 2x2 행렬의 경우에 해당하는 공식을 제시했으며, 이를 ''regula de modo''^la (양태에 관한 규칙)라고 불렀다. 하지만 이들은 오늘날과 같은 일반적인 '행렬식' 개념을 정의하지는 않았다.

보다 일반적인 행렬식과 크라메르 공식에 대한 연구는 약 100년 뒤 일본과 독일에서 거의 동시대에 독립적으로 이루어졌다. 일본의 와산가 세키 고와(1642?-1708)는 그의 저서 『해복제지법』에서 다변수 고차 방정식의 변수 소거법, 즉 종결식 이론을 다루면서 행렬식 개념을 사용했다. 그는 3차, 4차 행렬식에 대해서는 올바른 계산법을 제시했으나, 5차의 경우는 항상 0이 되는 오류가 있었다. 세키 고와는 이후 『대성산경』(1683년~1710년경 집필)에서 일반적인 경우의 제1열에 대한 여인수 전개를 정확히 제시했다. 비슷한 시기 간사이 지방의 다나카 요시자네(1651-1719)는 『산학분해』(1690년경)에서 5차까지의 행렬식을 다루었고, 이세키 지신(1662-1707)은 『산법발휘』(1690년 간행)에서 제1행에 대한 일반적인 여인수 전개를 제시했다. 이들의 연구는 주로 종결식을 표현하는 수단으로서 행렬식을 다루었으며, 행렬식 자체를 독립적인 연구 대상으로 삼았는지는 명확하지 않다. 또한 당시 일본의 쇄국 정책으로 인해 이러한 연구가 서양 수학계에 영향을 주지는 못했다.

같은 시기 독일의 라이프니츠(1646-1716)는 여러 개의 선형 방정식 계를 연구하며 계수를 나타내기 위해 이중 첨자를 사용했다. 1678년에 그는 3개의 미지수를 갖는 3원 1차 연립 방정식에 대한 행렬식의 열 전개 공식을 발견했고, 같은 해 4차 행렬식에 대해서도 부호 오류를 제외하면 올바른 공식을 얻었다. 하지만 라이프니츠는 이 결과를 발표하지 않아 약 50년 동안 알려지지 않았다.

유럽에서 행렬식 연구가 다시 활발해진 것은 18세기 중반이다. 매클로린(1698-1746)은 사후 출판된 대수학 저작(1748년)에서 4원 1차 연립 방정식의 해를 올바른 형태로 제시했다. 1750년 크라메르(1704-1752)는 증명 없이 N개의 변수를 갖는 N원 1차 연립 방정식의 해를 구하는 일반적인 규칙, 즉 크라메르 공식을 공식화했다. 이후 에티엔 베주(1764년), 알렉상드르테오필 방데르몽드(1771년, 반데르몬드 행렬식) 등이 연구를 이어갔고, 1772년 라플라스가 여인수 전개 공식을 확립했으며, 1773년 라그랑주는 행렬식과 부피 사이의 관계를 발견했다.

오늘날 사용되는 determinant^영어라는 용어는 가우스(1777-1855)가 1801년 저서 ''산술 연구''^la에서 이차 형식의 판별식을 지칭하며 처음 사용했다.

3. 4. 고윳값과의 관계

체

K

위의

n\times n

정사각 행렬

M\in\operatorname{Mat}(n;K)

의 행렬식은 (중복도를 감안한) 모든 고윳값의 곱과 같다. 이는 행렬의 특성 다항식의 상수항에 해당한다.

:

\det M=\lambda_1\cdots\lambda_n

행렬식은 선형대수학의 중요한 개념인 행렬의 고윳값 및 특성 다항식과 깊은 관련이 있다.

A

가 복소수를 성분으로 갖는

n \times n

행렬이라고 가정하면, 대수학의 기본 정리에 따라

A

는 정확히 ''n''개의 고윳값

\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n

을 가진다. 여기서 대수적 중복도

\mu

를 가진 고윳값은 목록에

\mu

번 나타나는 것으로 간주한다. 이때 행렬

A

의 행렬식은 이 고윳값들의 곱과 같다.

:

\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.

참고로, 0이 아닌 모든 고윳값의 곱을 유사 행렬식이라고 부른다.

이 관계로부터 행렬

A

의 행렬식이

0

인 것과

0

이

A

의 고윳값 중 하나인 것은 서로 동치임을 알 수 있다. 즉, 행렬

A

가 가역적이라는 것은

0

이

A

의 고윳값이 아니라는 의미와 같다.

행렬

A

의 특성 다항식은 다음과 같이 정의된다.^[18]

:

\chi_A(t) = \det(t \cdot I - A).

여기서

t

는 다항식의 변수이고,

I

는

A

와 같은 크기의 항등 행렬이다. 특성 다항식은 행렬

A

의 고윳값을 찾는 데 사용된다. 고윳값

\lambda

는 특성 다항식의 근이므로, 다음 방정식을 만족하는 복소수이다.

:

\chi_A(\lambda) = 0.

행렬의 대각합 tr(''A'')은 정의상

A

의 대각 성분들의 합이며, 이는 모든 고윳값들의 합과 같다. 행렬식(고윳값의 곱)과 대각합(고윳값의 합)은 행렬 지수 함수를 통해 다음과 같이 연결된다. 복소 행렬

A

에 대해 다음 식이 성립한다.

:

\det(\exp(A)) = \exp(\operatorname{tr}(A))

여기서 exp(

A

)는

A

의 행렬 지수를 나타낸다. 이는

A

의 각 고윳값

\lambda

에 대해 exp(

\lambda

)가 exp(

A

)의 고윳값이 되기 때문이다.

또한, 행렬식의 절댓값은 특잇값과도 관련이 있다. 정사각 행렬

A

의 특잇값을

\sigma_1(A), \ldots, \sigma_n(A)

라고 할 때, 다음 관계가 성립한다.

:

\bigl| \det(A) \bigr| = \prod_{k=1}^n \bigl| \lambda_k(A) \bigr| = \prod_{k=1}^n \sigma_k(A)

즉, 행렬식의 절댓값은 모든 고윳값의 절댓값의 곱과 같으며, 또한 모든 특잇값의 곱과도 같다.

3. 5. 블록 행렬

블록 행렬은 행렬을 더 작은 부분 행렬(블록)들로 나눈 것으로 생각할 수 있다.

m \times m

,

m \times n

,

n \times m

,

n \times n

크기의 네 부분 행렬

A, B, C, D

로 구성된 블록 행렬

M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}

의 행렬식은 특정 조건 하에서 각 블록의 행렬식과 관련된 식으로 표현될 수 있다.

특히, 블록 삼각 행렬의 경우 행렬식 계산이 간단하다. 즉,

B

또는

C

가 영행렬일 때 다음과 같이 계산된다.

:

\det\begin{pmatrix}A& 0\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D) = \det\begin{pmatrix}A& B\\ 0& D\end{pmatrix}.

이는 블록 대각 행렬 (

B=0, C=0

)의 행렬식이 대각 블록들의 행렬식의 곱(

\det(A)\det(D)

)임을 포함한다.

일반적인 블록 행렬의 행렬식은 슈어 보수를 이용하여 계산할 수 있다.

만약 $A$ 가 가역 행렬이라면, 행렬식은 다음과 같다.

:

\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D - C A^{-1} B).

여기서

D - C A^{-1} B

는

A

의 슈어 보수이다.

만약 $D$ 가 가역 행렬이라면, 행렬식은 다음과 같다.

:

\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(D) \det(A - B D^{-1} C).

여기서

A - B D^{-1} C

는

D

의 슈어 보수이다.

이러한 공식들은 실베스터 행렬식 정리와 관련이 있다.

블록들이 같은 크기의 정사각 행렬이고 특정 조건을 만족하는 경우, 더 간단한 공식이 존재한다.

만약 $C$ 와 $D$ 가 교환 법칙을 만족한다면 ( $CD = DC$ ), 다음 공식이 성립한다.^[12]

:

\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(AD - BC).

이 공식은 블록 간의 적절한 교환 조건을 만족하는 더 큰 블록 행렬로 일반화될 수 있다.^[13]

만약 $A=D$ 이고 $B=C$ 인 경우 ( $A$ 와 $B$ 가 교환되지 않더라도), 다음 공식이 성립한다.

:

\det\begin{pmatrix}A& B\\ B& A\end{pmatrix} = \det(A - B) \det(A + B).

3. 6. 실베스터 행렬식 정리

실베스터 행렬식 정리는 ''A''가 ''m'' × ''n'' 행렬이고, ''B''가 ''n'' × ''m'' 행렬일 때 성립하는 정리이다. 즉, ''A''와 ''B''는 곱하는 순서에 따라 각각 ''m'' × ''m'' 또는 ''n'' × ''n'' 크기의 정사각 행렬을 만들 수 있는 차원을 가진다. 이 정리는 다음과 같이 표현된다.

:

\det\left(I_\mathit{m} + AB\right) = \det\left(I_\mathit{n} + BA\right)

여기서 ''I''_''m''과 ''I''_''n''은 각각 ''m'' × ''m'' 및 ''n'' × ''n'' 단위 행렬이다.

이 일반적인 결과로부터 다음과 같은 몇 가지 유용한 결과들을 얻을 수 있다.

''m''개의 성분을 가지는 열 벡터 ''c''와 행 벡터 ''r''에 대해, 이 공식은 랭크 1인 행렬과 단위 행렬의 합으로 표현되는 행렬의 행렬식을 간단히 계산할 수 있게 해준다.

::

\det\left(I_\mathit{m} + cr\right) = 1 + rc

좀 더 일반적으로,^[14] 임의의 가역 ''m'' × ''m'' 행렬 ''X''에 대해 다음이 성립한다.

::

\det(X + AB) = \det(X) \det\left(I_\mathit{n} + BX^{-1}A\right)

위와 같은 열 벡터 ''c''와 행 벡터 ''r''의 경우, 다음 관계식이 성립한다.

::

\det(X + cr) = \det(X) \det\left(1 + rX^{-1}c\right) = \det(X) + r\,\operatorname{adj}(X)\,c

:: 여기서

\operatorname{adj}(X)

는 ''X''의 수반 행렬이다.

같은 크기의 정사각 행렬 $A$ 와 $B$ 에 대해, 행렬 $AB$ 와 $BA$ 는 동일한 특성 다항식을 가지며, 따라서 동일한 고유값을 가진다.

이 정리의 일반화된 형태는 행렬 행렬식 보조정리와 관련이 있으며, 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

\det\left(Z + AWB\right) = \det\left( Z\right) \det\left(W \right) \det\left(W^{-1} + B Z^{-1} A\right)

여기서 ''Z''는 ''m'' × ''m'' 가역 행렬이고 ''W''는 ''n'' × ''n'' 가역 행렬이다.

4. 응용

행렬식은 선형대수학의 핵심 개념 중 하나로, 이론적인 중요성뿐만 아니라 다양한 분야에서 실용적으로 응용된다.

기하학적으로 행렬식은 선형 변환에 따른 부피 변화 및 방향 변화를 나타내는 데 사용된다.^[3] 또한 벡터들의 선형 독립성 판별에도 활용된다.^[38]

연립 일차 방정식의 해의 존재 여부를 판별하고, 크래머 공식을 통해 해를 구하는 데 사용된다.^[38] 역사적으로도 행렬식 개념은 연립 방정식의 해법 연구 과정에서 발전했는데, 중국의 수학자 양휘나 이탈리아의 제롤라모 카르다노 등이 초기 형태의 공식을 제시했으며, 이후 크라메르가 일반적인 규칙을 정립했다.

미적분학에서는 다변수 함수의 변환을 분석하는 야코비 행렬식 계산에 쓰인다. 이 외에도 고윳값 문제, 이차 형식의 분석 등 다양한 수학 및 과학, 공학 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

4. 1. 선형 독립성

행렬식은 벡터들이 선형 종속인지 선형 독립인지를 판별하는 데 사용될 수 있다. 행렬

A

의 행렬식

\det A

는 행렬

A

의 열 벡터(또는 이와 동등하게 행 벡터)들이 선형 종속일 때, 그리고 그 때에만 0이 된다.^[38]

예를 들어, '''R'''³에서 두 개의 선형 독립인 벡터

v_1, v_2

가 주어졌다고 하자. 이때 세 번째 벡터

v_3

가

v_1, v_2

가 생성하는 평면 위에 놓일 필요충분조건은, 세 벡터

v_1, v_2, v_3

를 열벡터로 하는

3 \times 3

행렬의 행렬식이 0이 되는 것이다.

이러한 아이디어는 미분 방정식 이론에서도 활용된다. 어떤 구간에서

n-1

번 미분 가능하다고 가정되는 함수들

f_1(x), \dots, f_n(x)

에 대해 론스키 행렬식은 다음과 같이 정의된다.

:

W(f_1, \ldots, f_n)(x) =\begin{vmatrix}f_1(x) &         f_2(x) & \cdots &         f_n(x) \\f_1'(x) &        f_2'(x) & \cdots &        f_n'(x) \\\vdots &         \vdots & \ddots &         \vdots \\f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}.

주어진 함수들과 그 도함수들이 (

n-1

차 도함수까지 포함하여) 선형 독립이라면, 론스키 행렬식은 해당 구간 내의 어떤 점

x

에 대해 0이 아니다. 반대로, 만약 함수들이 해석 함수이고 론스키 행렬식이 구간 전체에서 항상 0이라면, 이는 주어진 함수들이 선형 종속임을 의미한다. (론스키 행렬식과 선형 독립성 참조)

4. 2. 기저의 방향

행렬식은 '''R'''^''n'' 공간에서 ''n''개의 벡터로 이루어진 수열에 대해, 이 벡터들을 열로 하는 정사각 행렬을 이용하여 하나의 숫자를 대응시키는 것으로 생각할 수 있다. 이 벡터들의 수열이 '''R'''^''n''의 기저를 이룰 때, 그리고 오직 그럴 때만 행렬식의 값은 0이 아니다.

만약 벡터 수열이 기저를 이룬다면, 행렬식의 부호는 그 기저의 방향이 표준 기저의 방향과 같은지(+), 아니면 반대인지(-)를 알려준다. 예를 들어, 직교 기저의 경우, 행렬식의 절댓값은 기저 벡터들의 길이를 모두 곱한 값과 같다. 특히, '''R'''^''n''의 정규 직교 기저를 나타내는 직교 행렬의 행렬식은 항상 +1 또는 -1이다. 행렬식이 +1이면 해당 기저는 표준 기저와 같은 방향을 가지며, -1이면 반대 방향을 가진다.

더 일반적으로 말해, 어떤 행렬 ''A''의 행렬식이 양수이면, ''A''는 방향을 보존하는 선형 변환을 나타낸다. 예를 들어 2x2 또는 3x3 행렬의 경우 회전과 같은 변환이 이에 해당한다. 반대로 행렬식이 음수이면, ''A''는 기저의 방향을 반대로 바꾸는 선형 변환을 나타낸다.

4. 3. 부피와 야코비안

실수 정사각 행렬

M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)

은 실수 선형 변환

\mathbb R^n\to\mathbb R^n, x\mapsto Mx

를 정의한다. 이 변환이 가측 집합

S\subseteq\mathbb R^n

의 초부피를 확대시키는 비율은 행렬식의 절댓값

|{\det M}|

과 같다. 즉, 변환 후의 부피는 원래 부피의

|{\det M}|

배가 된다.

예를 들어, 2x2 실수 행렬

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

는 표준 기저 벡터

(1, 0)

과

(0, 1)

을 각각

(a, b)

와

(c, d)

로 보내는 선형 변환을 나타낸다. 이 변환은 좌표평면의 단위 정사각형 (꼭짓점: (0,0), (1,0), (0,1), (1,1))을 꼭짓점이

(0, 0)

,

(a, b)

,

(c, d)

,

(a+c, b+d)

인 평행사변형으로 변환시킨다. 이 평행사변형의 면적은 행렬식

A

의 절댓값인

|ad - bc|

와 같다. 이는 행렬

A

에 의한 선형 변환이 면적을

|\det A|

배만큼 변화시킨다는 것을 의미한다.

행렬식

ad - bc

자체는 평행사변형의 부호 면적을 나타낸다. 부호 면적은 일반적인 면적과 같지만, 평행사변형을 정의하는 첫 번째 벡터(

(a, b)

)에서 두 번째 벡터(

(c, d)

)로의 각도가 시계 방향일 경우 음수 값을 가진다. 이는 항등 행렬

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

(행렬식 1)이 정의하는 변환이 방향을 보존하는 것과 대비된다. 만약

\det A > 0

이면 변환은 방향을 보존하고,

\det A < 0

이면 방향을 반전시킨다.

\det A = 1

이면 변환은 면적과 방향을 모두 보존하는 등면적 사상이다.

이 개념은 더 높은 차원으로 일반화될 수 있다.

n \times n

실수 행렬

A

를 열벡터

A = [\mathbf{a}_1 | \mathbf{a}_2 | \dots | \mathbf{a}_n]

로 생각하면, 이 행렬이 나타내는 선형 변환은 단위 초입방체를 벡터

\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n

에 의해 정의되는

n

차원 평행다면체

P = \{c_1 \mathbf{a}_1 + \dots + c_n \mathbf{a}_n \mid 0 \leq c_i \leq 1 \ \forall i\}

로 변환시킨다. 이 평행다면체의 부호 있는

n

차원 부피는

\det A

와 같다.^[3] 즉,

|\det A|

는 부피의 스케일링 인자이고,

\det A

의 부호는 변환이 방향을 보존하는지(+), 반전하는지(-)를 나타낸다. 만약

\det A = 0

이면, 평행다면체의 부피는 0이 되며, 이는 변환된 도형이

n

차원 공간을 완전히 채우지 못하고 더 낮은 차원의 부분 공간에 존재함을 의미한다. 이는 행렬

A

가 가역적이지 않다는 것과 동치이다.

보다 일반적으로,

m \times n

실수 행렬

M

에 의한 선형 변환

\mathbb R^n\to\mathbb R^m, x\mapsto Mx

가 가측 집합

S\subseteq\mathbb R^n

의

n

차원 초부피를 확대시키는 배수는

\sqrt{\det(M^\top M)}

이다. 만약

f : \mathbf R^n \to \mathbf R^n

이 행렬

A

와의 곱으로 주어지는 선형 변환이고

S \subset \mathbf R^n

가 임의의 가측 부분 집합이면, 변환된 집합

f(S)

의 부피는

\operatorname{volume}(f(S)) = |\det(A)| \operatorname{volume}(S)

이다.^[40]

비선형 사상 $f \colon \mathbf{R}^{2} \to \mathbf{R}^{2}$ 는 작은 사각형(왼쪽 빨간색)을 왜곡된 도형(오른쪽 빨간색)으로 변환한다. 특정 점에서의 야코비 행렬은 그 점 근처에서 변환의 가장 좋은 선형 근사를 제공하며(오른쪽 반투명 흰색 평행사변형), 야코비 행렬식의 절댓값은 원래 사각형 면적 대비 근사 평행사변형 면적의 비율을 나타낸다.

행렬식의 이러한 기하학적 해석은 미분 가능 함수

f: \mathbf R^n \rightarrow \mathbf R^n

에도 확장될 수 있다. 이 함수의 야코비 행렬은 각 성분이 편미분으로 이루어진

n \times n

행렬이다:

:

D(f) = \left(\frac {\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{1 \leq i, j \leq n}.

야코비 행렬의 행렬식, 즉 야코비 행렬식

\det(D(f))

는 함수

f

가 각 점에서 국소적으로 부피를 얼마나 변화시키는지를 나타낸다. 야코비 행렬식의 절댓값

|\det(D(f))|

는 다변수 적분에서 치환 적분을 할 때 중요한 역할을 한다.

U

가

\mathbf{R}^n

의 열린 집합일 때, 함수

\phi

의

f(U)

에서의 적분은 다음과 같이 변수 변환될 수 있다:

:

\int_{f(U)} \phi(\mathbf{v})\, d\mathbf{v} = \int_U \phi(f(\mathbf{u})) \left|\det(D f)(\mathbf{u})\right| \,d\mathbf{u}.

여기서

|\det(D f)(\mathbf{u})|

는

\mathbf{u}

지점에서의 부피 요소의 변화율을 나타낸다. 야코비 행렬식은 역함수 정리에서도 핵심적인 역할을 수행한다. 또한 지도 제작에서는 극점 근처에서 지도의 면적 왜곡(팽창률)을 측정하는 데 사용될 수 있다.^[41]

요약하면, 행렬식은 선형 변환 또는 미분 가능한 함수의 국소적 선형 근사가 부피(또는 면적, 길이 등)를 얼마나 확대 또는 축소하는지를 나타내는 척도이며, 그 부호는 방향 보존 여부를 나타낸다. 행렬식의 곱셈적 성질(

\det(XY) = (\det X)(\det Y)

)은 변환을 연속적으로 적용할 때 부피 변화율이 어떻게 곱해지는지를 보여준다. 또한, 행렬식이 0이 아닌 값(즉, 가역적인 값)을 가지는 것은 해당 행렬이 가역 행렬이라는 것, 즉 변환이 부피를 0으로 만들지 않고 역변환이 존재한다는 것과 동치이다. 이는 연립 일차 방정식의 해의 존재와 유일성을 판별하는 데에도 연결되며, 크래머 공식은 행렬식을 이용하여 해를 직접 표현하는 방법을 제공한다.

5. 계산

행렬식을 계산하는 방법은 여러 가지가 있다. 작은 크기의 정사각행렬의 경우, 행렬식은 다음과 같이 비교적 간단한 다항식으로 표현된다.

0×0 행렬:

:

\begin{vmatrix} \; \end{vmatrix}=1

(정의에 따라 1이다.)

1×1 행렬:

:

\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}=a

2×2 행렬:

:

\begin{vmatrix}    a & b \\    c & d    \end{vmatrix}    =ad-bc

3×3 행렬:

:

\begin{vmatrix}    a & b & c \\    d & e & f \\    g & h & i    \end{vmatrix}    =aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh

4×4 행렬:

:

\begin{array}{l}    \begin{vmatrix}    a & b & c & d \\    e & f & g & h \\    i & j & k & l \\    m & n & o & p    \end{vmatrix}    \\    \quad{}=afkp-aflo-agjp+agln+ahjo-ahkn \\    \quad\quad{}-bekp+belo+bgip-bglm-bhio+bhkm \\    \quad\quad\quad{}+cejp-celn-cfip+cflm+chin-chjm \\    \quad\quad\quad\quad{}-dejo+dekn+dfio-dfkm-dgin+dgjm    \end{array}

3×3 행렬의 행렬식은 사뤼스 도식(Sarrus’ scheme^영어) 또는 사루스 방법을 이용하면 쉽게 계산할 수 있다. 이는 행렬의 첫 두 열을 오른쪽에 다시 쓰고, 좌상단에서 우하단으로 향하는 대각선 방향의 세 원소 곱들의 합에서 우상단에서 좌하단으로 향하는 대각선 방향의 세 원소 곱들의 합을 빼는 방식이다. 하지만 이 방법은 4×4 이상의 행렬에는 적용되지 않는다.

실수 성분을 갖는 3×3 행렬의 행렬식은 행벡터 또는 열벡터의 스칼라 삼중곱과 같다. 이는 세 벡터로 이루어진 평행 육면체의 부피를 절댓값으로 가지며, 벡터들의 순서가 방향을 보존하면 양수, 반전시키면 음수가 된다.

가환환

K

위의 삼각 행렬

M\in\operatorname{Mat}(n;K)

(상삼각 또는 하삼각 행렬)의 행렬식은 주대각선 성분들의 곱과 같다.

:

\det M=M_{11}\cdots M_{nn}

특히, 대각 행렬의 행렬식도 주대각선 성분들의 곱이다.

특수한 형태의 행렬인 방데르몽드 행렬의 행렬식은 다음과 같은 간단한 공식을 갖는다.

:

M=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(n;K)

:

\det M=\prod_{i

일반적인

n \times n

행렬의 행렬식은 라이프니츠 공식을 사용하여 정의되고 계산될 수 있다. 이 공식은

n!

(계승) 개의 항을 계산해야 하므로,

n

이 커지면 계산량이 매우 빠르게 증가(O(n!))하여 큰 행렬에는 비효율적이다.

또 다른 계산 방법으로는 라플라스 전개(여인자 전개)가 있다. 이는 행렬식을 더 작은 크기의 행렬식(소행렬식)들의 합으로 나타내는 방법이다. 특정 행

i

또는 열

j

를 선택하여 다음과 같이 전개한다.

행 $i$ 에 대한 전개: $\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \Delta_{ij}$
열 $j$ 에 대한 전개: $\det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij} \Delta_{ij}$

여기서

\Delta_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}

는

(i, j)

여인자이고,

M_{ij}

는

A

에서

i

행과

j

열을 제외하고 얻어지는

(n-1) \times (n-1)

행렬의 행렬식(소행렬식)이다. 라플라스 전개 역시 재귀적으로 계산량이 많아져 큰 행렬에는 비효율적이다. 여인자를 이용하여 수반 행렬

\tilde{A}

를 정의할 수 있으며, 만약 행렬식

\det(A)

가 0이 아니면 역행렬

A^{-1}

은

\frac{1}{\det(A)}\tilde{A}

로 계산할 수 있다 ('''크라메르 공식''').

이러한 이유로 행렬식은 주로 이론적인 도구로 사용되며, 실제 수치 선형대수학에서는 행렬식을 직접 계산하는 경우가 드물다. 가역성 확인이나 고유값 계산 등 많은 응용 분야에서 행렬식 계산은 다른 효율적인 방법들로 대체된다.^[50] 하지만 전산 기하학 분야에서는 행렬식과 관련된 계산이 자주 사용된다.^[51] 더 효율적인 계산 방법으로는 가우스 소거법이나 LU 분해와 같은 행렬 분해 방법이 있다.

5. 1. 가우스 소거법

가우스 소거법은 행렬을 상삼각 행렬 형태로 변환하여 행렬식을 계산하는 데 사용될 수 있다. 이 과정에서 적용되는 행 또는 열 연산들은 행렬식의 값에 정해진 규칙에 따라 영향을 미친다. 다음 예시는 가우스 소거법(열 연산 기반)을 이용하여 행렬

A

의 행렬식을 계산하는 과정을 보여준다.

:

A = \begin{bmatrix} -2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ -3 & 3 & -1 \end{bmatrix}.

아래 표는 행렬

A

에 열 연산을 순차적으로 적용하여 상삼각 행렬

E

를 만들고, 각 단계에서 행렬식의 변화를 추적하는 과정을 나타낸다.

행렬 $A$ 의 행렬식 계산 과정 (열 연산 사용)
단계	행렬	적용된 열 연산	행렬식 변화
초기 행렬	$A = \begin{bmatrix} -2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ -3 & 3 & -1 \end{bmatrix}$	-	>A\|
1	$B = \begin{bmatrix} -3 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \end{bmatrix}$	두 번째 열을 첫 번째 열에 더함 (c1 ← c1 + c2)	>B\| = \|A\| (열 연산 c_i ← c_i + k * c_j는 행렬식을 바꾸지 않음)
2	$C = \begin{bmatrix} -3 & 5 & 2 \\ 3 & 13 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$	세 번째 열의 3배를 두 번째 열에 더함 (c2 ← c2 + 3*c3)	>C\| = \|B\| (이전과 동일한 유형의 열 연산)
3	$D = \begin{bmatrix} 5 & -3 & 2 \\ 13 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$	첫 번째 열과 두 번째 열을 교환 (c1 ↔ c2)	>D\| = -\|C\| (두 열을 교환하면 행렬식의 부호가 바뀜)
4	$E = \begin{bmatrix} 18 & -3 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$	두 번째 열의 $-\frac{13}{3}$ 배를 첫 번째 열에 더함 (c1 ← c1 - (13/3)*c2)	>E\| = \|D\| (1단계와 동일한 유형의 열 연산)

위 표의 행렬식 관계를 종합하면 다음과 같다.

$|A| = |B| = |C| = -|D| = -|E|$

행렬 $E$ 는 상삼각 행렬이므로, 행렬식은 대각 원소들의 곱으로 계산할 수 있다.

$|E| = 18 \times 3 \times (-1) = -54$

따라서, 원래 행렬 $A$ 의 행렬식은 다음과 같다.

$|A| = -|E| = -(-54) = 54$

일반적으로 가우스 소거법은 행렬에 기본 행렬을 왼쪽에 곱하여 행 사다리꼴로 만드는 과정이다. 이때 행렬식이 1인 기본 행렬만을 사용하도록 연산을 제한하면 (즉, 행 교환이나 상수가 아닌 스칼라배를 사용하지 않고, 한 행의 배수를 다른 행에 더하는 연산만 사용하면), 최종적으로 얻어지는 행 사다리꼴 행렬의 행렬식은 원래 행렬의 행렬식과 동일하다. 행 사다리꼴은 삼각 행렬의 한 형태이므로, 행렬식은 대각선 원소들의 곱으로 간단히 계산된다.

결과적으로 가우스 소거법을 수행하는 과정에서 행렬식을 비교적 쉽게 얻을 수 있다.

5. 2. 분해 방법

행렬식을 계산하는 한 가지 방법은 주어진 행렬을 계산하기 더 쉬운 행렬들의 곱으로 나타내는 것이다. 이러한 방법을 분해 방법(decomposition methods)이라고 부른다. 대표적인 예시로는 LU 분해, QR 분해, 촐레스키 분해(양의 정부호 행렬의 경우) 등이 있다. 이 방법들은 계산 복잡도가

\operatorname O(n^3)

수준으로, 정의를 직접 이용하는

\operatorname O(n!)

보다 훨씬 효율적이다.^[52]

예를 들어, LU 분해는 행렬

A

를 다음과 같이 세 행렬의 곱으로 표현한다.

:

A = PLU

여기서

P

는 순열 행렬(각 열에 1이 하나만 있고 나머지는 0인 행렬),

L

은 하삼각 행렬,

U

는 상삼각 행렬이다.

삼각 행렬(

L

과

U

)의 행렬식은 대각선 성분들의 곱으로 간단히 계산할 수 있다. 순열 행렬

P

의 행렬식은 해당 순열의 부호

\varepsilon

인데, 이는 짝수 순열이면

+1

, 홀수 순열이면

-1

이다. 따라서 행렬

A

의 LU 분해를 알고 있다면, 행렬식은 다음과 같이 쉽게 계산된다.

:

\det(A) = \varepsilon \det(L)\cdot\det(U)

5. 3. 기타 방법

분해 방법을 통해 얻은 시간 복잡도

\operatorname O(n^3)

은 다양한 방법을 통해 개선되었다. 차수

n

인 두 행렬을 시간

M(n)

안에 곱할 수 있다면(여기서

M(n) \ge n^a

이고

a>2

), 행렬식을 시간

O(M(n))

안에 계산하는 알고리즘이 존재한다.^[53] 예를 들어, 코퍼스미스-위노그라드 알고리즘에 기반하여 행렬식을 계산하는

\operatorname O(n^{2.376})

알고리즘이 있으며, 이 지수는 2016년 기준으로 2.373까지 낮아졌다.^[54]

알고리즘의 계산 복잡도 외에도 다른 기준으로 알고리즘을 비교할 수 있다. 특히 환 위의 행렬과 관련된 응용 분야에서는 나눗셈 없이 행렬식을 계산하는 알고리즘이 유용하다. (가우스 소거법은 나눗셈이 필요하다.) 이러한 알고리즘 중 하나는 복잡도가

\operatorname O(n^4)

이며, 순열(라이프니츠 규칙에서처럼)을 여러 항목을 반복할 수 있는 이른바 닫힌 순서 워크(closed ordered walks)로 대체하는 아이디어를 기반으로 한다. 이 방법은 라이프니츠 규칙보다 더 많은 항을 계산하지만, 계산 과정에서 일부 곱셈 결과를 재사용할 수 있어 라이프니츠 규칙보다 효율적일 수 있다.^[55]

알고리즘은 비트 복잡도로도 평가할 수 있는데, 이는 계산 과정에서 나타나는 중간 값을 저장하는 데 필요한 비트 수를 의미한다. 예를 들어, 가우스 소거법(또는 LU 분해)은

\operatorname O(n^3)

의 시간 복잡도를 갖지만, 중간 값의 비트 길이가 지수적으로 길어질 수 있다.^[56] 반면, 바레이스 알고리즘은 정확한 나눗셈(나머지 없이 나눗셈이 가능한 경우에만 사용)을 이용하는 방법으로, 동일한

\operatorname O(n^3)

시간 복잡도를 가지면서도 비트 복잡도는 행렬의 원래 항목 비트 크기에

n

을 곱한 정도에 그친다.^[57]

만약 행렬 ''A''의 행렬식과 ''A''의 역행렬이 이미 계산된 경우, 행렬식 보조 정리를 이용하여

A + uv^T

(여기서 ''u''와 ''v''는 열 벡터) 형태의 행렬식을 빠르게 계산할 수 있다.

''이상한 나라의 앨리스''의 저자로 유명한 루이스 캐럴(찰스 도지슨)은 도지슨 축약이라는 행렬식 계산 방법을 고안했다. 하지만 이 방법은 흥미롭기는 하나 원래 형태로는 항상 적용 가능한 것은 아니다.^[58]

6. 역사

역사적으로 행렬식은 행렬보다 먼저 등장하였다. 행렬식은 본래 연립 선형 방정식의 해가 유일하게 존재하는지 여부와 같은 성질을 판별하기 위해 정의되었다. 행렬식의 영어 명칭인 '디터미넌트'(determinant^영어)는 '결정하다'라는 뜻의 동사 '디터민'(determine^영어)에서 유래했는데, 이는 행렬식 값이 0이 아닌지 여부가 연립 방정식의 유일한 해 존재 여부를 결정하기 때문이다.

행렬식에 대한 아이디어는 고대 중국 수학 교과서인 《구장산술》(九章算術, 기원전 3세기경)에서 찾아볼 수 있는데, 여기서 연립 방정식의 해 존재 여부를 판별하는 방법이 논의되었다. 유럽에서는 16세기 카르다노가 1545년 저서 Ars Magna^la에서 2개의 방정식으로 이루어진 연립 선형 방정식의 해를 구하는 규칙, 즉 2x2 행렬식에 해당하는 공식을 제시했다.^[22]

본격적인 행렬식 연구는 17세기에 일본과 유럽에서 독립적으로 시작되었다. 일본의 수학자 세키 고와는 1683년 저술한 《해복제지법》(解伏題之法)에서 다변수 고차 방정식의 소거법(종결식 이론)을 다루면서 3차, 4차 행렬식에 해당하는 계산법을 제시했다. 이후 《대성산경》(1683년~1710년경)에서는 제1열에 대한 여인자 전개를 일반적인 경우에 대해 정확히 기술했다. 비슷한 시기 간사이 지방의 다나카 요시마(《산학분해》, 1690년경)와 이세키 도모타쓰(《산법발휘》, 1690년) 역시 유사한 연구를 통해 5차 행렬식 계산 및 제1행에 대한 여인수 전개를 제시했다.^[23]^[28]^[24]^[25] 하지만 당시 일본은 쇄국 정책으로 인해 이들의 연구가 서양 수학계에 직접적인 영향을 주지는 못했다.

같은 시기 독일의 고트프리트 라이프니츠는 1678년과 1693년에 걸쳐 여러 개의 미지수를 가진 연립 선형 방정식을 연구하며 일반적인 크기의 행렬식을 정의하고, 3차 및 4차 행렬식의 전개식을 제시했다 (4차의 경우 부호 오류 포함).^[23]^[28]^[24]^[25] 그러나 라이프니츠는 이 결과를 발표하지 않아 약 50년 동안 알려지지 않았다.

18세기에 들어 행렬식 연구는 다시 활발해졌다. 매클로린은 1748년 사후 출판된 저서에서 4x4 연립 방정식의 해법을 제시했다. 1750년 크라메르는 (증명 없이) N개의 변수를 가진 N개의 연립 선형 방정식의 해를 구하는 일반적인 규칙, 즉 크라메르 공식을 제시했다.^[26] 베주(1764년, 1779년)와 반데르몽드(1771년) 역시 행렬식 연구에 기여했으며, 특히 반데르몽드는 행렬식을 독립적인 함수로 처음 인식했다.^[27]^[28] 1772년 라플라스는 여인자 전개를 이용한 행렬식 계산법을 일반화했고,^[29] 1773년 라그랑주는 2차 및 3차 행렬식을 다루며 행렬식과 부피 사이의 관계를 발견하고 이를 소거 이론에 적용했다.

19세기에는 행렬식 이론이 더욱 발전했다. 가우스는 1801년 저서 《산술 연구》에서 오늘날 행렬식의 특별한 경우인 이차 형식의 판별식을 다루면서 '행렬식(determinant)'이라는 용어를 처음 사용했다 (현대적인 의미와는 다소 차이가 있었다).^[30] 그는 또한 역행렬의 행렬식 개념과 행렬식의 곱셈 정리에 근접한 결과를 얻었다.

현대적인 의미의 '행렬식' 용어는 코시가 1812년 논문에서 사용하면서 정착되었다.^[31]^[32] 코시는 이전 연구들을 종합하고 표기법을 개선했으며, 행렬식의 곱셈 정리에 대한 만족스러운 증명을 제시하여 행렬식 이론의 기초를 다졌다.^[28]^[33] 같은 해 비네 역시 독립적으로 곱셈 정리를 발표했다(코시-비네 공식).

1841년 야코비는 함수 행렬식, 즉 야코비안을 도입하고 행렬식 계산의 체계적인 방법을 제시하여 행렬식 개념의 중요성을 확립했다.^[34] 이 시기 실베스터와 케일리도 연구를 시작했는데, 특히 케일리는 1841년 행렬식 표기에 세로줄(| |)을 도입하고^[35]^[36] 역행렬 공식을 확립하는 등 중요한 기여를 했다. 이들은 행렬(matrix) 자체의 개념을 도입하기도 했다.

이후 행렬식 연구는 대칭행렬, 반대칭행렬, 순환 행렬, 파피안, 론스키안, 헤시안 등 다양한 특수 행렬식에 대한 탐구로 이어졌다. 스포티스우드, 하누스, 웰드, 뮤어/메츨러 등에 의해 행렬식에 관한 교과서들도 출판되었다.

7. 추상대수학적 관점

행렬식은 단순히 정사각 행렬에 스칼라 값을 대응시키는 계산 규칙을 넘어, 추상대수학의 여러 개념과 깊이 연결되어 있다. 이러한 관점은 행렬식의 본질적인 의미를 이해하고 다양한 수학적 대상에 적용할 수 있도록 개념을 확장하며 일반화한다.

추상대수학적 접근 방식은 크게 세 가지 관점에서 행렬식을 바라볼 수 있게 한다.

'''자기 사상의 행렬식''': 벡터 공간 위의 선형 변환(자기 사상)의 행렬식으로 이해하는 관점이다. 이는 행렬식이 특정 기저의 선택에 의존하지 않는, 변환 고유의 성질(닮음 불변량)임을 보여준다.
'''가환환 위의 행렬식''': 행렬의 원소가 실수나 복소수와 같은 체뿐만 아니라, 정수를 포함하는 더 일반적인 대수 구조인 가환환 위에서도 행렬식을 정의하고 그 성질(곱셈 성질, 가역성 조건 등)을 탐구할 수 있다.
'''외대수''': 외대수라는 도구를 사용하여 행렬식을 좌표에 의존하지 않는 방식으로, 즉 기하학적 또는 대수적 구조 자체의 성질로 정의하고 이해할 수 있다.

이러한 추상적인 접근들은 행렬식의 다양한 성질과 응용을 더욱 근본적이고 통일된 시각으로 바라볼 수 있게 해준다.

7. 1. 자기 사상의 행렬식

행렬의 곱셈과 역행렬의 행렬식에 관한 성질로부터 닮은 행렬은 같은 행렬식을 갖는다는 것을 알 수 있다. 두 정사각 행렬 ''A''와 ''B''가 닮았다는 것은, 어떤 가역 행렬 ''X''가 존재하여

A = X^{-1}BX

관계를 만족하는 경우를 의미한다. 이 관계식과 행렬식의 곱셈 성질(

\det(XY) = \det(X)\det(Y)

) 및 역행렬의 행렬식 성질(

\det(X^{-1}) = (\det(X))^{-1}

)을 이용하면 다음과 같다.

:

\det(A) = \det(X^{-1}BX) = \det(X^{-1}) \det(B) \det(X) = (\det(X))^{-1} \det(B) \det(X) = \det(B)

즉, 닮은 행렬들은 항상 같은 행렬식 값을 가진다. 이러한 이유로 행렬식은 닮음 불변량(similarity invariant)이라고 한다.

이 성질은 유한 차원 벡터 공간 ''V'' 위에서 정의된 자기 사상(선형 변환)

:

T : V \to V

의 행렬식을 정의하는 데 중요하다. 선형 변환 ''T''의 행렬식은 ''V''의 임의의 기저를 선택했을 때, 그 기저에 대해 ''T''를 표현하는 행렬의 행렬식으로 정의된다. 어떤 기저를 선택하는지에 따라 ''T''를 나타내는 행렬 자체는 달라질 수 있지만, 이 행렬들은 모두 서로 닮은 행렬이므로 닮음 불변성에 의해 행렬식 값은 항상 동일하게 유지된다. 따라서 행렬식은 기저 선택에 의존하지 않으며, 오직 선형 변환 ''T'' 자체에만 의존하는 고유한 값이다.

7. 2. 가환환 위의 행렬식

가환환

K

에 대하여, 교대 다중 선형 형식

\operatorname{Mat}(n;K)\to K

의 집합은 1차원

K

-자유 가군을 이루며, 행렬식은 이

K

-자유 가군의 한 기저를 이룬다. 즉, 모든 교대 다중 선형 형식

\operatorname{Mat}(n;K)\to K

는 다음과 같은 형태로 유일하게 나타낼 수 있다.

:

a\det

:

a\in K

행렬식은 곱셈적 성질을 가진다. 즉, 크기가 같은 두 정사각 행렬

A

와

B

에 대해, 행렬 곱

AB

의 행렬식은 각 행렬의 행렬식의 곱과 같다.

:

\det(AB) = \det (A) \det (B)

이 중요한 사실은 고정된 행렬

B

에 대해, 위 식의 양변이

A

의 열에 대한 함수로서 교대적이고 다중 선형이라는 점을 이용하여 증명할 수 있다. 또한,

A

가 항등 행렬일 때 양변 모두

\det B

라는 값을 가진다. 따라서 교대 다중 선형 사상의 유일성 성질에 의해 이 식이 성립함을 알 수 있다.^[8]

원소가 체

K

에 속하는 행렬

A

는 행렬식이 0이 아닐 때만 가역 행렬이다. 이는 행렬식의 곱셈적 성질과 수반 행렬을 이용한 역행렬 공식으로부터 유도된다. 이 경우, 역행렬의 행렬식은 다음과 같다.

:

\det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)} = [\det(A)]^{-1}

.

특히, 행렬식이 0이 아닌 행렬들의 곱이나 역행렬 역시 행렬식이 0이 아니다. 마찬가지로 행렬식이 1인 행렬들의 곱이나 역행렬 역시 행렬식이 1이다. 따라서 주어진 크기

n

과 체

K

에 대해, 행렬식이 0이 아닌 행렬들의 집합은 군을 형성하며, 이를 일반 선형군

\operatorname{GL}_n(K)

이라고 한다. 또한, 행렬식이 1인 행렬들의 집합은

\operatorname{GL}_n(K)

의 부분군인 특수 선형군

\operatorname{SL}_n(K)

을 형성한다. 더 일반적으로, "특수(special)"라는 용어는 행렬식이 1인 다른 행렬군의 부분군을 나타내는 데 사용된다. 예를 들어 특수 직교군 (''n''이 2 또는 3일 때 모든 회전 행렬로 구성됨)과 특수 유니타리군이 있다.

행렬식은 곱셈과 역행렬 연산을 보존하므로,

\operatorname{GL}_n(K)

에서

K^\times

(0이 아닌

K

원소들의 곱셈군)로 가는 군 준동형 사상을 정의한다.

:

\det: \operatorname{GL}_n(K) \to K^\times

이 준동형 사상은 전사이며, 그 핵은

\operatorname{SL}_n(K)

이다. 제1 동형 정리에 따라,

\operatorname{SL}_n(K)

는

\operatorname{GL}_n(K)

의 정규 부분군이며, 몫군

\operatorname{GL}_n(K)/\operatorname{SL}_n(K)

는

K^\times

와 동형이다.

코시-비네 공식은 정사각 행렬이 아닌 직사각 행렬의 곱에 대한 행렬식 공식을 일반화한 것이다. 이 공식은 주어진 행렬의 모든 정사각 부분 행렬의 행렬식을 원소로 하는 합성 행렬에 대한 곱셈 공식으로 다시 표현될 수도 있다.^[9]^[10]

라이프니츠 공식을 사용한 행렬식의 정의는 행렬의 원소가 실수나 복소수와 같은 체의 원소일 뿐만 아니라, 정수

\mathbf Z

와 같이 일반적인 가환환

R

의 원소일 때도 적용된다. 행렬식을

\det(I) = 1

을 만족하는 유일한 교대 다중 선형 사상으로 특징짓는 것과 이로부터 파생되는 모든 성질들은 가환환 위에서도 여전히 유효하다.^[42]

가환환

R

위의 행렬

A \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(R)

은 그 행렬식

\det(A)

가

R

의 가역원(즉,

R

안에서 곱셈에 대한 역원을 갖는 원소)일 때만 가역적이다.^[43] 예를 들어,

R

이 정수환

\mathbf Z

인 경우, 이는 행렬식이 +1 또는 -1임을 의미한다. 이러한 행렬을 단일 모듈 행렬이라고 한다.

행렬식은 곱셈적 성질을 가지므로, 일반 선형군

\operatorname{GL}_n(R)

(원소가

R

에 속하는 가역

n \times n

행렬들의 군)에서

R

의 가역원들의 곱셈군

R^\times

으로 가는 군 준동형 사상을 정의한다.

:

\det: \operatorname{GL}_n(R) \rightarrow R^\times

환 준동형 사상

f : R \to S

가 주어지면,

R

의 각 원소를

f

에 의한 상으로 바꾸는 사상

\operatorname{GL}_n(f) : \operatorname{GL}_n(R) \to \operatorname{GL}_n(S)

를 생각할 수 있다. 행렬식은 이러한 사상과 호환된다. 즉, 다음 등식이 성립한다.

:

f(\det((a_{i,j}))) = \det ((f(a_{i,j})))

이는 오른쪽 그림의 가환 다이어그램이 성립함을 의미한다.

예를 들어, 복소수 행렬의 각 원소에 켤레 복소수를 취한 행렬의 행렬식은 원래 행렬식의 켤레 복소수와 같다. 또한 정수 행렬의 경우, 행렬식을 모듈러

m

으로 환원한 값은 각 원소를 모듈러

m

으로 환원한 행렬의 행렬식과 같다 (후자는 모듈러 산술을 사용하여 계산됨). 범주론의 용어로 표현하면, 행렬식은 두 함자

\operatorname{GL}_n

과

(-)^\times

사이의 자연 변환이다.^[44] 더 추상적인 관점에서, 행렬식은 대수적 군의 사상으로 볼 수 있다.

:

\det: \operatorname{GL}_n \to \mathbb G_m.

여기서

\mathbb G_m

은 곱셈군을 나타낸다.

7. 3. 외대수

외대수(Exterior algebra)를 이용하면 행렬식을 좌표에 의존하지 않는 방식으로 정의할 수 있다.

가환환

K

에 대하여, 교대 다중 선형 형식

\operatorname{Mat}(n;K)\to K

의 집합은 1차원

K

-자유 가군을 이루며, 행렬식은 이

K

-자유 가군의 한 기저를 이룬다. 즉, 모든 교대 다중 선형 형식

\operatorname{Mat}(n;K)\to K

는 어떤

a\in K

에 대해

a\det

꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.

n

차원 벡터 공간

V

위에서의 선형 변환

T : V \to V

의 행렬식은

V

의

n

차 외대수

\bigwedge^n V

를 이용하여 좌표에 의존하지 않는 방식으로 정의할 수 있다.^[45] 더 일반적으로는, 가환환

R

위의 가군 중 계수가

n

인 자유 가군

V

에 대해서도 동일하게 정의 가능하다. 선형 변환

T

는 다음과 같은 선형 사상을 유도한다.

:

\begin{align}\bigwedge^n T: \bigwedge^n V &\rightarrow \bigwedge^n V \\v_1 \wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_n &\mapsto T v_1 \wedge T v_2 \wedge \dots \wedge T v_n.\end{align}

이때

\bigwedge^n V

는 1차원 벡터 공간(또는 계수 1의 자유 가군)이므로, 사상

\bigwedge^n T

는 단순히 어떤 스칼라(즉,

R

의 원소)를 곱하는 연산으로 표현된다. 이 스칼라 값을

T

의 행렬식

\det(T)

로 정의한다. 즉, 모든

v_1, \dots, v_n \in V

에 대해 다음 등식이 성립한다.

:

\left(\bigwedge^n T\right)\left(v_1 \wedge \dots \wedge v_n\right) = \det(T) \cdot v_1 \wedge \dots \wedge v_n.

이 정의는 기존의 좌표를 이용한 행렬식 정의와 동일하다는 것을 보일 수 있다. 가장 높은 차수의 외대수

\bigwedge^n V

는 그 자체로

V

의 행렬식으로 불리기도 한다. 행렬의 소행렬식 역시

k < n

인 더 낮은 차수의 외대수

\bigwedge^k V

를 이용하여 유사하게 정의할 수 있다.^[46]

구체적으로,

K

를 가환환이라 하고,

E

를

K

위의 계수

n

인 자유 가군이라고 하자.

E

의

n

차 외대수

\bigwedge^n E

는

K

위의 계수 1인 자유 가군이다.

E

위의

K

-선형 사상

\phi

에 대해,

\bigwedge^n E

위에 유도되는

K

-가군 준동형

:

{\textstyle \bigwedge^n}\phi \colon e_1 \wedge \dotsb \wedge e_n \mapsto \phi(e_1) \wedge \dotsb \wedge \phi(e_n)

는 어떤 유일한

a \in K

에 대한 상수배 사상과 같다. 이

a

를

\phi

의 행렬식

\det \phi

라고 부른다.

만약

E = K^n

이고 표준 기저를

(e_1, \dots, e_n)

이라고 하자.

n \times n

정사각 행렬

X

를

K^n

위의 선형 변환으로 간주하고,

X

의

j

번째 열벡터를

v_j = Xe_j

라고 하면,

:

(\bigwedge^n X)(e_1 \wedge \dotsb \wedge e_n) = v_1 \wedge \dotsb \wedge v_n

이 성립한다. 여기서

v_j

의

i

번째 성분을

v_j^i

라고 표기하면, 라이프니츠 공식에 의해 다음이 성립한다.

:

v_1 \wedge \dotsb \wedge v_n = \biggl( \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \operatorname{sgn} (\sigma) v_{\sigma(1)}^1 v_{\sigma(2)}^2 \dotsm v_{\sigma(n)}^n \biggr) e_1 \wedge \dotsb \wedge e_n

괄호 안의 값은 행렬

X

의 행렬식

\det X

와 같다. 따라서

K^n

위에서

\bigwedge^n X

는

\det X

를 곱하는 상수배 사상으로 작용한다.

결론적으로, 외대수의 보편성에 의해 행렬식은 행렬의 열벡터들에 대한

n

-중 교대 선형 사상 중에서 단위 행렬에 값 1을 부여하는 유일한 사상으로 특징지을 수 있다.

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