쌍곡선함수 적분표

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1. 개요
2. 쌍곡사인만 포함하는 함수의 적분
3. 쌍곡코사인만 포함하는 함수의 적분
- 3.1. 로지스틱 함수와의 관계
4. 기타 적분
참조

1. 개요

쌍곡선함수 적분표는 쌍곡선함수의 다양한 적분 공식을 모아놓은 문서이다. 이 문서는 쌍곡사인, 쌍곡코사인, 쌍곡탄젠트, 쌍곡코탄젠트, 쌍곡시컨트, 쌍곡코시컨트 함수를 포함하는 함수의 적분 공식을 제시한다. 또한, 쌍곡선함수와 삼각함수를 함께 포함하는 함수의 적분 공식도 포함한다.

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쌍곡선함수 적분표
정의
쌍곡선 함수	쌍곡선 함수의 부정적분 목록
참고
쌍곡선 사인
∫ sinh x dx	cosh x + C
∫ x sinh x dx	x cosh x - sinh x + C
∫ x^2 sinh x dx	(x^2 + 2) cosh x - 2x sinh x + C
∫ x^n sinh x dx	x^n cosh x - n∫ x^(n-1) cosh x dx
∫ sinh(ax) dx	(1/a) cosh(ax) + C
∫ x sinh(ax) dx	(x/a) cosh(ax) - (1/a^2) sinh(ax) + C
∫ sinh^2 x dx	(1/4) sinh(2x) - (1/2)x + C = (1/2) sinh x cosh x - (1/2)x + C
∫ sinh^3 x dx	(1/3) cosh^3 x - cosh x + C = (1/3) cosh x (sinh^2 x - 3) + C
∫ sinh^n x dx	(1/n) sinh^(n-1) x cosh x - ((n-1)/n) ∫ sinh^(n-2) x dx (n > 0인 경우)
쌍곡선 코사인
∫ cosh x dx	sinh x + C
∫ x cosh x dx	x sinh x - cosh x + C
∫ x^2 cosh x dx	(x^2 + 2) sinh x - 2x cosh x + C
∫ x^n cosh x dx	x^n sinh x - n∫ x^(n-1) sinh x dx
∫ cosh(ax) dx	(1/a) sinh(ax) + C
∫ x cosh(ax) dx	(x/a) sinh(ax) - (1/a^2) cosh(ax) + C
∫ cosh^2 x dx	(1/4) sinh(2x) + (1/2)x + C = (1/2) sinh x cosh x + (1/2)x + C
∫ cosh^3 x dx	(1/3) sinh^3 x - sinh x + C = (1/3) sinh x (cosh^2 x - 3) + C
∫ cosh^n x dx	(1/n) cosh^(n-1) x sinh x + ((n-1)/n) ∫ cosh^(n-2) x dx (n > 0인 경우)
쌍곡선 탄젠트
∫ tanh x dx	ln(cosh x) + C
∫ tanh(ax) dx	(1/a) ln(cosh(ax)) + C
∫ tanh^2 x dx	x - tanh x + C
∫ tanh^n x dx	-((tanh^(n-1) x)/(n-1)) + ∫ tanh^(n-2) x dx (n ≠ 1인 경우)
쌍곡선 코탄젠트
∫ coth x dx	ln\|sinh x\| + C
∫ coth(ax) dx	(1/a) ln\|sinh(ax)\| + C
∫ coth^2 x dx	x - coth x + C
∫ coth^n x dx	-((coth^(n-1) x)/(n-1)) + ∫ coth^(n-2) x dx (n ≠ 1인 경우)
쌍곡선 시컨트
∫ sech x dx	arctan(sinh x) + C = 2 arctan(e^x) + C
∫ sech^2 x dx	tanh x + C
∫ sech^n x dx	((sech^(n-2) x tanh x)/(n-1)) + ((n-2)/(n-1)) ∫ sech^(n-2) x dx (n ≠ 1인 경우)
쌍곡선 코시컨트
∫ csch x dx	ln\|tanh(x/2)\| + C = -ln\|csch x + coth x\| + C = ln\|coth(x/2)\| + C
∫ csch^2 x dx	-coth x + C
∫ csch^n x dx	-((csch^(n-2) x coth x)/(n-1)) + ((n-2)/(n-1)) ∫ csch^(n-2) x dx (n ≠ 1인 경우)
역쌍곡선 사인
∫ arcsinh x dx	x arcsinh x - √(x^2 + 1) + C
∫ arcsinh(ax) dx	x arcsinh(ax) - (1/a)√(a^2 x^2 + 1) + C
역쌍곡선 코사인
∫ arccosh x dx	x arccosh x - √(x^2 - 1) + C
∫ arccosh(ax) dx	x arccosh(ax) - (1/a)√(a^2 x^2 - 1) + C
역쌍곡선 탄젠트
∫ arctanh x dx	x arctanh x + (1/2)ln(1 - x^2) + C
∫ arctanh(ax) dx	x arctanh(ax) + (1/(2a))ln(1 - a^2 x^2) + C
역쌍곡선 코탄젠트
∫ arccoth x dx	x arccoth x + (1/2)ln(x^2 - 1) + C
∫ arccoth(ax) dx	x arccoth(ax) + (1/(2a))ln(a^2 x^2 - 1) + C
역쌍곡선 시컨트
∫ arcsech x dx	x arcsech x + arcsin x + C
∫ arcsech(ax) dx	x arcsech(ax) + arcsin(ax) + C
역쌍곡선 코시컨트
∫ arccsch x dx	x arccsch x + ln(x + √(x^2 + 1)) + C = x arccsch x + arcsinh x + C
∫ arccsch(ax) dx	x arccsch(ax) + (1/a)ln(ax + √(a^2 x^2 + 1)) + C = x arccsch(ax) + (1/a)arcsinh(ax) + C

2. 쌍곡사인만 포함하는 함수의 적분

$\int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax+C$

$\int\sinh^2 ax\,dx = \frac{1}{4a}\sinh 2ax - \frac{x}{2}+C$

$\int\sinh^n ax\,dx = \frac{1}{an}(\sinh^{n-1} ax)(\cosh ax) - \frac{n-1}{n}\int\sinh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}$

또한: $\int\sinh^n ax\,dx = \frac{1}{a(n+1)}(\sinh^{n+1} ax)(\cosh ax) - \frac{n+2}{n+1}\int\sinh^{n+2}ax\,dx \qquad\mbox{(for }n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\tanh\frac{ax}{2}\right|+C$

또한: $\int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\frac{\cosh ax - 1}{\sinh ax}\right|+C$

$\int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\frac{\sinh ax}{\cosh ax + 1}\right|+C$

$\int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{\cosh ax - 1}{\cosh ax + 1}\right|+C$

$\int\frac{dx}{\sinh^n ax} = -\frac{\cosh ax}{a(n-1)\sinh^{n-1} ax}-\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sinh^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int x\sinh ax\,dx = \frac{1}{a} x\cosh ax - \frac{1}{a^2}\sinh ax+C$

$\int (\sinh ax)(\sinh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh bx)(\cosh ax) - b(\cosh bx)(\sinh ax)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}$

3. 쌍곡코사인만 포함하는 함수의 적분

$\int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax+C$

$\int\cosh^2 ax\,dx = \frac{1}{4a}\sinh 2ax + \frac{x}{2}+C$

$\int\cosh^n ax\,dx = \frac{1}{an}(\sinh ax)(\cosh^{n-1} ax) + \frac{n-1}{n}\int\cosh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}$

: 또한: $\int\cosh^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n+1)}(\sinh ax)(\cosh^{n+1} ax) + \frac{n+2}{n+1}\int\cosh^{n+2}ax\,dx \qquad\mbox{(for }n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{\cosh ax} = \frac{2}{a} \arctan e^{ax}+C$

: 또한: $\int\frac{dx}{\cosh ax} = \frac{1}{a} \arctan (\sinh ax)+C$

$\int\frac{dx}{\cosh^n ax} = \frac{\sinh ax}{a(n-1)\cosh^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cosh^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int x\cosh ax\,dx = \frac{1}{a} x\sinh ax - \frac{1}{a^2}\cosh ax+C$

$\int x^2 \cosh ax\,dx = -\frac{2x \cosh ax}{a^2} + \left(\frac{x^2}{a}+\frac{2}{a^3}\right) \sinh ax+C$

$\int (\cosh ax)(\cosh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh ax)(\cosh bx) - b(\sinh bx)(\cosh ax)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}$

$\int \frac{dx}{1+\cosh(ax)} = \frac{2}{a} \frac{1}{1+e^{-ax}}+C$

이는 로지스틱 함수의 $\frac{2}{a}$ 배이다.

3. 1. 로지스틱 함수와의 관계

\int \frac{dx}{1+\cosh(ax)} = \frac{2}{a} \frac{1}{1+e^{-ax}}+C\quad

이며, 이는

\frac{2}{a}

에 로지스틱 함수를 곱한 것과 같다.

4. 기타 적분

4. 1. 쌍곡탄젠트, 쌍곡코탄젠트, 쌍곡시컨트, 쌍곡코시컨트 함수의 적분

쌍곡탄젠트 함수의 적분은 다음과 같다.

:

\int \tanh x \, dx = \ln \cosh x + C

:

\int\tanh^2 ax\,dx = x - \frac{\tanh ax}{a}+C

:

\int \tanh^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\tanh^{n-1} ax+\int\tanh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

쌍곡코탄젠트 함수의 적분은 다음과 같다.

:

\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C, \text{ for } x \neq 0

:

\int \coth^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\coth^{n-1} ax+\int\coth^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

쌍곡시컨트 함수의 적분은 다음과 같다.

:

\int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan\,(\sinh x) + C

쌍곡코시컨트 함수의 적분은 다음과 같다.

:

\int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C = \ln\left|\coth{x}-\operatorname{csch}{x}\right|+C, \text{ for } x \neq 0

4. 2. 쌍곡사인과 쌍곡코사인을 포함하는 함수의 적분

$\int (\cosh ax)(\sinh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh ax)(\sinh bx) - b(\cosh ax)(\cosh bx)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}$
$\begin{align}$

\int\frac{\cosh^n ax}{\sinh^m ax}\,dx &= \frac{\cosh^{n-1} ax}{a(n-m)\sinh^{m-1} ax} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\cosh^{n-2} ax}{\sinh^m ax}\,dx \qquad\mbox{(for }m\neq n\mbox{)} \\&= -\frac{\cosh^{n+1} ax}{a(m-1)\sinh^{m-1} ax} + \frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\cosh^n ax}{\sinh^{m-2} ax}\,dx \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\&= -\frac{\cosh^{n-1} ax}{a(m-1)\sinh^{m-1} ax} + \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cosh^{n-2} ax}{\sinh^{m-2} ax}\,dx \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}\end{align}

$\begin{align}$

\int\frac{\sinh^m ax}{\cosh^n ax}\,dx &= \frac{\sinh^{m-1} ax}{a(m-n)\cosh^{n-1} ax} + \frac{m-1}{n-m}\int\frac{\sinh^{m-2} ax}{\cosh^n ax}\,dx \qquad\mbox{(for }m\neq n\mbox{)} \\&= \frac{\sinh^{m+1} ax}{a(n-1)\cosh^{n-1} ax} + \frac{m-n+2}{n-1}\int\frac{\sinh^m ax}{\cosh^{n-2} ax}\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)} \\&= -\frac{\sinh^{m-1} ax}{a(n-1)\cosh^{n-1} ax} + \frac{m-1}{n-1}\int\frac{\sinh^{m -2} ax}{\cosh^{n-2} ax}\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\end{align}

4. 3. 쌍곡선함수와 삼각함수를 포함하는 함수의 적분

다음은 쌍곡선함수와 삼각함수를 함께 포함하는 함수의 적분 공식이다.

:

\int \sinh (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+C

:

\int \sinh (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)+C

:

\int \cosh (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+C

:

\int \cosh (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)+C

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