부정적분

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 불연속 함수의 부정적분
6. 일반 공식
7. 관련 개념
참조

1. 개요

부정적분은 주어진 함수를 미분하여 얻을 수 있는 함수, 즉 원함수를 찾는 연산이다. 이는 미분의 역연산으로, 적분상수를 포함하는 무한히 많은 해를 갖는다. 부정적분은 미적분학의 기본 정리를 통해 정적분과 연결되며, 선형성을 가지며 치환 적분과 부분 적분과 같은 다양한 적분 방법을 활용하여 계산할 수 있다. 유리 함수, 삼각 함수 등 다양한 함수의 부정적분을 구할 수 있지만, 오차 함수와 같은 일부 초등 함수는 초등 함수로 부정적분을 표현할 수 없다. 또한 불연속 함수도 부정적분을 가질 수 있으며, 미적분학의 기본 정리, 선형성, 치환 적분, 부분 적분 등의 개념과 밀접한 관련이 있다.

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부정적분
일반 정보
수학 분야	미적분학
함수 종류	원시 함수
연산	미분의 역연산
정의
정의	어떤 함수 f(x)의 부정적분 F(x)는, 구간 내의 모든 x에 대해 F'(x) = f(x)를 만족하는 함수이다.
성질
선형성	임의의 함수 f(x), g(x)와 상수 a, b에 대해 ∫ (af(x) + bg(x)) dx = a∫ f(x) dx + b∫ g(x) dx 이다.
미분과의 관계	∫ f'(x) dx = f(x) + C (C는 적분 상수) 이다.
치환 적분	∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x)) 이다.
부분 적분	∫ u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫ u'(x)v(x) dx 이다.
표기법
표기	∫f(x) dx
주의사항
적분 상수	부정적분은 유일하게 결정되지 않고, 적분 상수에 따라 여러 함수가 가능하다.

2. 정의

함수 $f(x)$ 가 주어졌을 때, 미분하면 $f(x)$ 가 되는 함수 $F(x)$ 를 $f(x)$ 의 '''원함수'''(原函數, antiderivative^영어) 또는 '''역도함수'''(逆導函數)라고 한다.^[7]

: $F'(x)=f(x)$

$f(x)$ 의 한 원함수 $F(x)$ 가 존재할 경우, $f(x)$ 의 모든 원함수는 다음과 같이 표현된다.

: $\int f(x)\mathrm dx=F(x)+C$

이를 $f(x)$ 의 '''부정적분'''이라고 한다. 여기서 $C$ 는 임의의 상수이며, '''적분상수'''라고 부른다.^[7] $(C)'=0$ 이므로, $(F(x)+C)'=f(x)$ 이다. 즉, $F(x)+C$ 는 $f(x)$ 의 원함수이다. 평균값 정리에 따라 임의의 다른 원함수 $G(x)$ 에 대하여 $G(x)-F(x)$ 는 상수 함수이므로, $G(x)=F(x)+C$ 꼴로 나타낼 수 있다.

예를 들어 $F(x) = \tfrac{x^3}{3}$ 는 $f(x) = x^2$ 의 부정적분이다. 상수의 도함수는 영이므로, $x^2$ 는 $\tfrac{x^3}{3}, \tfrac{x^3}{3}+1, \tfrac{x^3}{3}-2$ 등과 같이 무한히 많은 부정적분을 갖는다. 따라서 $x^2$ 의 모든 부정적분은 $F(x) = \tfrac{x^3}{3}+c$ 로 표현할 수 있다.

멱함수 $f(x) = x^n$ 은 $n \neq -1$ 이면 부정적분 $F(x) = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ 를 갖고, $n = -1$ 이면 $F(x) = \ln |x| + c$ 를 갖는다.

물리학에서 가속도의 적분은 속도와 상수를 생성한다. 이와 동일한 패턴은 운동의 추가 적분 및 도함수(위치, 속도, 가속도 등)에도 적용된다.^[3]

3. 성질

부정적분은 미분의 역연산이다. 즉, 함수 f(x)의 부정적분을 미분하면 f(x)가 된다. 미분 가능한 함수 F(x)를 미분한 후 부정적분하면, 원래 함수 F(x)에 적분 상수 C가 더해진 형태가 된다.^[7] 이는 상수 차를 무시하면 부정적분이 미분의 역연산임을 의미한다.

3. 1. 미적분학의 기본 정리

연속 함수 f(x)의 한 원시함수는 정적분의 상한을 변수로 하여 나타낼 수 있다.

:

F(x)=\int_a^xf(x)\mathrm dx

역으로, 연속 함수 f(x)의 한 원시함수 F(x)가 주어지면, 정적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\int_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)

부정적분은 정적분을 계산하는 데 사용될 수 있으며, 이는 미적분학의 기본 정리를 활용한다. 만약 F가 구간 [a,b]에서 연속 함수 f의 부정적분이라면, 다음이 성립한다.

:

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).

이 때문에 주어진 함수 f의 무한히 많은 부정적분 각각을 f의 "부정적분"이라고 부를 수 있으며, 경계가 없는 적분 기호를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다.

:

\int f(x)\,\mathrm{d}x.

만약 F가 f의 부정적분이고 함수 f가 어떤 구간에서 정의된다면, f의 다른 모든 부정적분 G는 F와 상수만큼 차이가 난다. 즉, 모든 x에 대해

G(x) = F(x)+c

를 만족하는 수 c가 존재한다. c는 적분 상수라고 불린다.

모든 연속 함수 f는 부정적분을 가지며, 하나의 부정적분 F는 변수 상한을 갖는 f의 정적분으로 주어진다.

:

F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t ~,

여기서 a는 f의 정의역에 속하는 임의의 값이다. 하한을 변경하면 다른 부정적분이 생성되지만, 반드시 가능한 모든 부정적분이 생성되는 것은 아니다. 이것은 미적분학의 기본 정리의 또 다른 공식화이다.

미분 방정식

\tfrac{d}{dx}F(x) = f(x)

의 해가 되는 함수 F(x) 각각인 특수해를 f(x)의 '''원시함수'''라고 하며, 해가 되는 함수 F(x) 전체인 일반해를 f(x)의 '''역미분으로서의 부정적분'''이라고 한다. 원시함수라는 말은 아드리앵 마리 르장드르에 의한 것이다^[6]。

구간 \[a, b]에서 적분 가능한 함수 f(x)와 정의 구역 내의 임의의 닫힌 구간 \[a, b]에 대해, 다음의 '''미적분학의 기본 정리'''를 만족하는 함수 F(x)를 f(x)의 '''부정 적분'''이라고 한다.

:

\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).

닫힌 구간 상의 적분 가능한 함수 f(x)에 대해, 정의 구역 내의 상수 a부터 변수 x까지의 정적분

:

\int_a^x f(x)\,dx

을 f(x)의 '''a를 기점으로 하는 부정적분'''이라고 한다.

f(x)를 닫힌 구간 상의 연속 함수라고 할 때, 부정적분과 역미분은 다음의 의미로 대응된다.

연속 함수 f(x)에 대해, 미적분학의 기본 정리 ('''제1 기본 정리''')로부터

:

\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)

가 성립하므로, a를 기점으로 하는 부정적분으로 주어지는 함수

\int_a^x f(t)dt

는 f(x)의 원시함수 중 하나이다.

또한 부정적분 F(x)의 정의로부터,

G(x):=F(x)-F(a)

는 a를 기점으로 하는 부정적분

\int_a^x f(t)\,dt

와 일치하므로, f(x)의 원시함수 중 하나이며, 따라서

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt+F(a)

도 그렇다.

연속 함수 f(x)의 원시 함수 F(x)가 주어지면, 미적분학의 기본 정리 ('''제2 기본 정리''')로부터, 정의역 내의 임의의 닫힌 구간 \[a, b]에 대해 '''미적분학의 기본 공식'''

:

\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)

이 성립하므로, F(x)는 f(x)의 부정적분이다.

하나의 연속 함수에 대한 두 개의 원시 함수는 상수 차이밖에 없다.

실제로, F(x)를 닫힌 구간 상의 연속 함수 f(x)의 원시 함수 중 하나로 하고, 같은 정의역에서의 f(x)의 다른 원시 함수 G(x)를 취하면,

:

G(x) - F(x) = C\,

(상수)

를 만족하는 적당한 상수 C가 존재한다.

조건에 따라 $(G(x)-F(x))'=f(x)-f(x)=0$ 이므로, 평균값 정리에 의해 $G(x)-F(x)$ 는 상수이다.

따라서 f(x)의 역미분으로서의 부정적분은 임의의 상수 C를 사용하여

:

\int f(x)\,dx = F(x) + C

로 쓸 수 있다.

여기서 임의의 상수 C는 '''적분 상수'''라고 불린다.

특히 a를 기점으로 하는 부정적분과 임의의 상수 C를 사용하여

:

\int f(x)\,dx = \int_a^x f(t)\,dt + C

로 나타낼 수 있다.

3. 2. 선형성

Linearity^영어

부정적분은 선형 연산이다. 즉, 두 함수 f(x), g(x)의 부정적분이 존재하면, 다음이 성립한다.

$\int (f(x)+g(x)) dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx.$
$\int af(x) dx = a\int f(x)dx.$

3. 3. 치환 적분

만약 ''f(''x'')''의 한 원함수 ''F(''x'')''가 존재하며, ''g(''t'')''가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.^[8]

:

\int f(g(t))g'(t)\mathrm dt=\int f(x)\mathrm dx=F(g(t))+C

만약 ''g(''t'')''가 미분 가능 함수이며, ''g''′(''t'')'' ≠ 0이고, ''f''(''g''(''t''))''g''′(''t'')''의 한 원함수 ''H(''t'')''가 존재한다면, 다음이 성립한다.^[8]

:

\int f(x)\mathrm dx=\int f(g(t))g'(t)\mathrm dt=H(g^{-1}(x))+C

치환 적분은 종종 삼각 함수 항등식 또는 자연 로그와 결합되어 사용된다.

:

\int f(x) dx = \int f(g(t))\frac{dx}{dt}\,dt.

(치환 적분법)

3. 4. 부분 적분

부분 적분은 두 함수의 곱의 미분법을 역으로 적용하는 적분법이다.^[4] 만약

f(x),g(x)

가 미분 가능 함수이고,

f'(x)g(x)

의 부정적분이 존재한다면, 다음 공식이 성립한다.

:

\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx

이 공식을 이용해, 한 함수의 적분을 다른 함수의 미분으로 변환하여 적분을 계산한다.

4. 예

함수 $F(x) = \tfrac{x^3}{3}$ 는 $f(x) = x^2$ 의 부정적분이다. 왜냐하면 $\tfrac{x^3}{3}$ 의 도함수가 $x^2$ 이고, 상수의 도함수는 0이므로, $x^2$ 는 $\tfrac{x^3}{3}, \tfrac{x^3}{3}+1, \tfrac{x^3}{3}-2$ 등과 같이 무한히 많은 부정적분을 갖기 때문이다. 따라서 $x^2$ 의 모든 부정적분은 $F(x) = \tfrac{x^3}{3}+c$ 에서 c (는 적분 상수라고 불리는 임의의 상수)의 값을 변경하여 얻을 수 있다. 주어진 함수의 부정적분의 그래프는 서로 수직 이동한 것이며, 각 그래프의 수직 위치는 c의 값에 따라 달라진다.

더 일반적으로, 멱함수 $f(x) = x^n$ 은 $n \ne -1$ 이면 부정적분 $F(x) = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ 를 갖고, $n = -1$ 이면 $F(x) = \ln |x| + c$ 를 갖는다.

물리학에서 가속도의 적분은 속도와 상수를 생성한다. 이 상수는 속도의 도함수를 취할 때 손실되는 초기 속도 항이며, 상수 항의 도함수는 0이기 때문이다. 이와 동일한 패턴은 운동의 추가 적분 및 도함수(위치, 속도, 가속도 등)에도 적용된다.^[3] 따라서 적분은 가속도, 속도 및 변위의 관계를 생성한다.

$\begin{align}\int a \, \mathrm{d}t &= v + C \\\int v \, \mathrm{d}t &= s + C\end{align}$

4. 1. 유리 함수

모든 실수 유리 함수는 다항식과 진분수식의 합으로 나타낼 수 있으며, 모든 진분수식은 부분 분수 분해를 통해 다음과 같은 꼴의 분수식들의 합으로 나타낼 수 있다.

$\frac A{(x-a)^m}$
$\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n}$

여기서

A,B,C,a,p,q\in\mathbb R

은 실수이며

m,n\in\mathbb Z^+

은 양의 정수이다. 또한

p^2-4q<0

을 만족시킨다. 이 두 가지 분수식의 부정적분은 다음과 같이 구할 수 있다.

:

\int\frac A{x-a}\mathrm dx=A\ln(x-a)+C

:

\int\frac A{(x-a)^m}\mathrm dx=-\frac A{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C\qquad(m>1)

:

\int\frac{Bx+C}{x^2+px+q}\mathrm dx=\frac B2\ln(x^2+px+q)+\frac{2C-Bp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C

:

\int\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx=

\frac B{2(n-1)(x^2+px+q)^{n-1}}+(C-Bp/2)\int\frac 1{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx\qquad(n>1)

:

\int\frac 1{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx=\frac 1{2(n-1)(q-p^2/4)}\left(\frac{x+p/2}{(x^2+px+q)^{n-1}}+(2n-3)\int\frac 1{(x^2+px+q)^{n-1}}\mathrm dx\right)\qquad(n>1)

부분 분수 분해의 각 항이 초등 함수이므로, 모든 유리 함수의 부정적분은 초등 함수이다.

4. 2. 삼각 함수

삼각 함수 항등식을 이용하면, 삼각 함수의 부정적분은 치환 적분, 부분 적분 등 다양한 방법을 통해 계산할 수 있으며, 피적분 함수를 변형하면 적분이 더 쉬워지는 경우가 많다.^[4] 특히, 삼각 유리 함수(

R(\sin x,\cos x)

꼴)는

\tan\frac x2=t

로 치환하면 유리 함수의 적분으로 변환하여 계산할 수 있다.

R(\sin x,\cos x)

꼴의 함수에서,

R(u,v)

는 2변수 유리 함수이다. 이 부정적분에 치환 적분

\tan\frac x2=t,\;x=2\arctan t,\;\mathrm dx=\frac 2{1+t^2}\mathrm dt

을 사용하면, 원래의 부정적분은 다음과 같이 유리 함수의 부정적분으로 변환된다.

:

\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac 2{1+t^2}\mathrm dt

만약

R(-u,v)=-R(u,v)

라면, 이는 항상

R(u,v)=uR_1(u^2,v)

꼴로 나타낼 수 있으므로, 다음과 같은 더 간편한 기법을 사용할 수 있다.

:

\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int\sin xR_1(\sin^2x,\cos x)\mathrm dx=-\int R_1(1-t^2,t)\mathrm dt\qquad(\cos x=t)

마찬가지로,

R(u,-v)=-R(u,v)

라면,

R(u,v)=vR_1(u,v^2)

꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

:

\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int\cos xR_1(\sin x,\cos^2x)\mathrm dx=\int R_1(t,1-t^2)\mathrm dt\qquad(\sin x=t)

만약

R(-u,-v)=R(u,v)

라면,

R(u,v)=R_1(u/v,v^2)

꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

:

\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R_1(\tan x,\cos^2x)\mathrm dx=\int R_1\left(t,\frac 1{1+t^2}\right)\frac 1{1+t^2}\mathrm dt\qquad(\tan x=t)

모든 유리 함수는 위와 같은 세 유리 함수의 합으로 나타낼 수 있다.

:

R(u,v)=\frac{R(u,v)-R(-u,v)}2+\frac{R(-u,v)-R(-u,-v)}2+\frac{R(-u,-v)+R(u,v)}2

4. 3. 무리 함수

무리 함수는 √f(x) 꼴을 포함하는 함수이다. 무리 함수의 부정적분은 초등 함수로 표현되지 않는 경우가 많다.^[4] 초등 함수 및 비초등 적분을 참조하면 된다.

다음과 같은 꼴의 부정적분은 초등함수이다.

:

R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)

:여기서

R(u,v)

는 2변수 유리 함수이며,

m\in\mathbb Z^+

는 양의 정수이며,

a,b,c,d\in\mathbb R

는 실수이다. 또한

ad-bc\ne 0

을 만족시킨다.

위와 같은 꼴의 무리 함수는

\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t

로 치환하면 유리 함수의 적분으로 변환하여 계산할 수 있다.

x^m(a+bx^n)^p

꼴의 함수 (

a,b\in\mathbb R

는 실수,

m,n,p\in\mathbb Q

는 유리수)는

p,(m+1)/n-1,p+(m+1)/n-1

가운데 적어도 하나가 정수일 경우 초등 함수로 표현 가능하다.

p, (m+1)/n - 1, p+(m+1)/n - 1

가 정수가 아닐 경우 이 부정적분은 초등 함수로 나타낼 수 없음은 19세기 중엽에 파프누티 체비쇼프가 증명하였다.

4. 4. 초등 함수로 나타낼 수 없는 부정적분

일부 초등 함수는 부정적분을 초등 함수로 나타낼 수 없다. 대표적인 예는 다음과 같다.

오차 함수: $\int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x,$
프레넬 함수: $\int \sin x^2\,\mathrm{d}x,$
삼각 적분 함수: $\int \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x,$
로그 적분 함수: $\int\frac{1}{\log x}\,\mathrm{d}x,$
소포모어의 꿈: $\int x^{x}\,\mathrm{d}x.$

더 자세한 내용은 미분 갈루아 이론을 참조하라.

5. 불연속 함수의 부정적분

불연속 함수도 부정적분을 가질 수 있다. 이 분야는 여전히 연구가 진행 중이지만, 다음과 같은 사실들이 알려져 있다.

일부 매우 병리적 함수는 불연속점의 집합이 크더라도 부정적분을 가질 수 있다.
어떤 경우에는 이러한 병리적 함수의 부정적분을 리만 적분을 통해 찾을 수 있지만, 다른 경우에는 리만 적분이 불가능하다.

함수의 정의역이 열린 구간이라고 가정하면, 다음이 성립한다.

함수 f가 부정적분을 갖기 위한 필요충분조건은 아니지만, f가 중간값 정리를 만족해야 한다. 즉, [a, b]가 f의 정의역의 부분 구간이고 y가 f(a)와 f(b) 사이의 임의의 실수이면, f(c) = y가 되는 a와 b 사이의 c가 존재한다. 이는 다르부 정리의 결과이다.
f의 불연속점 집합은 빈 집합이어야 한다. 이 집합은 또한 F-시그마 집합이어야 한다. 임의의 빈 F-시그마 집합에 대해, 주어진 집합을 불연속점 집합으로 가지는 부정적분을 갖는 함수 f를 구성할 수 있다.
f가 부정적분을 가지고, 정의역의 닫힌 유한 부분 구간에서 유계 함수이고, 불연속점 집합이 르베그 측도 0을 가지면, 르베그 적분을 통해 부정적분을 찾을 수 있다. 헨스톡-쿠르츠바일 적분과 같이 더 강력한 적분을 사용하면, 부정적분이 존재하는 모든 함수는 적분 가능하며, 일반 적분은 부정적분과 일치한다.
f가 닫힌 구간 [a,b]에서 부정적분 F를 가지면, 분할 a=x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n=b에 대해 평균값 정리에 의해 지정된 표본점 x_i^*∈[x_i-1,x_i]을 선택하면, 해당 리만 합은 텔레스코핑 급수가 되어 값 F(b)-F(a)가 된다.

:

\begin{align}  \sum_{i=1}^n f(x_i^*)(x_i-x_{i-1}) & = \sum_{i=1}^n [F(x_i)-F(x_{i-1})] \\  & = F(x_n)-F(x_0) = F(b)-F(a)  \end{align}

그러나 f가 무계이거나, f가 유계이지만 f의 불연속점 집합이 양의 르베그 측도를 가지면, 표본점 x_i^*의 다른 선택은 분할이 아무리 미세하더라도 리만 합에 대해 상당히 다른 값을 줄 수 있다.

부정적분을 갖는 함수가 항상 리만 적분 가능한 것은 아니다. 볼테라 함수의 도함수가 그 예이다.

6. 일반 공식

기본 함수	부정적분 공식
${\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} f(x) = g(x)$	$\int g(x) \mathrm{d}x = f(x) + C$
1	$\int 1\ \mathrm{d}x = x + C$
a (상수)	$\int a\ \mathrm{d}x = ax + C$
$x^n$	$\int x^n \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C;\ n \neq -1$
$\sin{x}$	$\int \sin{x}\ \mathrm{d}x = -\cos{x} + C$
$\cos{x}$	$\int \cos{x}\ \mathrm{d}x = \sin{x} + C$
$\sec^2{x}$	$\int \sec^2{x}\ \mathrm{d}x = \tan{x} + C$
$\csc^2{x}$	$\int \csc^2{x}\ \mathrm{d}x = -\cot{x} + C$
$\sec{x}\tan{x}$	$\int \sec{x}\tan{x}\ \mathrm{d}x = \sec{x} + C$
$\csc{x}\cot{x}$	$\int \csc{x}\cot{x}\ \mathrm{d}x = -\csc{x} + C$
$\frac{1}{x}$	\int \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x = \ln>x\| + C
$\mathrm{e}^{x}$	$\int \mathrm{e}^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{e}^{x} + C$
$a^{x}$	$\int a^{x} \mathrm{d}x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C;\ a > 0,\ a \neq 1$
$\frac{1}\sqrt{a^2 - x^2}$	$\int \frac{1}\sqrt{a^2 - x^2}\ \mathrm{d}x = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$
$\frac{1}{a^2 + x^2}$	$\int \frac{1}{a^2 + x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$
$\frac{1}{x^2 + a^2}$	$\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C. \quad (a \ne 0)$
$\frac{1}{x^2 - a^2}$	\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln \left>\frac{x-a}{x+a}\right\|+C. \quad (a \ne 0)
$\frac {1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$	$\int \frac {1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin\frac{x}{a}+C. \quad (a > 0)$
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$\int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \frac{1}{2} \left(x \sqrt{a^2 -x^2}+a^2 \arcsin\frac{x}{a}\right)+C. \quad (a > 0)$
$\frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$	\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}} \,dx = \ln \left>x + \sqrt {x^2 + A}\right\|+C. \quad (A \ne 0)
$\sqrt{x^2+A}$	\int \sqrt{x^2+A}\,dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+A}+A \ln\left>x+\sqrt{x^2+A}\right\|\right)+C. \quad(A \ne 0)
$\ln x$	\int \ln x \, dx = x\ln>x\| -x +C.
$\log_a x$	\int \log_a x \, dx = x\log_a>x\| - \frac{x}{\ln a} \ +C.
$\tan x$	\int \tan x \, dx = -\ln>\cos x\| +C.
$\arcsin x$	$\int \arcsin x\, dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} +C.$
$\frac{1}{\sin x}$	\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \ln\left>\tan \frac{x}{2}\right\| +C.
$\frac{1}{\sin^2 x}$	$\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\frac{1}{\tan x} +C.$
$\frac{1}{\cos x}$	$\int \frac{1}{\cos x} \, dx = \frac{1}{2} \ln {\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} +C.$
$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x +C.$
$\frac{1}{\tan x}$	\int \frac{1}{\tan x} \, dx = \ln>\sin x\| +C.
$\arctan x$	$\int \arctan x \, dx = x\arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) +C.$

7. 관련 개념

미분은 함수의 순간적인 변화율을 나타내는 연산이며, 정적분은 함수의 그래프와 x축 사이의 넓이를 나타내는 연산이다. 이상 적분은 적분 구간이 무한하거나 피적분 함수가 특정 점에서 불연속인 경우의 적분이다.

참조

_[1] 서적 Calculus: Early Transcendentals https://archive.org/[...] Brooks/Cole
_[2] 서적 Calculus Brooks/Cole
_[3] 웹사이트 4.9: Antiderivatives https://math.librete[...] 2017-04-27 2020-08-18
_[4] 웹사이트 Antiderivative and Indefinite Integration {{error|Error: The retired template {{tn|!}} has been transcluded; see [[mw:Help:Magic words#Escaped characters]] for details. To fix this, use only the code {{Magic word|!}} to generate the | character.}} https://brilliant.or[...] 2020-08-18
_[5] 문서 不定積分あるいは原始関数を求めることを''積分する''という
_[6] 서적 なっとくする数学記号講談社 2021
_[7] 서적 Single Variable Calculus: Early Transcendentals Cengage Learning 2011
_[8] 서적 数学分析. 第一册北京大学出版社 2009-08

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