쌍둥이 소수 추측

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1. 개요
2. 브룬의 정리
- 2.1. 브룬 상수
- 2.2. 증명
3. 천의 정리
- 3.1. 골드바흐 추측과의 관련성
4. 소수 간격에 관한 정리들
참조

1. 개요

쌍둥이 소수 추측은 2개의 소수 차이가 2인 쌍둥이 소수가 무한히 많다는 추측이다. 비고 브룬은 쌍둥이 소수의 역수 합이 수렴한다는 것을 증명했고, 이 값을 브룬 상수라고 한다. 천징룬은 무한히 많은 소수 p에 대해 p+2가 소수이거나 거의 소수임을 증명하는 천의 정리를 발표했다. 또한 소수 간격에 대한 여러 정리들이 존재하며, 장이탕은 소수 간극의 하한이 유한하다는 것을 증명했다.

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쌍둥이 소수 추측

2. 브룬의 정리

1915년 노르웨이 수학자 비고 브룬은 쌍둥이 소수의 역수의 총합이 수렴한다는 놀라운 결과를 발표했는데, 이 결과를 브룬의 정리라고 부른다.^[1] 즉, 다음 수열이 수렴한다는 의미이다.

: $\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\cdots$

조화급수와 마찬가지로 소수의 역수의 총합은 발산하기 때문에 결국 쌍둥이 소수 자체의 밀도가 생각보다 높지 않음을 보여준다.

2. 1. 브룬 상수

1915년 노르웨이 수학자 비고 브룬은 쌍둥이 소수의 역수의 총합이 수렴한다는 놀라운 결과를 발표했다.

:

\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\cdots

위 결과를 브룬의 정리라고 부른다. 조화급수와 마찬가지로 소수의 역수의 총합은 발산하기 때문에, 이 결과는 쌍둥이 소수 자체의 밀도가 생각보다 높지 않음을 보여준다. 이 쌍둥이 소수의 역수의 총합을 브룬 상수라고 부르는데, 그 값은 대략 1.90216054에 근접한다.^[1]

브룬의 정리를 증명하는 방법은 본질적으로 에라토스테네스의 체와 포함배제의 원리를 이용한다.

2. 2. 증명

1915년 노르웨이 수학자 비고 브룬(Viggo Brun)은 쌍둥이 소수의 역수의 총합이 수렴한다는 놀라운 결과를 발표했다.^[1] 이를 브룬의 정리(Brun's theorem)라고 부른다. 조화급수와 마찬가지로 소수의 역수의 총합은 발산하기 때문에, 쌍둥이 소수 자체의 밀도는 높지 않음을 알 수 있다. 이 쌍둥이 소수의 역수의 총합을 브룬 상수(Brun's constant)라고 부르며, 그 값은 대략 1.90216054에 근접한다.^[1]

브룬의 정리는 에라토스테네스의 체와 포함배제의 원리(Inclusion-exclusion principle)를 이용하여 증명할 수 있다.^[1]

3. 천의 정리

1966년 중국의 수학자 천징룬은 p+2가 소수이거나 거의 소수(두 소수의 곱)인 소수 p가 무한히 많다는 것을 증명하였다. 이 결과는 천의 정리라 부른다.

3. 1. 골드바흐 추측과의 관련성

1966년 중국의 수학자 천징룬은 무한히 많은 소수

p

에 대해

p+2

가 소수이거나 거의 소수(두 소수의 곱으로 표현 가능한 수)임을 증명했다. 이 결과는 천의 정리라 부르며 골드바흐 추측과도 밀접하게 연결되어 있다.^[1]

4. 소수 간격에 관한 정리들

소수 정리에 의하면 충분히 큰 소수 p에 대해서 소수 간극이 ln(p)로 점근한다.

1940년 폴 에르되시는 어떤 상수 c < 1에 대해 바로 다음 소수와의 간극 (p' - p)가 (c ln p)보다 작은 소수 p가 무한히 많이 존재함을 증명하였다. 이는 소수 간극의 하한이 느리게 증가한다는 것을 의미하며, 이후 많은 학자들이 이를 개선하여 c의 상한을 점점 좁혀갔다. 2005년에는 Goldston, Pintz, Yıldırım이 c의 상한을 무한히 좁힐 수 있다는 결과를 증명하였다.

: $\liminf_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=0.$

그러나 간격을 c ln ln p처럼 로그함수보다 느리게 증가시키는 경우에는 부등식이 성립하는지 알 수 없다.

2013년 장이탕은 소수 간극의 하극한이 유한한 수인 70,000,000보다 작다는 것을 증명함으로써 큰 진척이 이루어졌다. 이후 폴리매스 프로젝트(Polymath Project)에 의해 이 상한은 246까지 좁혀졌다.

4. 1. 소수 정리

소수 정리에 의하면 충분히 큰 소수 p에 대해서 소수 간극이 ln(p)로 점근한다. 1940년 폴 에르되시는 어떤 상수 c < 1에 대해 바로 다음 소수와의 간극 (p' - p)가 (c ln p)보다 작은 소수 p가 무한히 많이 존재함을 증명하였다. 이는 소수 간극의 하한이 느리게 증가한다는 것을 의미하며, 이후 많은 학자들이 이를 개선하여 c의 상한을 점점 좁혀갔다.

4. 2. 에르되시의 결과

소수 정리에 의하면 충분히 큰 소수 p에 대해서 소수 간극이 ln(p)로 점근한다.

1940년 폴 에르되시는 어떤 상수 c < 1에 대해 바로 다음 소수와의 간극 (p' - p)가 (c ln p)보다 작은 소수 p가 무한히 많이 존재함을 증명하였다. 이는 소수 간극의 하한이 느리게 증가한다는 것을 의미하며, 이후 많은 학자들이 이를 개선하여 c의 상한을 점점 좁혀갔다. 그러다가 2005년에는 Goldston, Pintz, Yıldırım이 c의 상한을 무한히 좁힐 수 있다는 결과, 즉 다음을 증명하였다.

:

\liminf_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=0.

그러나 간격을 c ln ln p처럼 로그함수보다 느리게 증가시키는 경우에는 부등식이 성립하는지 알 수 없다.

4. 3. Goldston, Pintz, Yıldırım의 결과

소수 정리에 따르면 충분히 큰 소수 p에 대해 소수 간극은 ln(p)로 점근한다.

1940년 폴 에르되시는 어떤 상수 c < 1에 대해 바로 다음 소수와의 간극 (p' - p)가 (c ln p)보다 작은 소수 p가 무한히 많이 존재함을 증명하였다. 이는 소수 간극의 하한이 느리게 증가한다는 것을 의미하며, 이후 많은 학자들이 이를 개선하여 c의 상한을 점점 좁혀갔다. 그러다가 2005년 Goldston, Pintz, Yıldırım이 c의 상한을 무한히 좁힐 수 있다는 결과, 즉 다음을 증명하였다.

:

\liminf_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=0.

그러나 간격을 c ln ln p처럼 로그함수보다 느리게 증가시키는 경우에는 부등식이 성립하는지 알 수 없다.

4. 4. 장이탕의 결과

2013년 장이탕이 소수 간극의 하극한이 유한한 수인 70,000,000보다 작다는 것을 증명하여 큰 진척이 이루어졌다. 이후 폴리매스 프로젝트(Polymath Project)에 의해 이 상한은 246까지 좁혀졌다.

4. 5. 미해결 문제

소수 정리에 의하면 충분히 큰 소수 p에 대해서 소수 간극이 ln(p)로 점근한다.

1940년 폴 에르되시는 어떤 상수 c < 1에 대해 바로 다음 소수와의 간극 (p' - p)가 (c ln p)보다 작은 소수 p가 무한히 많이 존재함을 증명하였다. 이는 소수 간극의 하한이 느리게 증가한다는 것을 의미하며, 이후 많은 학자들이 이를 개선하여 c의 상한을 점점 좁혀갔다. 그러다가 2005년에는 Goldston, Pintz, Yıldırım이 c의 상한을 무한히 좁힐 수 있다는 결과를 증명하였다.^[1]

그러나 간격을 c ln ln p처럼 로그함수보다 느리게 증가시키는 경우에는 부등식이 성립하는지 알 수 없다.

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