소수의 역수의 합의 발산성

1. 개요

소수의 역수의 합의 발산성은 소수의 역수의 합이 발산한다는 것을 의미한다. 레온하르트 오일러는 조화급수의 발산을 이용하여 소수가 무한히 많음을 증명했으며, 테일러 급수 전개와 자연로그를 사용하여 소수의 역수 합이 발산함을 증명했다. 또한 에르되시 팔, 이반 니븐, 제임스 A. 클락슨 등 여러 수학자들이 다양한 방법으로 소수의 역수의 합의 발산성을 증명했다. 소수의 역수의 부분합은 정수가 될 수 없으며, 최소공배수의 관점에서 부분합을 다시 써서 이를 증명할 수도 있다.

2. 조화급수

레온하르트 오일러는 조화급수가 발산함을 이용하여 소수가 무한히 많음을 증명하였다. 오일러는 다음의 조화 급수를 생각했다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash infty$

오일러는 오일러 곱을 사용하여 무한히 많은 소수의 존재를 증명했다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; =\; \backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(\; 1+\backslash frac\{1\}\{p\}+\backslash frac\{1\}\{p^2\}+\backslash cdots\; \backslash right)\; =\; \backslash prod\_\{p\}\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-1\}\}$

여기서 곱은 모든 소수의 집합에 대해 취해지며, 산술의 기본 정리를 반영한다. 만약 소수가 유한 개만 있다면, 오른쪽의 곱은 수렴하여 조화 급수의 발산에 모순된다.

2.1. 오일러 곱

3. 증명

테일러 급수 전개와 자연로그를 이용하여 소수의 역수 합이 발산함을 증명하였다. 먼저 각 변의 자연 로그를 취한 다음, 수렴하는 급수의 합뿐만 아니라 $\backslash log\; x$에 대한 테일러 급수 전개를 사용한다. 이를 통해 발산 속도가 $\backslash ln\; \backslash ln\; n$에 근접함을 보였다.

:$$
\begin{align}
\ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) & {} = \ln \left( \prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}\right)
= \sum_p \ln \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_p - \ln(1-p^{-1}) \\
& {} = \sum_p \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2} + \frac{1}{3p^3} + \cdots \right) = \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3p} + \frac{1}{4p^2} + \cdots \right) \\
& {} < \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots \right) = \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + \left( \sum_p \frac{1}{p(p-1)} \right) \\
& {} = \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + C
\end{align}


마지막 등식의 $C$는 어느 상수이다.

이 무한대로 접근함에 따라 보다 작은 소수의 역수의 합이 에 점근한다는 것을 의미했을 가능성이 크다. 1874년 프란츠 메르텐스는 오일러의 증명을 엄밀하게 증명하였다.

에르되시 팔은 귀류법을 사용하여 소수의 역수 합이 발산함을 증명하였다. n번째 소수를 p_n이라 쓰기로 하자.

소수의 역수의 합이 수렴한다고 가정하면 다음을 만족하는 가장 작은 양의 정수 k가 존재한다.

:

만약 수렴한다면, 무한급수에서 적당히 앞부분을 잘라 나머지 부분이 1/2 보다 작게 만들 수 있다. 즉, 위의 부등식을 만족하는 어떤 k가 있다.

그 잘라낸 소수들을 모두 곱한 값을 Q라고 해 보자. 즉, Q = p₁ ··· p_k라 하면, 모든 자연수 n에 대해 1+nQ는 p₁부터 p_k까지 어느 소수로도 나누어떨어지지 않는다. 따라서 n의 값에 관계 없이 1+nQ의 모든 소인수는 p_{k + 1} 이후의 소수들이 된다.

그리하여 모든 1보다 큰 r에서 다음 부등식이 성립한다.

:

두 번째 부등식은 가정에 의해 성립한다. 첫 번째 부등식은 1+nQ의 소인수가 모두 p_k+1이후의 소수이므로 우변을 전개하면 좌변의 모든 항이 들어있게 된다. 그런데 좌변은 적분판정법으로 발산함을 알 수 있고 우변은 무한등비급수이므로 수렴한다. 따라서 모순이 된다.

에르되시 팔은 상한과 하한을 이용한 추정을 통해 모순을 이끌어냈다. 양의 정수 x에 대해, M_x를 {1, 2, ..., x}에서 p_k보다 큰 소수로 나누어 떨어지지 않는 n의 집합이라고 하자. 이제 M_x의 원소의 개수, 즉 |M_x|에 대한 상한과 하한을 유도할 것이다. 큰 x에 대해, 이 경계들은 모순임을 알게 될 것이다.

* 상한: M_x의 모든 n은 양의 정수 m과 r을 사용하여 n = m²r로 쓸 수 있으며, 여기서 r은 제곱이 없는 수이다. k개의 소수 p₁, ..., p_k만 r의 소인수 분해에 나타날 수 있으므로(지수 1), r에 대해 최대 2^k개의 서로 다른 가능성이 있다. 또한, m에 대해 최대 x개의 가능한 값이 있다. 이것은 다음 상한을 제공한다.

:$|M\_x|\; \backslash le\; 2^k\backslash sqrt\{x\}$

* 하한: 차집합 {1, 2, ..., x} \ M_x에 있는 나머지 x - |M_x|개의 숫자는 모두 p_k보다 큰 소수로 나누어 떨어진다. N_i,x를 {1, 2, ..., x}에서 i번째 소수 p_i로 나누어 떨어지는 n의 집합이라고 하자. 그러면

:$\backslash \{1,2,\backslash ldots,x\backslash \}\backslash setminus\; M\_x\; =\; \backslash bigcup\_\{i=k+1\}^\backslash infty\; N\_\{i,x\}$

N_i,x에 있는 정수의 개수는 최대 x/p_i이므로(p_i > x일 때 실제로 0), 다음을 얻는다.

:

(1)을 사용하면 다음을 의미한다.

:

이것은 모순을 낳는다. x ≥ 2^{2k + 2}일 때, x/2 ≥ 2^kx이므로 추정치 (2)와 (3)은 모두 성립할 수 없다.

이반 니븐은 오일러의 곱 확장 아이디어를 바탕으로 부분 합이 log log n 만큼 빠르게 증가한다는 것을 보였다.

다음은 부분 합에 대한 하한 추정치를 제공하는 증명이다. 이 증명은 오일러의 곱 확장 아이디어를 바탕으로 한 이반 니븐(Ivan Niven)의 증명이다.

이 증명은 다음 네 가지 부등식에 의존한다.

* 모든 양의 정수 i는 산술의 기본 정리의 결과로 제곱 인수가 없는 정수와 제곱의 곱으로 고유하게 표현될 수 있다.
* 자연 로그에 대한 상한은 다음과 같다: log(n+1)
* 지수 함수에 대한 하한 는 모든 에 대해 유효하다.
* 로 둡니다. 부분 합에 대한 상한(텔레스코핑 합 사용)은 다음과 같다. (수렴은 우리에게 정말 필요한 전부이다.)

$$\backslash begin\{align\}$$
\sum_{k=1}^n \frac 1 {k^2}
&< 1 + \sum_{k=2}^n \underbrace{\left(\frac1{k - \frac{1}{2}} - \frac1{k + \frac{1}{2}}\right)}_{=\, \frac{1}{k^2 - \frac14} \,>\, \frac{1}{k^2}} \\
&= 1 + \frac23 - \frac1{n + \frac{1}{2}} < \frac53
\end{align}

이 모든 부등식을 결합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\log(n+1) & < \sum_{i=1}^n\frac{1}{i} \\
& \le \prod_{p \le n} \left(1 + \frac{1}{p}\right) \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \\
& < \frac53\prod_{p \le n} \exp\left(\frac{1}{p}\right) \\
& = \frac53\exp\left(\sum_{p \le n} \frac{1}{p} \right)
\end{align}

으로 나누고 양변에 자연 로그를 취하면



가 성립한다.

$$\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{k^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}6$$

(바젤 문제 참조)이고, 위 상수 는 로 개선될 수 있다.

$$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\; \}\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{p\; \backslash leq\; n\}\; \backslash frac\{1\}\{p\}\; -\; \backslash log\; \backslash log\; n\; \backslash right)\; =\; M$$

여기서 는 마이셀-메르텐스 상수이다.

뒤사르 부등식으로부터 다음을 얻는다.



그렇다면
$$\backslash begin\{align\}$$
\sum_{n=1}^\infty \frac1{ p_n}
&\ge \sum_{n=6}^\infty \frac{1}{ p_n} \\
&\ge \sum_{n=6}^\infty \frac{1}{ n \log n + n \log \log n} \\
&\ge \sum_{n=6}^\infty \frac{1}{2n \log n} = \infty
\end{align}

수렴 판정법의 적분 판정법에 의해, 이는 좌변의 급수가 발산함을 보여준다.

제임스 A. 클락슨은 기하급수와 조화급수를 이용하여 소수의 역수 합이 발산함을 보였다. n번째 소수를 p_n이라 하자. 만약 소수의 역수 합이 수렴한다면, 다음 부등식을 만족하는 k가 존재한다.

:

이때, Q = p₁...p_k라 하면, 모든 자연수 n에 대해 1+nQ는 p₁부터 p_k까지 어느 소수로도 나누어떨어지지 않는다. 따라서 1+nQ의 모든 소인수는 p_k+1 이후의 소수들이다.

모든 1보다 큰 r에서 다음 부등식이 성립한다.

:

두 번째 부등식은 가정에 의해, 첫 번째 부등식은 1+nQ의 소인수가 모두 p_k+1이후의 소수이므로 우변을 전개하면 좌변의 모든 항이 포함되기 때문에 성립한다. 좌변은 적분판정법으로 발산하고 우변은 무한등비급수이므로 수렴하여 모순이 발생한다.

k번째 꼬리를 다음과 같이 정의한다.

$$x\_\{k\}\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; k+1\}\; ^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{p\_n\}.$$

그러면 i ≥ 0에 대해, (x_k)ⁱ의 전개식은 집합 { p_k+1, p_k+2, ... }에서 정확히 i개의 소인수(중복 포함)를 갖는 양의 정수의 역수에 대해 적어도 하나의 항을 포함한다. 따라서 등비 급수 $\backslash sum\_\{i\; =\; 0\}\; ^\{\backslash infty\}\; (x\_\{k\})^\{i\}$는 어떤 p_n, n≤k로도 나누어지지 않는 양의 정수의 역수에 대해 적어도 하나의 항을 포함한다. 그러나 1+j(p₁p₂...p_k)는 항상 이 기준을 충족하므로, 다음이 성립한다.

$$\backslash sum\_\{i=0\}^\{\backslash infty\}(x\_\{k\})^\{i\}>\backslash sum\_\{j=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{1+j(p\_\{1\}p\_\{2\}\; \backslash cdots\; p\_\{k\})\}>\backslash frac\{1\}\{1+p\_\{1\}p\_\{2\}\; \backslash cdots\; p\_\{k\}\}\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{j\}=\backslash infty$$

이는 조화 급수의 발산에 의해 모든 k에 대해 x_k ≥ 1임을 보여주며, 수렴하는 급수의 꼬리는 0으로 수렴해야 하므로, 소수의 역수 합은 발산한다.

3.1. 오일러의 증명

오일러는 테일러 급수 전개와 자연로그를 이용하여 증명하였다. 먼저 각 변의 자연 로그를 취한 다음, 수렴하는 급수의 합뿐만 아니라 $\backslash log\; x$에 대한 테일러 급수 전개를 사용한다. 이를 통해 발산 속도가 $\backslash ln\; \backslash ln\; n$에 근접함을 보였다.

:$$
\begin{align}
\ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) & {} = \ln \left( \prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}\right)
= \sum_p \ln \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_p - \ln(1-p^{-1}) \\
& {} = \sum_p \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2} + \frac{1}{3p^3} + \cdots \right) = \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3p} + \frac{1}{4p^2} + \cdots \right) \\
& {} < \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots \right) = \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + \left( \sum_p \frac{1}{p(p-1)} \right) \\
& {} = \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + C
\end{align}


마지막 등식의 $C$는 어느 상수이다.

이 무한대로 접근함에 따라 보다 작은 소수의 역수의 합이 에 점근한다는 것을 의미했을 가능성이 크다. 1874년 프란츠 메르텐스는 오일러의 증명을 엄밀하게 증명하였다.

3.2. 에르되시 팔의 증명

에르되시 팔은 귀류법을 사용하여 소수의 역수 합이 발산함을 증명하였다. n번째 소수를 p_n이라 쓰기로 하자.

소수의 역수의 합이 수렴한다고 가정하면 다음을 만족하는 가장 작은 양의 정수 k가 존재한다.

:

만약 수렴한다면, 무한급수에서 적당히 앞부분을 잘라 나머지 부분이 1/2 보다 작게 만들 수 있다. 즉, 위의 부등식을 만족하는 어떤 k가 있다.

그 잘라낸 소수들을 모두 곱한 값을 Q라고 해 보자. 즉, Q = p₁ ··· p_k라 하면, 모든 자연수 n에 대해 1+nQ는 p₁부터 p_k까지 어느 소수로도 나누어떨어지지 않는다. 따라서 n의 값에 관계 없이 1+nQ의 모든 소인수는 p_{k + 1} 이후의 소수들이 된다.

그리하여 모든 1보다 큰 r에서 다음 부등식이 성립한다.

:

두 번째 부등식은 가정에 의해 성립한다. 첫 번째 부등식은 1+nQ의 소인수가 모두 p_k+1이후의 소수이므로 우변을 전개하면 좌변의 모든 항이 들어있게 된다. 그런데 좌변은 적분판정법으로 발산함을 알 수 있고 우변은 무한등비급수이므로 수렴한다. 따라서 모순이 된다.

에르되시 팔은 상한과 하한을 이용한 추정을 통해 모순을 이끌어냈다. 양의 정수 x에 대해, M_x를 {1, 2, ..., x}에서 p_k보다 큰 소수로 나누어 떨어지지 않는 n의 집합이라고 하자. 이제 M_x의 원소의 개수, 즉 |M_x|에 대한 상한과 하한을 유도할 것이다. 큰 x에 대해, 이 경계들은 모순임을 알게 될 것이다.

* 상한: M_x의 모든 n은 양의 정수 m과 r을 사용하여 n = m²r로 쓸 수 있으며, 여기서 r은 제곱이 없는 수이다. k개의 소수 p₁, ..., p_k만 r의 소인수 분해에 나타날 수 있으므로(지수 1), r에 대해 최대 2^k개의 서로 다른 가능성이 있다. 또한, m에 대해 최대 x개의 가능한 값이 있다. 이것은 다음 상한을 제공한다.

:$|M\_x|\; \backslash le\; 2^k\backslash sqrt\{x\}$

* 하한: 차집합 {1, 2, ..., x} \ M_x에 있는 나머지 x - |M_x|개의 숫자는 모두 p_k보다 큰 소수로 나누어 떨어진다. N_i,x를 {1, 2, ..., x}에서 i번째 소수 p_i로 나누어 떨어지는 n의 집합이라고 하자. 그러면

:$\backslash \{1,2,\backslash ldots,x\backslash \}\backslash setminus\; M\_x\; =\; \backslash bigcup\_\{i=k+1\}^\backslash infty\; N\_\{i,x\}$

N_i,x에 있는 정수의 개수는 최대 x/p_i이므로(p_i > x일 때 실제로 0), 다음을 얻는다.

:

(1)을 사용하면 다음을 의미한다.

:

이것은 모순을 낳는다. x ≥ 2^{2k + 2}일 때, x/2 ≥ 2^kx이므로 추정치 (2)와 (3)은 모두 성립할 수 없다.

3.3. 로그-로그 성장 증명

이반 니븐은 오일러의 곱 확장 아이디어를 바탕으로 부분 합이 log log n 만큼 빠르게 증가한다는 것을 보였다.

다음은 부분 합에 대한 하한 추정치를 제공하는 증명이다. 이 증명은 오일러의 곱 확장 아이디어를 바탕으로 한 이반 니븐(Ivan Niven)의 증명이다.

이 증명은 다음 네 가지 부등식에 의존한다.

* 모든 양의 정수 i는 산술의 기본 정리의 결과로 제곱 인수가 없는 정수와 제곱의 곱으로 고유하게 표현될 수 있다.
* 자연 로그에 대한 상한은 다음과 같다: log(n+1)
* 지수 함수에 대한 하한 는 모든 에 대해 유효하다.
* 로 둡니다. 부분 합에 대한 상한(텔레스코핑 합 사용)은 다음과 같다. (수렴은 우리에게 정말 필요한 전부이다.)

$$\backslash begin\{align\}$$
\sum_{k=1}^n \frac 1 {k^2}
&< 1 + \sum_{k=2}^n \underbrace{\left(\frac1{k - \frac{1}{2}} - \frac1{k + \frac{1}{2}}\right)}_{=\, \frac{1}{k^2 - \frac14} \,>\, \frac{1}{k^2}} \\
&= 1 + \frac23 - \frac1{n + \frac{1}{2}} < \frac53
\end{align}

이 모든 부등식을 결합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\log(n+1) & < \sum_{i=1}^n\frac{1}{i} \\
& \le \prod_{p \le n} \left(1 + \frac{1}{p}\right) \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \\
& < \frac53\prod_{p \le n} \exp\left(\frac{1}{p}\right) \\
& = \frac53\exp\left(\sum_{p \le n} \frac{1}{p} \right)
\end{align}

으로 나누고 양변에 자연 로그를 취하면



가 성립한다.

$$\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{k^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}6$$

(바젤 문제 참조)이고, 위 상수 는 로 개선될 수 있다.

$$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\; \}\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{p\; \backslash leq\; n\}\; \backslash frac\{1\}\{p\}\; -\; \backslash log\; \backslash log\; n\; \backslash right)\; =\; M$$

여기서 는 마이셀-메르텐스 상수이다.

3.4. 뒤사르 부등식을 이용한 증명

뒤사르 부등식으로부터 다음을 얻는다.



그렇다면
$$\backslash begin\{align\}$$
\sum_{n=1}^\infty \frac1{ p_n}
&\ge \sum_{n=6}^\infty \frac{1}{ p_n} \\
&\ge \sum_{n=6}^\infty \frac{1}{ n \log n + n \log \log n} \\
&\ge \sum_{n=6}^\infty \frac{1}{2n \log n} = \infty
\end{align}

수렴 판정법의 적분 판정법에 의해, 이는 좌변의 급수가 발산함을 보여준다.

3.5. 기하급수와 조화급수를 이용한 증명

제임스 A. 클락슨은 기하급수와 조화급수를 이용하여 소수의 역수 합이 발산함을 보였다. n번째 소수를 p_n이라 하자. 만약 소수의 역수 합이 수렴한다면, 다음 부등식을 만족하는 k가 존재한다.

:

이때, Q = p₁...p_k라 하면, 모든 자연수 n에 대해 1+nQ는 p₁부터 p_k까지 어느 소수로도 나누어떨어지지 않는다. 따라서 1+nQ의 모든 소인수는 p_k+1 이후의 소수들이다.

모든 1보다 큰 r에서 다음 부등식이 성립한다.

:

두 번째 부등식은 가정에 의해, 첫 번째 부등식은 1+nQ의 소인수가 모두 p_k+1이후의 소수이므로 우변을 전개하면 좌변의 모든 항이 포함되기 때문에 성립한다. 좌변은 적분판정법으로 발산하고 우변은 무한등비급수이므로 수렴하여 모순이 발생한다.

k번째 꼬리를 다음과 같이 정의한다.

$$x\_\{k\}\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; k+1\}\; ^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{p\_n\}.$$

그러면 i ≥ 0에 대해, (x_k)ⁱ의 전개식은 집합 { p_k+1, p_k+2, ... }에서 정확히 i개의 소인수(중복 포함)를 갖는 양의 정수의 역수에 대해 적어도 하나의 항을 포함한다. 따라서 등비 급수 $\backslash sum\_\{i\; =\; 0\}\; ^\{\backslash infty\}\; (x\_\{k\})^\{i\}$는 어떤 p_n, n≤k로도 나누어지지 않는 양의 정수의 역수에 대해 적어도 하나의 항을 포함한다. 그러나 1+j(p₁p₂...p_k)는 항상 이 기준을 충족하므로, 다음이 성립한다.

$$\backslash sum\_\{i=0\}^\{\backslash infty\}(x\_\{k\})^\{i\}>\backslash sum\_\{j=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{1+j(p\_\{1\}p\_\{2\}\; \backslash cdots\; p\_\{k\})\}>\backslash frac\{1\}\{1+p\_\{1\}p\_\{2\}\; \backslash cdots\; p\_\{k\}\}\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{j\}=\backslash infty$$

이는 조화 급수의 발산에 의해 모든 k에 대해 x_k ≥ 1임을 보여주며, 수렴하는 급수의 꼬리는 0으로 수렴해야 하므로, 소수의 역수 합은 발산한다.

4. 부분합

소수의 역수의 부분합은 정수가 될 수 없다. 첫 번째 부분 합은 1/2로, 홀수/짝수 형태이다. 만약 n ≥ 1에 대한 n번째 부분 합이 홀수/짝수 형태를 갖는다면, (n + 1)번째 합은 다음과 같다.

: 홀수/짝수 + 1/p_n+1 = (홀수 * p_n+1 + 짝수)/(짝수 * p_n+1) = (홀수 + 짝수)/짝수 = 홀수/짝수

(n + 1)번째 소수 p_n+1가 홀수이므로, 이 합 역시 홀수/짝수 형태를 가지므로, 이 부분 합은 정수가 될 수 없다. (2가 분모를 나누지만 분자를 나누지 않기 때문). 따라서 귀납법은 계속된다.

또 다른 증명은 처음 n개의 소수의 역수의 합 (또는 어떤 소수 집합의 역수의 합)에 대한 식을 최소공배수의 관점에서 다시 쓴다. 최소 공통 분모는 이 모든 소수의 곱이다. 그러면 이 소수 각각은 분자 항 중 하나를 제외한 모든 것을 나누므로, 분자 자체를 나누지 않는다. 그러나 각 소수는 분모를 나눈다. 따라서 이 식은 기약 분수이며 정수가 아니다.