쌍유리 불변량
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1. 개요
쌍유리 불변량은 대수다양체의 쌍유리 동치류에서 잘 정의된 수 또는 대상이다. 즉, 오직 다양체의 함수체에 대해서만 달라진다. 예시로, 리만 곡면의 기하 종수와 호지 이론에서 대수 곡면의 호지 수 h0,1 및 h0,2가 있다.
대수 다형체의 쌍유리 동치류에서 잘 정의된 수 또는 대상이다. 즉, 다형체의 함수체에만 의존한다.
베른하르트 리만과 호지 이론에서 쌍유리 불변량의 예를 찾을 수 있다. 리만은 대수 곡선과 리만 곡면의 관계를 통해 종수가 쌍유리 불변량임을 보였고, 호지 이론에서는 특정 호지 수가 쌍유리 불변량이지만, 곡면을 부풀리는 과정에서 다른 호지 수는 변할 수 있음을 보여준다.
2. 정의
3. 예시
3. 1. 리만 곡면
베른하르트 리만은 그의 기초 연구에서 각 대수 곡선에 대해 리만 곡면을 정의할 수 있음을 보였다. 모든 리만 곡면은 대수 곡선에서 나오며, 쌍유리 동형까지 잘 정의되고 두 쌍유리 동형 곡선은 동일한 리만 곡면에 대응된다. 따라서 대응되는 리만 곡면, 또는 더 간단하게는 대응되는 리만 곡면의 종수는 쌍유리 불변량이다.
3. 2. 호지 이론
베른하르트 리만의 연구에서는 각 대수 곡선에 대해 리만 곡면을 정의할 수 있음을 보였다. 모든 리만 곡면은 대수 곡선에서 나오며, 쌍유리 동형까지 잘 정의되고 두 쌍유리 동형 곡선은 동일한 리만 곡면에 대응된다. 따라서 대응되는 리만 곡면의 종수는 쌍유리 불변량이다.
호지 이론에서 대수 곡면의 경우 비특이 사영 복소 곡면의 호지 수 ''h''0,1 및 ''h''0,2는 쌍유리 불변량이다. 호지 수 ''h''1,1은 곡면의 곡선에 대한 점을 부풀리는 과정이 그것을 증가시킬 수 있기 때문에 쌍유리 불변량이 아니다.
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