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잘 정의됨

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목차

1. 개요

'잘 정의됨'은 정의가 실제로 성립하고, 정의 과정에서 사용되는 중간 표식에 최종 결과가 의존하지 않는다는 두 가지 조건을 만족하는 것을 의미한다. 즉, 정해진 대상이 유일하게 존재할 때 잘 정의된다고 할 수 있다. 대수학, 집합과 함수, 연산, 표기법, 프로그래밍 언어, 편미분 방정식 등 다양한 수학 및 컴퓨터 과학 분야에서 '잘 정의됨'의 개념이 적용된다.

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잘 정의됨
정의 및 범위
의미어떤 대상이나 개념에 대해 모호함 없이 하나의 명확한 해석만을 가지도록 규정하는 것
관련 개념수학, 논리학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 중요한 개념
수학적 정의
필요성수학적 엄밀성을 확보하고, 오류 없는 추론을 가능하게 함
예시함수의 정의, 연산의 정의 등
주의사항정의가 명확하지 않으면 모순이나 오류 발생 가능성 존재
논리적 정의
중요성논리적 주장의 타당성을 검증하고, 명확한 의사소통을 가능하게 함
예시개념 정의, 용어 정의 등
오류 방지정의가 불명확하면 논리적 오류 발생 가능성 존재
컴퓨터 과학적 정의
역할프로그램의 동작을 예측 가능하게 하고, 효율적인 코드 작성을 가능하게 함
예시변수 정의, 함수 정의, 자료 구조 정의 등
중요성정의가 부정확하면 프로그램 오류 발생 가능성 증가
잘 정의된 표현 (Well-defined expression)
정의모호함 없이 하나의 의미로 해석될 수 있는 표현
특징입력 값에 관계없이 항상 동일한 결과를 보장
중요성수학적 엄밀성과 논리적 일관성을 유지하는 데 필수적
예시함수, 연산, 관계 등
주의 사항표현이 잘 정의되지 않으면 오류 발생 가능성 존재
수학적 예시
함수각 입력 값에 대해 하나의 출력 값만을 가지는 함수
연산연산 결과가 입력 값에 관계없이 유일하게 결정되는 연산
관계관계의 정의가 명확하여 모호함이 없는 관계
기타
관련 용어정의, 엄밀성, 모호성, 일관성
활용 분야수학, 논리학, 컴퓨터 과학, 공학 등

2. 정의

어떤 정의가 '잘 정의됨'이기 위해서는 다음 두 가지 조건이 만족되어야 한다.


  • 실제로 성립한다: 정의에서 제시된 표식이 성립하지 않는 경우 (예를 들어, 극한값을 사용한 정의에서 극한이 존재하지 않는 경우)에는 잘 정의되었다고 할 수 없다.
  • 경유하는 중간 표식에 의존하지 않는다: 정의가 여러 표식을 거치는 경우, 최종 결론이 중간 표식에 의존하면 잘 정의되었다고 할 수 없다. 예를 들어, 교차하는 두 직선의 예각을 정의할 때 교점에 새로운 이름을 붙이는 경우, 최종 결론이 교점의 위치나 이름에 따라 바뀌면 안 된다.


즉, 정의된 대상이 유일하게 존재할 때 '잘 정의됨'이라고 한다.

2. 1. 대수학적 정의

집합 위의 동치 관계와 사상에 대하여, 이면 가 임의의 에 대해 성립할 때, 사상은 관계에 관해 잘 정의됨(well-defined)라고 한다.

3. 예시

원주율 π|파이영어는 원의 지름에 대한 원주의 비율로 정의된다. 이 정의에서 원은 특정한 중심이나 반지름을 갖지 않지만, 지름이 0이 아니므로 모든 원에 대해 비율을 계산할 수 있다. 모든 원은 서로 닮음이므로, 지름에 대한 원주의 비율은 어떤 원을 선택하든 일정하다. 따라서 원주율의 정의는 잘 정의된다.[2]

real number|실수영어 ''a'' > 0의 ''x'' 제곱을 정의할 때, ''x''가 유리수인 경우는 잘 정의되어 있다고 가정하고, ''x''가 실수인 경우로 정의를 확장한다. 이때, ''x''에 수렴하는 유리수열 를 사용하여 다음과 같이 정의한다.

:

이러한 유리수열 는 항상 존재하며, 위 식 우변의 극한은 수렴하고, 그 극한값은 의 선택에 관계없이 유일하게 결정된다. 특히 ''x''가 유리수인 경우, 이 정의는 원래의 정의와 일치한다.[2] 따라서 이 정의는 잘 정의된다.

3. 1. 집합과 함수

집합 A_0, A_1이 주어지고, A = A_0 \cup A_1이며, f: A \rightarrow \{0,1\}를 a \in A_0이면 f(a)=0이고, a \in A_1이면 f(a)=1로 정의한다고 하자.

만약 A_0 \cap A_1 = \emptyset이면, 즉 두 집합이 서로소이면 f는 잘 정의된다. 예를 들어, A_0:=\{2,4\}이고 A_1:=\{3,5\}이면, f(a)는 잘 정의되며 \operatorname{mod}(a,2)와 같다.

하지만 A_0 \cap A_1 \neq \emptyset이면, 즉 두 집합에 교집합이 존재하면 f는 잘 정의되지 않는다. 왜냐하면 a \in A_0 \cap A_1에 대해 f(a)가 모호해지기 때문이다. 예를 들어 A_0:=\{2\}이고 A_1:=\{2\}이면, f(2)는 0도 될 수 있고 1도 될 수 있으므로 모호하다. 따라서, 후자의 경우 f는 잘 정의되지 않으며, 함수가 아니다.

f의 정의를 두 단계로 나누면 다음과 같다.

# 이진 관계의 정의. 예를 들어,

:f := \bigl\{(a,i) \mid i \in \{0,1\} \wedge a \in A_i \bigr\},

# 이진 관계 f가 함수라는 주장. 즉,

:f: A \rightarrow \{0,1\}.

1단계의 정의는 자유롭게 정의할 수 있지만, 2단계의 주장은 증명해야 한다. f가 함수가 되기 위한 필요충분조건은 A_0 \cap A_1 = \emptyset이며, 이 경우 함수 f는 잘 정의된다.

반대로, A_0 \cap A_1 \neq \emptyset이면, a \in A_0 \cap A_1에 대해 (a,0) \in f와 (a,1) \in f가 모두 성립하여 이진 관계 f는 함수적이지 않으므로 함수로 잘 정의되지 않는다.

3. 2. 함수와 대표원

함수의 정의 방정식이 인수 자체가 아닌, 인수의 대표원을 참조할 때, 함수 적용 결과는 대표원의 선택에 의존하지 않아야 한다.

예를 들어, 다음 함수를 고려해 보자.

:

\begin{matrix}

f : & \Z/8\Z & \to & \Z/4\Z\\

& \overline{n}_8 & \mapsto & \overline{n}_4,

\end{matrix}

여기서 n\in\Z, m\in \{4,8\}이고 \Z/m\Z는 ''m''을 법으로 하는 정수이며 \overline{n}_m은 ''n'' mod ''m''의 합동류를 나타낸다.

\overline{n}_4는 n \in \overline{n}_8의 원소를 참조하며, \overline{n}_8는 ''f''의 인수이다.

함수 ''f''는 잘 정의되는데, 그 이유는 다음과 같다.

:n \equiv n' \bmod 8 \; \Leftrightarrow \; 8 \text{ divides } (n-n') \Rightarrow \; 4 \text{ divides } (n-n') \; \Leftrightarrow \; n \equiv n' \bmod 4.

반면, 역 정의는 다음과 같다.

:

\begin{matrix}

g : & \Z/4\Z & \to & \Z/8\Z\\

& \overline{n}_4 & \mapsto & \overline{n}_8,

\end{matrix}

이는 잘 정의된 함수가 아니다. 예를 들어 \overline{1}_4는 \Z/4\Z에서 \overline{5}_4와 같지만, 전자는 g에 의해 \overline{1}_8로 매핑되는 반면, 후자는 \overline{5}_8로 매핑되며, \overline{1}_8과 \overline{5}_8는 \Z/8\Z에서 같지 않기 때문이다.

3. 3. 연산

코셋에 대한 (이진) 연산은 두 변수의 함수로 볼 수 있으며, '잘 정의됨'의 속성은 함수와 동일하다.[1] 예를 들어, 어떤 ''n''에 대한 정수 모듈로의 덧셈은 정수 덧셈의 관점에서 자연스럽게 정의될 수 있다.[1]

:[a]\oplus[b] = [a+b]

이것이 잘 정의된다는 사실은 [a]의 임의의 대표를 a+kn으로 쓸 수 있다는 사실에서 비롯되며, 여기서 k는 정수이다.[1] 따라서 아래와 같다.

:[a]\oplus[b] = [a+kn]\oplus[b] = [(a+kn)+b] = [(a+b)+kn] = [a+b]

[b]의 임의의 대표에도 유사하게 적용되므로, 대표의 선택에 관계없이 [a+b]는 동일하게 유지된다.[1]

3. 4. 표기법

실수의 곱셈 a \times b \times c는 (a \times b) \times c = a \times (b \times c)이므로 모호하지 않으며, 따라서 표기법은 '잘 정의되었다'고 말한다.[1] 이는 곱셈의 결합 법칙이라고도 알려진 속성으로, 곱셈 순서에 관계없이 결과가 동일함을 보장한다. 따라서 곱셈 순서에 대한 명시를 생략할 수 있다. 뺄셈 연산은 결합 법칙이 성립하지 않는다. 그럼에도 불구하고 a-b-c는 (a-b)-c의 약식 표기라는 관례가 있어 "잘 정의된" 것으로 간주한다. 반면에, 나눗셈은 결합 법칙이 성립하지 않으며, a/b/c의 경우 괄호 사용 규칙이 잘 정립되어 있지 않으므로, 이 표현은 종종 부적절하게 정의된 것으로 간주된다.

함수와 달리, 표기법의 모호성은 추가적인 정의(예: 연산자 우선 순위, 연산자의 결합 법칙)를 통해 극복할 수 있다. 예를 들어, C 프로그래밍 언어에서 뺄셈 연산자 -는 '왼쪽에서 오른쪽으로 결합'하므로 a-b-c는 (a-b)-c로 정의되며, 할당 연산자 =는 '오른쪽에서 왼쪽으로 결합'하므로 a=b=c는 a=(b=c)로 정의된다.[3] APL 프로그래밍 언어에는 단 하나의 규칙만 존재한다: 오른쪽에서 왼쪽으로 – 단, 괄호가 먼저다.

3. 5. 원주율

원주율 π|파이영어의 정의 "원의 지름에 대한 원주의 비"를 생각해보자. 이 정의에 나타나는 원은 구체적인 중심이나 반지름이 지정되어 있지 않지만, 지름은 0이 아니므로 비를 구하는 것은 모든 원에 대해 가능하다. 또한 모든 원은 서로 닮음이므로 지름에 대한 원주의 비는 구체적인 원의 선택에 의존하지 않는다. 따라서 이 원주율의 정의는 잘 정의된다.

3. 6. 실수의 거듭제곱

real number|실수영어 ''a'' > 0의 ''x'' 제곱을 정의할 때, ''x''가 유리수인 경우는 이미 잘 정의되어 있다고 가정하고, ''x''가 실수인 경우로 확장을 하고자 한다. 이때, ''x''에 수렴하는 유리수열 을 사용하여

:

으로 정의한다.

실제로 그러한 유리수열 을 잡을 수 있으며, 위 식의 우변의 극한값은 수렴하며, 그 값은 유리수열 을 어떻게 잡는지에 관계없이 유일하게 결정된다(특히, ''x''가 유리수인 경우에는 원래 정의와 일치한다)[2].

4. 프로그래밍 언어에서의 "잘 정의됨"

C 프로그래밍 언어에서 뺄셈 연산자 `-`는 '왼쪽에서 오른쪽으로 결합'하므로 `a-b-c`는 `(a-b)-c`로 정의되며, 할당 연산자 `=`는 '오른쪽에서 왼쪽으로 결합'하므로 `a=b=c`는 `a=(b=c)`로 정의된다.[3] APL 프로그래밍 언어에는 단 하나의 규칙만 존재한다. 오른쪽에서 왼쪽으로 연산이 진행되지만, 괄호 안의 연산이 먼저다.

5. 편미분 방정식에서의 "잘 정의됨"

편미분 방정식의 해는 경계 조건이 변경될 때 해당 경계 조건에 의해 연속적으로 결정되면 ''잘 정의되었다''고 한다.[1]

참조

[1] 웹사이트 Well-Defined http://mathworld.wol[...] From MathWorld – A Wolfram Web Resource 2013-01-02
[2] 서적 The Theory of Groups: an Introduction Allyn and Bacon 1965
[3] 웹사이트 Operator Precedence and Associativity in C https://www.geeksfor[...] 2014-02-07


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