유리 함수층

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1. 개요

유리 함수층은 정역 스킴 위의 정칙 함수환의 분수체를 각 열린 집합에 대응시키는 층이다. 고전 대수기하학에서는 다양체의 유리 함수를 아핀 좌표환에서 두 다항식의 비율로 정의하며, 스킴 이론에서는 정수 스킴의 일반점 줄기로 정의된다. 유리 함수층은 국소환 달린 공간에서 정의되며, 그 줄기는 구조층의 줄기의 전분수환과 같다. 또한, 아핀 스킴의 유리 함수층은 환의 스펙트럼으로 가는 환 준동형을 가지며, 코호몰로지 긴 완전열을 통해 가역 정칙 함수군, 가역 유리 함수군, 카르티에 인자군 등과 관련된다. 예시로는 체 위의 점, 아핀 직선, 아핀 평면 곡선 등이 있으며, 함수체 (스킴 이론), 대수 함수체, 카르티에 인자와 같은 개념과 연관된다. 유리 함수층은 알렉산더 그로텐디크에 의해 도입되었으며, 스티븐 클라이먼에 의해 수정되었다.

유리 함수층

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정역 스킴의 경우
- 2.2. 일반적 스킴의 경우
3. 성질
4. 예
5. 역사
6. 관련 개념 (또는 같이 보기)
- 6.1. 스키마 이론
- 6.2. 대수 기하학

2. 정의

유리 함수층은 주어진 공간(대수다양체, 스킴 등) 위에서 정의되는 유리 함수들의 층이다.

유리 함수층은 정역 스킴 및 국소환 달린 공간에서 정의된다. 정역 스킴의 경우, 각 열린집합에 대해 정칙함수환의 분수체를 취하여 정의한다. 일반적인 스킴의 경우, 각 열린집합과 그 안의 점에 대해 줄기로 가는 사상을 정의한 후, 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드로 국소화를 하여 준층을 정의하고, 이 준층을 층화하여 유리함수층을 정의한다.

2.1. 정역 스킴의 경우

정역 스킴 $(X,\mathcal O_X)$ 위의 유리 함수층 $\mathcal K_X$ 는 공집합이 아닌 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, 정칙 함수들의 정역의 분수체인 $\operatorname{Frac}(\Gamma(U;\mathcal O_X))$ 를 대응시키는 층이다. 즉, 다음과 같다.
: $\Gamma(U;\mathcal K_X)=\operatorname{Frac}(\Gamma(U;\mathcal O_X))$
공집합의 경우, 층의 값은 항상 자명환이다.
: $\Gamma(\varnothing;\mathcal K_X)=0$

2.2. 일반적 스킴의 경우

임의의 국소환 달린 공간 $(X, \mathcal{O}_X)$ 의 유리 함수층 $\mathcal{K}_X$ 는 다음과 같이 정의한다.

각 열린집합 $U \subseteq X$ 및 $x \in U$ 에 대하여, 줄기 $\mathcal{O}_{X,x}$ 로 가는 표준적인 제약 사상
: $\operatorname{res}_{U,x} \colon \Gamma(U, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_{X,x}$
이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의한다.
: $S_U = \left\{ f \in \Gamma(U; \mathcal{O}_X) \colon \operatorname{res}_{U,x}(f) \in \operatorname{Reg}(\mathcal{O}_{X,x}) \right\} = \bigcap_{x \in U} \operatorname{res}_{U,x}^{-1} \left( \operatorname{Reg}(\mathcal{O}_{X,x}) \right) \subset \Gamma(U; \mathcal{O}_X)$
여기서 $\operatorname{Reg}(-)$ 는 가환환에서 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드이다. 이는 곱셈 모노이드들의 교집합이므로 역시 곱셈 모노이드를 이룬다.

그렇다면 $X$ 위의 준층 $\tilde{\mathcal{K}}_X$ 를 다음과 같은 국소화로 정의한다.
: $\Gamma(U; \tilde{\mathcal{K}}_X) = S_U^{-1} \Gamma(U; \mathcal{O}_X)$
여기서 $S_U^{-1}$ 은 국소화이다. 이 경우, 제약 사상은 국소화로 유도되는 자연스러운 사상들이다. $X$ 위의 유리 함수층 $\mathcal{K}_X$ 는 준층 $\tilde{\mathcal{K}}_X$ 의 층화이며, 이는 $\mathcal{O}_X$ -가군층을 이룬다.

임의의 스킴 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 체를 이루지 않을 수 있다.

3. 성질

유리 함수층은 여러 중요한 성질을 가지며, 이를 통해 대수다양체의 기하학적 특성을 파악할 수 있다.

$V$ 가 체 $K$ 위의 다양체라면, 함수체 $K(V)$ 는 기저체 $K$ 의 유한 생성 확대이다. 그 초월 차수는 다양체의 차원과 같다. $K$ 의 유한 생성 확대는 어떤 대수적 다양체로부터 이와 같은 방식으로 발생한다. 이러한 체 확대는 $K$ 위의 대수적 함수체로 알려져 있다.

함수체에만 의존하는 다양체 $V$ 의 성질은 쌍유리 기하학에서 연구된다.

3.1. 줄기

국소 뇌터 스킴이거나 축소 스킴이며 그 기약 성분의 집합이 국소적으로 유한한 경우 (임의의 점에서 기약 성분의 수가 유한한 열린 근방이 존재), 유리 함수층의 줄기는 구조층 줄기의 전분수환과 같다.

: $\mathcal{K}_{X,x} = \operatorname{Frac}(\mathcal{O}_{X,x})$

3.2. 아핀 스킴의 유리 함수층

가환환 $R$ 에 대하여, 전분수환 $\operatorname{Frac}(R)$ 에서 스펙트럼 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 환 준동형
: $\operatorname{Frac}(R)\to\Gamma(\operatorname{Spec}R;\mathcal K_{\operatorname{Spec}R})$
이 존재하며, 이는 항상 단사 함수이다.

만약 $R$ 가 뇌터 환이거나, 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는 축소환이라면, 이는 환의 동형 사상을 이룬다. 그러나 일반적으로 이는 동형 사상이 아니다.

3.3. 코호몰로지

국소환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 위에는 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.

: $1\to\mathcal O_X^\times\to\mathcal K_X^\times\to\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times\to1$

여기서 $(-)^\times$ 는 가역원층을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 층 코호몰로지 긴 완전열이 존재한다.

: $1\to\Gamma(X;\mathcal O_X^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^2(X;\mathcal O_X^\times)\to\cdots$

여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

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좌우로 밀어서 보기

코호몰로지 군	설명
$\Gamma(X;\mathcal O_X^\times)$	가역 정칙 함수군
$\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)$	가역 유리 함수군
$\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)$	카르티에 인자 군
$\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)/\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)$	카르티에 인자 유군
$\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)$	피카르 군

4. 예

체 K에 대한 0차원 아핀 공간(점)과 아핀 직선의 유리 함수층은 다음과 같다.

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좌우로 밀어서 보기

공간	유리 함수층
0차원 아핀 공간 $\mathbb A^0_K\operatorname{Spec}K=\{(0)\}$ (한원소 공간)	$\Gamma(\operatorname{Spec}K,\mathcal K_{\operatorname{Spec}K})=K$
아핀 직선 $\mathbb A^1_K=\operatorname{Spec}K[x]$	$\Gamma(\mathbb A^1_K,\mathcal K_{\mathbb A^1_K})=K(x)$ ( $K$ 계수의 유리 함수들의 체)

4.1. 체 위의 점

체 K 위의 0차원 아핀 공간(점)의 유리 함수층은 K 자체이다.

4.2. 아핀 직선

체 $K$ 에 대하여, 아핀 직선 $\mathbb A^1_K=\operatorname{Spec}K[x]$ 의 유리 함수층은 $\Gamma(\mathbb A^1_K,\mathcal K_{\mathbb A^1_K})=K(x)$ 이다. 즉, $K$ 계수 유리 함수들의 체이다.

4.3. 아핀 평면 곡선

방정식 $y^2 = x^5 + 1$ 로 정의되는 아핀 대수 평면 곡선을 생각해 보자. 그 함수체는 K 위에 초월원인 원소 x와 y에 의해 생성되고, 대수적 관계 $y^2 = x^5 + 1$ 을 만족하는 체 K(x,y)이다.

5. 역사

알렉산더 그로텐디크가 1967년에 유리 함수층의 개념을 도입하였으나, 그로텐디크의 정의는 문제가 있었다. 이를 스티븐 클라이먼Steven Kleiman^영어이 1979년에 지적하고 교정하였다.

6. 관련 개념 (또는 같이 보기)

* 함수체 (스키마론)
* 대수 함수체
* 카르티에 인자

6.1. 스키마 이론

현대 개형 이론에서, X가 정수 스키마이면, X의 모든 열린 아핀 부분 집합 U에 대해 U에서의 단면 고리 $\mathcal{O}_X(U)$ 는 정역이며, 따라서 분수체를 갖는다. 이들은 모두 같고, X의 일반점의 줄기와 모두 같다는 것을 확인할 수 있다. 따라서 X의 함수체는 단순히 일반점의 줄기이다. 이 관점은 함수체 (스키마 이론)에서 더 발전되었다.

6.2. 대수 기하학

현대 scheme 이론에서, 정수 scheme $X$ 의 모든 열린 아핀 부분 집합 $U$ 에 대해, $U$ 에서의 단면 고리 $\mathcal{O}_X(U)$ 는 정역이며 따라서 분수체를 갖는다. 이들은 모두 같고, $X$ 의 일반점의 줄기와 모두 같다. 따라서 $X$ 의 함수체는 단순히 일반점의 줄기이다. 이 관점은 함수체 (scheme 이론)에서 더 발전되었다.

* 함수체 (스키마론) : 일반화
* 대수 함수체
* 카르티에 인자