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올림과 버림

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목차

1. 개요

올림과 버림은 주어진 수의 자릿수를 조정하는 방법으로, 올림은 올림하려는 수보다 작지 않은 수 중에서 오차의 한계를 만족하는 가장 작은 수를 선택하고, 버림은 버림하려는 수보다 크지 않은 수 중에서 오차의 한계를 만족하는 가장 큰 수를 선택한다. 절삭은 숫자를 특정 자릿수에서 잘라내는 것으로, 양수의 경우 바닥 함수를, 음수의 경우 천장 함수를 사용하여 정의된다. 이러한 개념들은 실수를 부동 소수점 기계 숫자로 표현하거나, 다항식의 차수를 조절하는 등 다양한 수학적 상황에서 활용된다.

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올림과 버림

2. 올림

올림은 주어진 수보다 크거나 같은 가장 가까운 정수 또는 지정된 자릿수의 값을 구하는 방법이다. 예를 들어 73을 일의 자리에서 올림하면 80, 십의 자리에서 올림하면 100이 된다. 51.6137을 소수점 셋째 자리에서 올림하면 51.62, 일의 자리에서 올림하면 60이 된다. -4.331을 소수점 첫째 자리에서 올림하면 -4, 소수점 둘째 자리에서 올림하면 -4.3이 된다.

2. 1. 올림의 정의

올림은 올림하려는 수보다 작지 않은 수 중에서 오차의 한계를 만족하는 가장 작은 수를 택한다. 특히, 소수점 첫째 자리에서 올림하는 경우 \left\lceil x \right\rceil라고도 쓰며, 이것은 x보다 작지 않은 최소 정수를 찾는 것과 같다.

  • 오차의 한계가 10이 되도록 하는 것을 "일의 자리에서 올림", 오차의 한계가 100이 되도록 하는 것을 "십의 자리에서 올림" 같은 식으로 말한다.
  • 오차의 한계가 1이 되도록 하는 것을 "소수점 (이하) 첫째 자리에서 올림", 오차의 한계가 0.1이 되도록 하는 것을 "소수점 (이하) 둘째 자리에서 올림" 같은 식으로 말한다.


올림의 예시는 다음과 같다.

수일의 자리에서 올림십의 자리에서 올림소수점 첫째 자리에서 올림소수점 둘째 자리에서 올림소수점 셋째 자리에서 올림
7380100---
51.613760---51.62
7070----
701-800---
-211-210----
-4.331---4-4.3-


2. 2. 올림의 예시


  • 73을 일의 자리에서 올림하면 80이 되고, 십의 자리에서 올림하면 100이 된다.
  • 51.6137을 소수점 셋째 자리에서 올림하면 51.62가 되고, 일의 자리에서 올림하면 60이 된다.
  • 70을 일의 자리에서 올림하면 70이 된다.
  • 701을 십의 자리에서 올림하면 800이 된다.
  • -211을 일의 자리에서 올림하면 -210이 된다.
  • -4.331을 소수점 첫째 자리에서 올림하면 -4가 되고, 소수점 둘째 자리에서 올림하면 -4.3이 된다.

3. 버림

버림은 어떤 수를 주어진 자릿수보다 크지 않은 수 중에서 가장 가까운 수를 찾는 방법이다. 예를 들어, 소수점 첫째 자리에서 버림하는 것은 그 수의 정수 부분을 구하는 것과 같다.

오차의 한계에 따라 버림하는 자릿수를 다르게 표현할 수 있다.

오차의 한계자릿수 표현
10일의 자리에서 버림
100십의 자리에서 버림
1소수점 (이하) 첫째 자리에서 버림
0.1소수점 (이하) 둘째 자리에서 버림


3. 1. 버림의 정의

수학적으로 버림은 주어진 수 x에 대해 x보다 크지 않은 수 중에서 오차의 한계를 만족하는 가장 큰 수를 택하는 것으로 정의된다. 오차의 한계가 1인 경우(소수점 첫째 자리에서 버림), 버림 값은 정수 부분으로 표현된다.

  • 오차의 한계에 따라 다음과 같이 부른다.
  • 10: 일의 자리에서 버림
  • 100: 십의 자리에서 버림
  • 1: 소수점 (이하) 첫째 자리에서 버림
  • 0.1: 소수점 (이하) 둘째 자리에서 버림

  • 버림의 예
  • 13.141592를 일의 자리에서 버림: 10 (13.141592=10+3.141592 → 10)
  • 5.6341432를 소수점 넷째 자리에서 버림: 5.634 (5.6341432=5.634+0.0001432 → 5.634)
  • 32.438191288을 소수점 다섯째 자리에서 버림: 32.4381 (2.438191288=32.4381+0.000091288)
  • 9265358을 백의 자리에서 버림: 9265000 (9265358=9265000+358 → 9265000)
  • -333.3을 일의 자리에서 버림: -340 (-333.3=-340+6.7 → -340)
  • -4.14를 소수점 첫째 자리에서 버림: -5 (-4.14=-5+0.86 → -5)

3. 2. 버림의 예시


  • 13.141592를 일의 자리에서 버림하면 10이다(13.141592=10+3.141592 → 10).[1]
  • 5.6341432를 소수점 넷째 자리에서 버림하면 5.634이다(5.6341432=5.634+0.0001432 → 5.634).[1]
  • 32.438191288을 소수점 다섯째 자리에서 버림하면 32.4381이다(2.438191288=32.4381+0.000091288).[1]
  • 9265358을 백의 자리에서 버림하면 9265000이다(9265358=9265000+358 → 9265000).[1]
  • -333.3을 일의 자리에서 버림하면 -340이다(-333.3=-340+6.7 → -340).[1]
  • -4.14를 소수점 첫째 자리에서 버림하면 -5이다(-4.14=-5+0.86 → -5).[1]

4. 절삭

절삭은 지정된 자릿수 이하의 값을 버리는 방법이다. 양수에서는 버림과 동일하게 동작하지만, 음수에서는 0에 더 가까워지는 방향으로, 즉 올림과 유사하게 동작한다.

4. 1. 절삭의 정의

양의 실수에 대한 절삭은 바닥 함수를 사용하여 수행할 수 있다. 절삭할 숫자 x \in \mathbb{R}_+와 소수점 뒤에 유지할 자릿수 n \in \mathbb{N}_0가 주어지면, x의 절삭 값은 다음과 같다.

:\operatorname{trunc}(x,n) = \frac{\lfloor 10^n \cdot x \rfloor}{10^n}.

그러나 음수의 경우 절삭은 바닥 함수와 같은 방향으로 반올림하지 않는다. 절삭은 항상 0으로 반올림하고, \operatorname{floor} 함수는 음의 무한대로 반올림한다. 주어진 숫자 x \in \mathbb{R}_-에 대해서는 \operatorname{ceil} 함수가 대신 사용된다.

:\operatorname{trunc}(x,n) = \frac{\lceil 10^n \cdot x \rceil}{10^n}.

4. 2. 절삭의 원인

컴퓨터에서 자료형 변환으로 소수가 정수로 변환될 때 절삭이 발생할 수 있다. 정수는 정수가 아닌 실수를 저장할 수 없기 때문에 소수점 이하 자릿수는 0으로 잘린다.

4. 3. 절삭의 상대오차

실수 x를 부동소수점 기계 숫자로 나타낸 것을 fl(x)라고 할 때, k자리로 절단하는 경우의 상대오차는 다음과 같이 표현된다.

:\begin{matrix}

\left| \frac{x-fl(x)}{x} \right| &=& \left| \frac{(0.b_1 b_2 \cdots b_k b_{k+1} \cdots) \times 10^n - (0.b_1 b_2 \cdots b_k) \times 10^n}{(0.b_1 b_2 \cdots b_k b_{k+1} \cdots) \times 10^n} \right| \\

&=& \left| \frac{0.b_{k+1} b_{k+2} b_{k+3} \cdots}{0.b_1 b_2 \cdots b_k b_{k+1}} \times 10^{-k} \right| \\

&\leq& \frac{1}{0.1} \times 10^{-k} = 10^{-k+1}

\end{matrix}

따라서 절단의 상대오차는 \left| \frac{x-fl(x)}{x} \right| \leq 10^{-k+1}이다.

5. 대수학에서의 절단

다항식에도 절단의 유사 개념을 적용할 수 있다. 이 경우, 차수 ''n''으로 다항식 ''P''를 절단하는 것은 ''P''의 차수가 ''n'' 이하인 모든 항의 합으로 정의할 수 있다. 다항식 절단은 테일러 급수 연구에서 나타난다.[1]


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