완전 관계

3. 성질

완전 관계의 정의에서 $x=y$를 취하면, $(x,x)\backslash in\; R$임을 알 수 있다. 따라서, 모든 완전 관계는 반사 관계이다.^[1] 강하게 연결된 관계가 대칭적이면, 그것은 전체 관계이다. 관계가 강하게 연결되기 위한 필요충분 조건은 연결적이고 반사적인 것이다.^[17] 집합 $X$에 대한 연결된 관계는 $X$에 적어도 4개의 원소가 있다면 반추이 관계일 수 없다.^[18] 예를 들어, 3개의 원소 집합 $\backslash \{\; a,\; b,\; c\; \backslash \}$에서 관계 $\backslash \{\; (a,\; b),\; (b,\; c),\; (c,\; a)\; \backslash \}$는 두 속성을 모두 갖는다. 만약 $R$이 $X$에 대한 연결된 관계라면, $X$의 모든 원소 또는 한 개를 제외한 모든 원소는 $R$의 상에 있다.^[19] 마찬가지로, $X$의 모든 원소 또는 한 개를 제외한 모든 원소는 $R$의 정의역에 있다.

3. 1. 동치 조건

• 임의의 $x,y\backslash in\; X$에 대하여, $(x,y)\backslash in\; R$이거나, $(y,x)\backslash in\; R$이다.

• $R$은 강하게 연결되어 있다.
• $U\; \backslash subseteq\; R\; \backslash cup\; R^\backslash top$
• $\backslash overline\{R\}\; \backslash subseteq\; R^\backslash top$
• $\backslash overline\{R\}$은 비대칭 관계이다.

• $R$은 연결되어 있다.
• $\backslash overline\{I\}\; \backslash subseteq\; R\; \backslash cup\; R^\backslash top$
• $\backslash overline\{R\}\; \backslash subseteq\; R^\backslash top\; \backslash cup\; I$
• $\backslash overline\{R\}$은 반대칭 관계이다.

4. 예

모든 전순서는 완전 관계이다. 보다 일반적으로, 모든 원전순서는 완전 관계이다.

집합 $\backslash \{a,b,c\backslash \}$ 위의 순환적인 관계

:$a\backslash preceq\; b\backslash preceq\; c\backslash preceq\; a$

:$a\backslash preceq\; a$

:$b\backslash preceq\; b$

:$c\backslash preceq\; c$

는 완전 관계이다. 그러나 이는 전순서가 아니다.

5. 버트런드 러셀의 인용

Bertrand Russell은 진행을 도입하면서 연결의 공리를 언급했다.

: ''일련의 관계가 전이적이고 비대칭적인 관계에 의해 원래 주어질 때마다, 우리는 일련의 임의의 두 항이 생성 관계를 갖는다는 조건으로 연결을 표현할 수 있다.''^[14]

참조

_[1] 서적 The Concise Oxford Dictionary of Mathematics http://www.oxfordref[...] Oxford University Press 2014-09-18
_[2] 서적 Logic, Mathematics, and Computer Science: Modern Foundations with Practical Applications https://books.google[...] Springer 2015-10-13
_[3] 서적 Logic, Sets, and Recursion Jones & Bartlett Learning 1994
_[4] 서적 Naive Set Theory Nostrand
_[5] 서적 Formal Models and Semantics Elsevier
_[6] 서적 Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide Springer 2007-05-02
_[7] 서적 Sets, Logic and Maths for Computing Springer 2012-02-27
_[8] 서적 Principia Mathematica http://archive.org/d[...] Cambridge University Press 1910
_[9] 서적 Introduction to Mathematical Linguistics Prentice-Hall 1974
_[10] 웹사이트 Relations and Functions http://www.ling.ohio[...] 2018-05-28
_[11] 서적 The Foundations of Mathematics College Publications 2009
_[12] 서적 The Theory of Social Choice https://books.google[...] Princeton University Press 2015-03-08
_[13] 서적 Measurement Theory: Volume 7: With Applications to Decisionmaking, Utility, and the Social Sciences Cambridge University Press 2009-03-12
_[14] 서적 Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists https://books.google[...] Springer 1993
_[15] 서적 Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations Springer Science & Business Media 2012-12-06
_[16] 문서 Defined formally by $v\; E\; w$ if a graph edge leads from vertex $v$ to vertex $w$
_[17] 문서 For the {{em|only if}} direction, both properties follow trivially. — For the {{em|if}} direction: when $x\; \backslash neq\; y,$ then $x\backslash mathrel\{R\}y\; \backslash lor\; y\backslash mathrel\{R\}x$ follows from connectedness; when $x\; =\; y,$ $x\; \backslash mathrel\{R\}\; y$ follows from reflexivity.
_[18] 간행물 Simple Laws about Nonprominent Properties of Binary Relations 2018-06
_[19] 문서 If $x,\; y\; \backslash in\; X\; \backslash setminus\; \backslash operatorname\{ran\}(R),$ then $x\; \backslash mathrel\{R\}\; y$ and $y\; \backslash mathrel\{R\}\; x$ are impossible, so $x\; =\; y$ follows from connectedness.
_[20] 웹인용 Sets, Relations, Functions http://www.cogsci.rp[...] 2018-05-28
_[21] 웹인용 Relations and Functions http://www.ling.ohio[...] 2018-05-28
_[22] 서적 Handbook of Computational Social Choice Cambridge University Press 2016