대칭 관계

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 반사 대칭 관계
4. 예
- 4.1. 수학에서의 예
- 4.2. 수학 외의 예
5. 비대칭 관계 및 반대칭 관계와의 관계
6. 성질
참조

1. 개요

대칭 관계는 집합 X 위의 이항 관계 R⊆X²에서 임의의 x, y∈X에 대해 (x, y)∈R이면 (y, x)∈R을 만족하는 관계를 의미한다. 크기 n의 유한 집합 위에는 총 2^n(n+1)/2개의 대칭 관계가 존재한다. 동치 관계는 추이적이며 반사적인 대칭 관계의 예시이며, "같다"는 등식, "…와 결혼했다" 등의 관계 또한 대칭 관계에 해당한다. 비대칭 관계와 반대칭 관계와는 독립적인 관계이다.

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대칭 관계
관계 속성
정의	어떤 집합의 원소 간의 관계에서, 한 원소가 다른 원소와 관계를 맺을 때, 그 역도 성립하는 관계이다.
수학적 정의	집합 X에 대한 이항 관계 R에 대해, 만약 모든 a, b ∈ X에 대해 (a, b) ∈ R이면 (b, a) ∈ R인 경우, R은 대칭적이라고 한다.
예시
예시 1	수학에서, '같음' 관계는 대칭적이다. 왜냐하면 만약 a = b이면 b = a이기 때문이다.
예시 2	'...와 결혼했다' 관계는 (사람들의 집합에서) 대칭적이다. 왜냐하면 만약 A가 B와 결혼했다면, B는 A와 결혼했기 때문이다.
예시 3	'...와 같은 생일이다' 관계는 대칭적이다. 왜냐하면 만약 A가 B와 같은 생일이라면, B는 A와 같은 생일이기 때문이다.
속성
필요충분 조건	관계 R이 대칭적일 필요충분 조건은 R이 자신의 역관계와 같다는 것이다. 즉, R = R^T이다. 여기서 R^T는 R의 역관계를 나타낸다.
관계 종류
관련 관계	반사 관계 비대칭 관계 추이 관계

2. 정의

집합 $X$ 위의 이항 관계 $R\subseteq X^2$ 가 다음 조건을 만족시키면, '''대칭 관계'''라고 한다.

임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, 만약 $(x,y)\in R$ 라면, $(y,x)\in R$

3. 성질

크기 $n$ 인 유한 집합 위에는 총 $2^{n(n+1)/2}$ 개의 대칭 관계가 존재한다. 작은 $n$ 에 대하여, 이는 다음과 같다 ( $n=0,1,2,\dots$ ).

:1, 2, 8, 64, 1024, …

대칭적이고 추이 관계는 항상 준반사 관계이다.

''n''개의 원소에 대한 대칭 관계의 수는 이진 행렬 표현에서 오른쪽 위 삼각형이 관계를 완전히 결정하고 임의로 주어질 수 있다는 점을 통해 구할 수 있다. 따라서 이진 위 삼각형 행렬의 수, 즉 2^{''n''(''n''+1)/2}만큼의 대칭 관계가 존재한다.

3. 1. 반사 대칭 관계

집합 X 위의 반사 대칭 관계 R에 대하여, C_R을 R의 극대 클릭들의 집합이라고 하자. 즉, C_R은 다음 조건을 만족시키는 극대 부분 집합 C⊆X들로 구성된다.

임의의 c, c'∈C에 대하여, (c, c')∈R

그렇다면, C_R은 X의 덮개이며, 다음 두 성질을 만족시킨다.

(A) 임의의 C∈C_R 및 F⊆C_R에 대하여, 만약 C⊆∪F라면, ∩F⊆C이다.
(B) 임의의 S⊆X에 대하여, 만약 S가 C_R의 원소의 부분 집합이 아니라면, C_R의 원소의 부분 집합이 아닌 두 원소 집합 {s, t}⊆S가 존재한다.

반대로, 조건 (A)와 (B)를 만족시키는 X의 덮개 C가 주어졌을 때, X 위에 다음과 같은 이항 관계 R_C를 정의하자.

:(x, y)∈R_C ⇔ ∃C∈C: x, y∈C

그렇다면, R_C는 반사 대칭 관계이다. R↦C_R은 X 위의 반사 대칭 관계들의 집합과 조건 (A)와 (B)를 만족시키는 X의 덮개들의 집합 사이의 일대일 대응이며, 그 역함수는 C↦R_C이다. 즉, 반사 대칭 관계의 개념은 위 두 조건을 만족시키는 덮개의 개념과 동치이다.^[2]

4. 예

모든 동치 관계는 대칭 관계이다. 예를 들어 "같다"(등식)는 대칭 관계이지만, "보다 작다"는 대칭 관계가 아니다.^[1]

순서체 K 위에서 |x-y|≤1과 같이 정의된 이항 관계는 반사 대칭 관계이다. 반면 0<|x-y|≤1과 같이 정의된 이항 관계는 대칭 관계이지만, 반사 관계는 아니다.

"…와 (대부분의 법적 체계에서) 결혼했다", "…의 완전한 생물학적 형제/자매이다" 등은 대칭 관계의 예시이다.^[1]

4. 1. 수학에서의 예

"같다" (등식) (반면 "보다 작다"는 대칭적이지 않다)^[1]
부분 순서 집합의 원소에 대해 "…와 …는 비교 가능하다"^[1]
"...와 ...는 홀수이다"^[1]:
「(A는 B와) 결혼했다」는 대칭 관계이지만, 「(A는 B보다) 작다」는 대칭 관계가 아니다.^[1]
「(A는 B와) 같다」(등식).^[1]
「A는 홀수이고, B도 홀수이다」^[1]

4. 2. 수학 외의 예

"…와 (대부분의 법적 체계에서) 결혼했다"
"…의 완전한 생물학적 형제/자매이다"
"…의 동음이의어이다"
"…의 동료이다"
"…의 팀 동료이다"

5. 비대칭 관계 및 반대칭 관계와의 관계

정의에 따르면, 공집합이 아닌 관계는 대칭 관계이면서 동시에 비대칭 관계일 수 없다. (여기서 'a'가 'b'와 관련이 있다면, 'b'는 ('a'와) 같은 방식으로 관련될 수 없다.) 그러나 관계는 대칭적이지도 비대칭적이지도 않을 수 있는데, 이는 "이하" 및 "포식"의 경우에 해당한다.

대칭 관계와 반대칭 관계 (여기서 'a'가 'b'와 관련되고 'b'가 'a'와 관련될 수 있는 유일한 방법은 a = b인 경우)는 실제로 서로 독립적이다. 다음 예시들이 이를 보여준다.

수학적 예시
	대칭	대칭 아님
반대칭	등호	나누어떨어짐, 이하
반대칭 아님	합동 (모듈러 산술에서)	// (정수 나눗셈), 대부분의 비자명 순열

비수학적 예시
	대칭	대칭 아님
반대칭	동일 인물임, 결혼함	~의 복수형임
반대칭 아님	~의 완전한 생물학적 형제임	~를 포식함

; 동치 관계: 추이적이며 반사적인 대칭 관계

6. 성질

대칭적이고 추이 관계는 항상 준반사 관계이다.
''n''개의 원소에 대한 대칭 관계의 수는 2^{''n''(''n''+1)/2}이다.^[1]

다양한 유형의 ''n''-원소 이진 관계 수
원소	이진 관계	추이 관계	반사 관계	대칭 관계	전순서	부분 순서 집합	강한 약한 순서	전순서	동치 관계
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65536	3994	4096	1024	355	219	75	24	15
n	2^n²		2ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾	2^n(n+1)/2			∑\|k=0부터 n까지^영어 k!S(n, k)	n!	∑\|k=0부터 n까지^영어 S(n, k)

제2종 스털링 수 ''S''(''n'', ''k'')는 크기가 ''n''인 집합을 ''k''개의 서로소 부분집합으로 나누는 경우의 수를 의미한다.
동치 관계: 추이적이며 반사적인 대칭 관계

참조

_[1] 웹사이트 MAD3105 1.2 https://www.math.fsu[...] Florida State University 2024-03-30
_[2] 저널 On existence conditions for compatible tolerances 1976

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