절대적 무한
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1. 개요
절대적 무한은 칸토어가 구분한 실제 무한의 세 가지 관계 중 하나로, 최고 완전성이며 신(데오)에서 실현되는 초월적 존재를 의미한다. 칸토어는 절대 무한과 대조되는 초한수를 제한적이고 유한과 친숙하게 나타나는 것으로 보았다. 모든 서수의 체계가 모순적이며 절대 무한의 다중성이라고 주장했고, 이는 부랄리-포르티 역설과 연결된다. 집합 형성 과정에 끝이 없다는 점에서, 체르멜로 집합론은 임의의 속성으로부터 집합의 무제한적인 형성을 허용하지 않으며, 철학적 문제는 여전히 남아있다.
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| 절대적 무한 | |
|---|---|
| 절대적 무한 | |
| 설명 | 모든 생각할 수 있거나 생각할 수 없는 양보다 큰 것 |
| 칸토어의 관점 | |
| 신과의 연관성 | 칸토어는 절대적 무한을 신의 발현으로 여김 |
| 정의 불가능성 | 칸토어는 절대적 무한이 어떠한 종류의 결정도 허용하지 않는다고 주장 |
| 수학적 역할 | 칸토어는 절대적 무한이 집합론에서 중요한 역할을 한다고 믿음 |
| 수학적 형식화의 어려움 | 칸토어는 절대적 무한을 수학적으로 완전히 형식화하는 데 어려움을 겪음 |
| 비판적 관점 | |
| 수학적 유용성 | 일부 수학자들은 절대적 무한의 개념이 수학적으로 유용하지 않다고 주장 |
| 형이상학적 성격 | 절대적 무한은 순수한 수학적 개념이라기보다는 형이상학적 개념으로 간주되기도 함 |
2. 칸토어의 관점
칸토어는 실제 무한을 세 가지 관계로 구분했다.[2] 첫째는 최고 완전성이며, 완전히 독립적인 초월적 존재, 즉 신(데오, Deo)에서 실현되는 절대 무한이다. 둘째는 의존적인 창조 세계에서 표현되는 정도이며, 셋째는 수학적 크기, 숫자 또는 순서 유형으로 생각에서 추상적으로 생각할 수 있는 정도이다. 칸토어는 후자의 두 가지 관계를 ''초한수''(Transfinitum)라고 불렀으며, 이는 제한적이며 더 많은 확장이 가능하고 유한과 친숙하게 나타나기 때문에 절대적인 것과 강하게 대조된다고 하였다.[2]
모든 서수들의 집합이 논리적으로 존재할 수 없다는 생각은 많은 사람들에게 역설적으로 보인다. 이것은 가장 큰 서수가 존재할 수 없음을 암시하는 부랄리-포르티의 역설과 관련이 있다. 이러한 모든 문제들은 논리적으로 정의할 수 있는 모든 속성에 대해, 그 속성을 가진 모든 객체의 집합이 존재한다는 생각에서 비롯된다. 그러나 칸토어의 논증에서처럼, 이 생각은 어려움을 야기한다.
칸토어는 모든 서수의 체계 ''Ω''가 모순적이고, 절대 무한의 다중성이라고 주장했다.[5] 그는 모든 서수의 시스템 ''Ω''를 크기에 따라 자연스럽게 정렬된 "수열"로 생각했다. 이 수열에 0을 추가 원소로 첫 번째 위치에 놓으면, ''Ω''는 일관된 다중성이 될 수 없다고 보았다. 왜냐하면 ''Ω''가 일관적이라면, 정렬된 집합으로서 모든 시스템 ''Ω''의 모든 수보다 큰 수 ''δ''가 존재해야 하는데, ''δ''는 모든 수를 포함하기 때문에 시스템 ''Ω''에도 속하게 되어 ''δ''는 ''δ''보다 커지는 모순이 발생하기 때문이다.
3. 부랄리-포르티 역설
A. W. 무어가 언급했듯이, 집합 형성 과정에는 끝이 있을 수 없으며, 따라서 ''모든 집합의 전체'' 또는 ''집합 계층''과 같은 것은 존재하지 않는다. 그러한 전체는 그 자체로 집합이어야 하므로, 계층 어딘가에 위치하며, 따라서 모든 집합을 포함하지 못한다.
이 문제에 대한 표준적인 해결책은 임의의 속성으로부터 집합의 무제한적인 형성을 허용하지 않는 체르멜로의 집합론에서 찾을 수 있다. 대신, 주어진 속성을 ''가지고 있으며 주어진 집합 안에 있는'' 모든 객체의 집합을 형성할 수 있다(체르멜로의 분리 공리 체계). 이것은 제한된 의미에서 속성에 기반한 집합의 형성을 허용하는 동시에 (희망적으로) 이론의 일관성을 유지한다.
이것이 논리적 문제를 해결하지만, 철학적 문제는 여전히 남아 있다고 주장할 수 있다. 개인이 존재한다면, 개인의 집합이 존재해야 하는 것은 당연해 보인다. 실제로, 직관적 집합론은 이러한 개념에 기반한다고 말할 수 있다. 체르멜로의 해결책은 류가 임의의 (어쩌면 "큰") 실체를 설명할 수 있게 하지만, 이 메타 언어의 술어는 이론 내에서 형식적인 존재(즉, 집합으로서)를 가질 수 없다. 예를 들어, 모든 집합의 류는 진 류가 될 것이다. 이것은 어떤 사람들에게는 철학적으로 만족스럽지 않으며, 집합론 및 윌러드 반 오먼 콰인의 새로운 기초와 같이 수학의 기초를 형식화하는 다른 방법에서 추가적인 작업을 유발했다.
4. 수학적 개념
4. 1. 알레프 수
4. 2. 서수
5. 같이 보기
참조
[1]
간행물
The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set
1995-05
[2]
서적
Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts
http://resolver.sub.[...]
Verlag von Julius Springer
[3]
간행물
Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (5)
http://resolver.sub.[...]
[4]
서적
Infinity: New Research and Frontiers
https://books.google[...]
2011
[5]
뉴스
The Rediscovery of the Cantor-Dedekind Correspondence
https://eudml.org/do[...]
1974/75
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