무한원점

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1. 개요

무한원점은 아핀 기하학, 쌍곡 기하학, 사영 기하학 등에서 공간에 추가되는 점을 의미하며, 각 기하학적 맥락에서 다른 의미와 역할을 갖는다. 아핀 공간에서는 사영 완비를 위해 추가되며, 쌍곡 기하학에서는 이상점으로 불리며 각 직선은 두 개의 무한원점을 갖는다. 사영 기하학에서는 평행선의 교점을 나타내며, 사영좌표에서 유한점과 구분된다. 무한원점 개념은 위상 공간으로 일반화될 수 있으며, 리만 구면과 같은 다양한 공간을 구성하는 데 사용된다.

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무한원점
기하학적 개념
개념	무한원점은 유클리드 공간이 아닌 사영 공간에서 정의되는 점이다.
정의	무한원점은 직선, 평면 또는 다른 유클리드 공간의 "끝"에 있는 추상적인 점으로 생각할 수 있다.
역할	사영 기하학에서 평행선은 무한원점에서 교차하는 것으로 간주되게 한다.
사용	사영 기하학, 대수 기하학, 복소 해석학 및 컴퓨터 그래픽스에 사용된다.
사영 기하학
사영 공간	유클리드 공간에 무한원점을 추가하여 사영 공간을 형성한다.
평행선 교차	사영 공간에서 평행선은 무한원점에서 교차한다.
동차좌표	무한원점은 동차좌표를 사용하여 나타낼 수 있다.
대수 기하학
무한대에서의 곡선	대수적 곡선은 무한원점에서 특정 행동을 할 수 있다.
컴팩트화	무한원점을 추가하여 대수적 품종을 컴팩트화할 수 있다.
복소 해석학
복소 평면	복소 평면에 무한원점을 추가하여 리만 구를 형성한다.
무한대에서의 함수	함수는 복소 평면의 무한원에서 특정 값을 가질 수 있다.
컴퓨터 그래픽스
투영 변환	무한원점은 투영 변환에서 중요한 역할을 한다.
원근법	원근법에서 소실점은 무한원점을 나타낸다.
다른 관점
무한대 점	무한원점은 무한대의 추상적인 개념과 관련이 있다.
방향	각 무한원점은 특정 방향에 해당한다.

2. 아핀 기하학

2차원 이상의 아핀 또는 유클리드 공간에서 '''무한원점'''은 사영 완비화를 얻기 위해 공간에 추가되는 점들이다.

체 위의 사영 공간은 매끄러운 대수다양체이므로, 무한원점들의 집합에 대해서도 마찬가지이다. 마찬가지로, 기저체가 실수체 또는 복소수체인 경우 무한원점들의 집합은 다양체이다.

2. 1. 무한원 직선/평면/초평면

2차원 이상의 아핀 또는 유클리드 공간에서 '''무한원점'''은 사영 완비화를 얻기 위해 공간에 추가되는 점들이다. 무한원점들의 집합은 공간의 차원에 따라 무한원 직선, 무한원 평면, 또는 무한원 초평면이라고 불리며, 모든 경우에 차원이 하나 작은 사영 공간이다.

2. 2. Perspective (투영도법)

회화 및 기술적 투영도법에서, 평행선들의 한 무리의 무한 원점이 그림면에 투영된 점을 소실점이라고 한다.

3. 쌍곡 기하학

쌍곡기하학에서 무한원점은 일반적으로 이상점이라고 불린다. 유클리드 기하학과 타원 기하학과 달리, 각 직선은 무한원점을 두 개 갖는다. 직선 ''l''과 ''l'' 위에 있지 않은 점 ''P''가 주어지면, 오른쪽과 왼쪽의 극한평행선이 서로 다른 무한원점에 점근적으로 수렴한다.

모든 무한원점은 함께 케일리 절대곡선 또는 쌍곡평면의 경계를 형성한다.

3. 1. 이상점

쌍곡기하학에서 '''무한원점'''은 일반적으로 이상점으로 불린다. 유클리드 기하학과 타원 기하학과 달리, 각 직선은 무한원점을 두 개 갖는다. 직선 ''l''과 ''l'' 위에 있지 않은 점 ''P''가 주어지면, 오른쪽과 왼쪽의 극한평행선이 서로 다른 무한원점에 점근적으로 수렴한다.

모든 무한원점은 함께 케일리 절대곡선 또는 쌍곡평면의 경계를 형성한다.

3. 2. 케일리 절대곡선

쌍곡기하학에서 '''무한원점'''은 일반적으로 이상점으로 불린다. 모든 무한원점은 함께 케일리 절대곡선 또는 쌍곡평면의 경계를 형성한다.

4. 사영 기하학

사영평면에서는 점과 직선의 쌍대성이 나타난다. 두 점이 하나의 직선을 결정하는 것처럼, 두 직선은 하나의 점을 결정한다. 평행선은 무한원점에서 만난다고 설정한다. 이러한 개념은 투상도법 연구에서 비롯되었으며, 평행투영은 중심 ''C''가 무한원점인 중심투영으로 나타난다.

4. 1. 평행선과 무한원점

두 점이 하나의 직선을 결정하는 것처럼, 사영평면에서는 두 직선이 하나의 점을 결정한다. 평행선의 존재는 이러한 평행선들의 교점을 나타내는 무한원점을 설정하게 한다. 평행투영은 중심 ''C''가 무한원점 또는 '''가상점'''인 중심투영으로 나타난다.

4. 2. 쌍대성 (사영기하학)

사영평면에서는 점과 직선의 대칭성이 나타난다. 두 점이 하나의 직선을 결정하는 것처럼, 두 직선은 하나의 점을 결정한다. 평행선의 존재는 이러한 평행선들의 교점을 나타내는 무한원점을 설정하게 한다. 이러한 공리적인 대칭성은 투상도법에 대한 연구에서 생겨났는데, 여기서 평행투영은 중심 ''C''가 무한원점 또는 '''가상점'''(figurative point)인 중심투영으로 나타난다. 점과 직선의 공리적 대칭성을 쌍대성이라고 한다.

무한원점은 사영열의 다른 점들과 동등하게 취급되지만, 사영좌표로 점을 나타낼 때는 구분이 있다. 유한점은 마지막 좌표에 1을 사용하여 나타내는 반면, 무한원점은 0을 사용한다. 무한원점을 나타낼 필요성 때문에 유한점 공간보다 하나의 좌표가 더 필요하다.

5. 엄밀한 정의 (일본어 위키백과 내용)

유클리드 평면(실평면) 위 점의 동차좌표는 세 실수의 짝 [''x'' : ''y'' : ''z'']으로 정의된다. 이때, [''x'' : ''y'' : ''z''] = [λ''x'' : λ''y'' : λ''z''] (λ ∈ R)를 만족하는 모든 [''x'' : ''y'' : ''z'']는 같은 점으로 간주된다. 이러한 동차좌표를 이용하여 무한원점과 무한원직선을 정의할 수 있다. 실사영평면 '''P'''²('''R''')에서 실수 평면 '''R'''²을 제외한 나머지 ''l''_∞ := '''P'''²('''R''') \ '''R'''² = {[''x'' : ''y'' : ''z''] ∈ '''P'''²('''R''') | ''z'' = 0}에 있는 점들을 무한원점이라고 하며, 이 무한원점들의 집합 ''l''_∞를 무한원직선이라고 한다.

5. 1. 동차좌표

세 실수의 짝 [''x'' : ''y'' : ''z'']로 나타내며, [''x'' : ''y'' : ''z''] = [λ''x'' : λ''y'' : λ''z''] (λ ∈ R)가 되는 짝 [''x'' : ''y'' : ''z'']은 모두 [''x'' : ''y'' : ''z'']와 같다고 간주한다. 세 짝 [''x'' : ''y'' : ''z'']은 그 비 ''x'' : ''y'' : ''z'' = ''x''/''z'' : ''y''/''z'' : 1에 의해 결정되므로, 평면 위의 점 (''a'', ''b'')와 세 짝 [''a'' : ''b'' : 1]을 일대일 대응시킬 수 있다. 이것을 평면 위의 점의 동차좌표라고 한다. 이는 3차원 공간에서의 직선을 다른 평면의 점으로 보고 있다고 생각할 수도 있다.

5. 2. 실사영평면

[''x'' : ''y'' : ''z''] (여기서 [''x'' : ''y'' : ''z''] = [λ''x'' : λ''y'' : λ''z''], λ ∈ R)로 나타내지는 세 실수의 짝을 유클리드 평면(실평면) 위 점의 동차좌표라고 한다. 이때, [''x'' : ''y'' : ''z'']는 그 비 ''x'' : ''y'' : ''z'' = ''x''/''z'' : ''y''/''z'' : 1에 의해 결정되므로, 평면 위의 점 (''a'', ''b'')와 [''a'' : ''b'' : 1]을 일대일 대응시킬 수 있다. 이는 3차원 공간에서의 직선을 다른 평면의 점으로 보는 것과 같다.

실사영평면 P²(R)은 P²(R) = {[''x'' : ''y'' : ''z''] | ''x'', ''y'', ''z'' ∈ R}로 정의된다. 따라서 실평면 R²는 실사영평면 P²(R)에 포함된다. 이때, P²(R)에서 R²를 제외한 여공간

: ''l''_∞ := P²(R) \ R² = {[''x'' : ''y'' : ''z''] ∈ P²(R) | ''z'' = 0}

의 점을 무한원점이라고 부른다.

5. 3. 무한원점과 무한원직선

'''P'''²('''R''')에서 '''R'''²의 여집합 ''l''_∞ := '''P'''²('''R''') \ '''R'''² = {[''x'' : ''y'' : ''z''] ∈ '''P'''²('''R''') | ''z'' = 0}의 점을 무한원점이라 한다. ''l''_∞ = {[''t'' : 1 : 0] ∈ '''P'''²('''R''')}와 같이 나타낼 수 있으므로, 무한원점 전체는 하나의 직선이 된다. 이 ''l''_∞를 무한원직선이라 한다.

5. 4. 평행선의 교점

서로 평행한 두 직선 [math]ax + by + c = 0[/math] 과 [math]ax + by + d = 0[/math] 은 [math]c = d[/math] 일 때 완전히 일치하지 않는 한 실평면상에서 교점을 갖지 않는다. 그러나 실사영평면에서는 다음과 같이 교차하는 것을 보일 수 있다.

실평면 [math]\mathbb{R}^2[/math]([math]xy[/math]-평면)에서 직선 [math]ax + by + c = 0[/math] 은 평면상의 점 [math](x, y)[/math]에 대해, 그 동차좌표 [math][x_0 : y_0 : z_0][/math] ([math]x = x_0/z_0[/math], [math]y = y_0/z_0[/math]) 를 생각함으로써

:[math]ax_0 + by_0 + cz_0 = 0[/math]

과 같이 동차화된다.

그러면, 앞의 평행한 두 직선을 동차화하여 [math]ax + by + cz = 0[/math], [math]ax + by + dz = 0[/math] 으로 나타내면, 연립하여 풀면 [math][b, -a, 0] = [-b/a, 1, 0][/math] 이라는 교점을 찾을 수 있다.

6. 일반화

일반적으로, ''n''차원 유클리드 공간에 대해 동차좌표(斉次座標) 방법을 이용하여 ''n''차원 실사영공간 '''P'''^''n''('''R''')을 구성할 수 있다.

6. 1. n차원 실사영공간

''n''차원 유클리드 공간에서 동차좌표(斉次座標) 방법을 통해 공간 외부의 점을 추가하여 ''n''차원 실사영공간 '''P'''^''n''('''R''')을 구성할 수 있다. n차원 실사영공간은 n차원 구면과 위상동형은 아니지만, n차원 구면은 n차원 실사영공간의 이중피복이다. 따라서 구면처럼 사영공간도 리만 기하학의 한 모델을 제공한다. 사영공간의 직선은 '''R'''ⁿ 위 직선의 양 끝을 무한원점으로 연결한 것이며, 이는 구면에서의 대원(구의 중심을 지나는 평면과 구면의 교선)에 해당한다. 구면 위의 대원이 두 점에서 교차하듯이, 사영공간 상의 임의의 두 직선은 한 점에서 교차한다. 특히 유클리드 공간 상의 평행선은 무한원점 공간에서 교차한다.

6. 2. 복소사영공간

기저 공간을 실수직선 '''R'''에서 복소수평면 '''C'''로 바꾼 ''n''차원 복소사영공간 '''P'''^''n''('''C'''), 또는 더 일반적으로 체 ''K'' 위의 사영공간 '''P'''^''n''(''K'') 등이 있다.

예를 들어, 복소직선(복소수평면) '''C'''에 한 점 {∞}을 더한 공간은 (2차원) 구면과 위상동형이며, 리만 구면이라고 불린다. 리만 구면은 '''P'''('''C''')로 표기되거나, 차수를 명시하여 '''P'''¹('''C''')로 표기되기도 한다.

리만 구면은 복소사영직선이며, 실사영평면 '''P'''²('''R''')과는 위상이 다르다.

6. 3. 리만 구면

복소직선(복소수평면) '''C'''에 한 점 {∞}을 더한 공간은 (2차원) 구면과 위상동형이며, 리만 구면이라고 불리고 '''P'''('''C''')로 표기된다. (차수를 명시하여 '''P'''¹('''C''')로 표기되기도 한다.)

리만 구면은 복소사영직선이며, 실사영평면 '''P'''²('''R''')과는 위상이 다르다.

7. 기타 일반화

이 구성은 위상 공간으로 일반화할 수 있다. 주어진 공간에 대해 여러 가지 수축이 존재할 수 있지만, 임의의 위상 공간은 알렉산드로프 확장을 허용하며, 원래 공간이 콤팩트하지 않을 때는 ''일점 수축''이라고도 한다. 사영 직선(임의의 체 위)은 해당 체의 알렉산드로프 확장이다. 따라서 원은 실수선의 일점 수축이고, 구는 평면의 일점 수축이다. 사영 공간 '''P'''ⁿ (n > 1)은 아핀 기하학에서 언급된 이유로 인해 해당 아핀 공간의 ''일점'' 수축이 아니며, 이상점을 갖는 쌍곡 공간의 완비화 또한 일점 수축이 아니다.

7. 1. 수축(수학)

이 구성은 위상 공간으로 일반화할 수 있다. 주어진 공간에 대해 여러 가지 수축이 존재할 수 있지만, 임의의 위상 공간은 알렉산드로프 확장을 허용하며, 원래 공간이 콤팩트하지 않을 때는 ''일점 수축''이라고도 한다. 사영 직선(임의의 체 위)은 해당 체의 알렉산드로프 확장이다. 따라서 원은 실수선의 일점 수축이고, 구는 평면의 일점 수축이다. 사영 공간 '''P'''ⁿ (n > 1)은 해당 아핀 공간의 ''일점'' 수축이 아니며, 이상점을 갖는 쌍곡 공간의 완비화 또한 일점 수축이 아니다.

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