점과 직선 사이의 거리

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1. 개요
2. 공식
3. 증명
4. 추가 공식
5. 응용
6. 읽을 거리
7. 역사
참조

1. 개요

점과 직선 사이의 거리는 평면에서 주어진 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점 사이의 최단 거리를 의미하며, 여러 가지 형태로 공식이 존재한다. 직선의 방정식 $ax + by + c = 0$으로 정의된 경우, 점 $(x_0, y_0)$에서 직선까지의 거리는 ${\displaystyle {\frac

{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$로 계산된다. 두 점을 지나는 직선의 경우, 두 점 $P_1(x_1, y_1)$과 $P_2(x_2, y_2)$를 지나는 직선과 점 $(x_0, y_0)$ 사이의 거리는

\frac

{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}} 로 나타낼 수 있다. 이 외에도 벡터 표현을 사용하거나, 기하학적, 대수적 증명을 통해 공식을 유도할 수 있으며, 컴퓨터 그래픽스, 로봇 공학, 게임 프로그래밍 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 공식

평면 좌표계, 벡터 등 다양한 표현 방식에 따른 점과 직선 사이의 거리를 구하는 공식들을 소개한다.

2. 1. 직선의 방정식으로 정의된 경우

평면에서 직선이 $ax + by + c = 0$ 형태로 주어질 때 ($a$, $b$, $c$는 실수 상수이고, $a$와 $b$는 동시에 0이 아니다), 점 $(x_0, y_0)$에서 이 직선까지의 거리는 다음과 같다.^[21]^[22]

:

\frac

{\sqrt{a^2+b^2}}

이때 점 $(x_0, y_0)$과 가장 가까운 직선상의 좌표, 즉 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표는 다음과 같다.^[23]

:

x = \frac{b(bx_0 - ay_0)-ac}{a^2 + b^2} \text{, } y = \frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a^2+b^2}

이 공식은 한국의 중등 교육과정에서도 다루어지는 내용으로, 수학적 사고력 및 문제 해결 능력 함양에 기여한다.

2. 1. 1. 수직선 및 수평선의 경우

와 가 동시에 0이 될 수 없는 이유는 그 경우 직선이 정의되지 않기 때문이다. 하지만 나 둘 중 하나만 0이 될 수는 있다. 가 0인 경우 직선의 방정식은 이 되어 수평선의 형태를 띈다. 이 때 점 로부터의 거리는 단순히 선분의 길이를 재면 되고, 그 결과 }로 나타난다. 이와 비슷하게 만 0인 경우에는 직선이 수직선이 되어 점과 직선 사이의 거리는 |}}가 된다.^[21]^[22]

2. 2. 두 점을 지나는 직선의 경우

두 점 $P_1(x_1, y_1)$과 $P_2(x_2, y_2)$를 지나는 직선과 점 $(x_0, y_0)$ 사이의 거리는 다음과 같다.^[24]

:

\frac

{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}

이 공식에서 분모는 점 $P_1$과 $P_2$ 사이의 거리를 나타낸다. 분자는 세 점 $(x_0, y_0)$, $P_1$, $P_2$가 이루는 삼각형 넓이의 2배와 같다. 밑변의 길이가 $b$, 높이가 $h$인 삼각형의 넓이 공식은 $A = \frac{1}{2}bh$이다. 점과 직선 사이의 거리는 이 식에서 $h$를 남기고 나머지를 이항한 $h = \frac{2A}{b}$와 같다.

같은 결과를 나타내는 다른 식은 다음과 같다.

:

\operatorname{distance}(P_1, P_2, (x_0, y_0)) = \frac

{\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}}.

2. 3. 벡터 표현을 사용한 경우

직선의 방정식은 벡터 형태로 표현할 수 있다.

:

\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}

여기서 a^영어는 직선 위의 한 점의 위치이고, n^영어은 직선의 방향을 나타내는 단위 벡터이다. 스칼라 ''t''가 변함에 따라 x^영어는 직선의 자취를 나타낸다.

임의의 점 p^영어에서 이 직선까지의 거리는 다음과 같이 주어진다.

:

\operatorname{distance}(\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}, \mathbf{p}) = \| (\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n} \|.

이 공식은 다음과 같이 유도할 수 있다.

\mathbf{a}-\mathbf{p}

는 p^영어에서 직선 위의 점 a^영어까지의 벡터이다. 그러면

(\mathbf{a} - \mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n}

는 직선에 대한 투영된 길이이므로

:

((\mathbf{a} - \mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n}

는

\mathbf{a}-\mathbf{p}

를 직선에 투영한 벡터이다. 따라서

:

(\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n}

는

\mathbf{a}-\mathbf{p}

의 직선에 수직인 성분이다. 점과 직선 사이의 거리는 그 벡터의 노름이다.^[10] 이 공식은 2차원에 국한되지 않고 일반화할 수 있다.

만약 선 ''l''이 점 A를 지나고 방향 벡터

\vec u

를 갖는다면, 점 P와 선 ''l'' 사이의 거리는 다음과 같다.

:

d(\mathrm{P}, (l))= \frac{\left\|\overrightarrow{\mathrm{AP}} \times\vec u\right\|}{\|\vec u\|}

여기서

\overrightarrow{\mathrm{AP}} \times\vec u

는 벡터

\overrightarrow{\mathrm{AP}}

와

\vec u

의 외적이며,

\|\vec u\|

는

\vec u

의 벡터 노름이다.

외적은 3차원과 7차원에서만 존재하며, 0차원과 1차원에서는 자명하게 존재한다(외적은 상수 0).

3. 증명

점과 직선 사이의 거리 공식은 대수적, 기하학적, 벡터 등 다양한 방법으로 증명될 수 있다.

3. 1. 대수적 증명

이 증명은 ''a''와 ''b''가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다. 즉, 직선이 수직선이나 수평선이 아닌 경우에 해당한다.

직선 ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0의 기울기는 -''a''/''b''이다. 따라서 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 ''b''/''a''(기울기의 역수에 음수를 취한 값)이다. 점 (''x''₀, ''y''₀)을 지나고 기울기가 ''b''/''a''인 직선과 ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0이 만나는 교점을 (''m'', ''n'')이라고 하자. 그러면 기울기의 정의에 의해 다음 식이 성립한다.

:

\frac{y_0 - n}{x_0 - m}=\frac{b}{a}

이를 정리하면

a(y_0 -n) - b(x_0 - m) = 0

이고, 양변을 제곱하면 다음 식을 얻는다.

:

a^2(y_0 - n)^2 + b^2(x_0 - m)^2 = 2ab(y_0 - n)(x_0 - m)

이제 다음 식을 고려해보자.

:

\begin{align}(a(x_0 - m) + b(y_0 - n))^2 & = a^2(x_0 - m)^2 + 2ab(y_0 -n)(x_0 - m) + b^2(y_0 - n)^2 \\& = \left(a^2 + b^2\right) \left((x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2\right)\end{align}

여기서 (''m'', ''n'')은 ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0 위의 점이므로, 다음 식도 성립한다.

:

(a(x_0 - m) + b(y_0 - n))^2 = (ax_0 + by_0 - am - bn)^2 = (ax_0 + by_0 + c)^2

따라서 위 두 식을 연립하면 다음을 얻는다.

:

\left(a^2 + b^2\right) \left((x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2\right) = (ax_0 + by_0 + c)^2

유클리드 거리의 정의에 의해 (''m'', ''n'')과 (''x''₀, ''y''₀)의 거리는 다음과 같이 유도된다.

:

d=\sqrt{(x_0 - m)^2+(y_0 - n)^2} = \frac

{\sqrt{a^2+b^2}}^[25]^[4]^[14]

3. 2. 기하학적 증명

a^영어와 b^영어가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능한 증명 방법이다.^[26]

점 P^한국어(''x''₀, ''y''₀)에서 직선 Ax + By + C = 0^한국어에 내린 수선의 발을 R^한국어이라 한다. 또 P^한국어에서 y축에 평행한 직선을 내려 직선과 만나는 교점을 S^한국어라 한다. 직선에서 임의의 점 T^한국어를 잡아 그림과 같이 직각삼각형 ∆TVU^한국어를 만든다. 이때 직선의 기울기는 -A/B^한국어로 쓸 수 있다.

∆PRS^한국어와 ∆TVU^한국어는 ∠PSR = ∠TUV^한국어이고 세 내각이 모두 같아 서로 닮음이다.^[27] 이에 따라 다음 공식이 성립한다.

:

\frac

= \frac

점 S^한국어의 좌표를 (''x''₀, ''m'')^한국어이라 할 때 선분 PS, TV, TU^한국어의 길이를 고려하면 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

|\overline{PR} | = \frac

{\sqrt{A^2 + B^2}}

이때 S^한국어가 놓여있는 직선의 방정식을 알기 때문에 m^한국어은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

m = \frac{-Ax_0 - C}{B}

따라서 최종적으로 다음 식을 얻는다.^[28]

:

|\overline{PR}| = \frac

{\sqrt{A^2 + B^2}}

3. 3. 벡터의 사영을 사용한 증명

점 P(''x''₀, ''y''₀)와 직선 ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0 사이의 거리를 구하는 경우를 생각해 보자. 이 직선 위에 임의의 점 Q(''x''₁, ''y''₁)을 잡고, 이 점에서 시작하여 직선에 수직인 벡터 '''n''' = (''a'', ''b'')를 생각할 수 있다. 점 P와 직선 사이의 거리는

\overrightarrow{QP}

를 '''n'''에 정사영한 벡터의 길이와 같다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.^[29]^[8]^[18]

:

d = \frac

{\| \mathbf{n}\|}.

\overrightarrow{QP} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1)

이므로,

\overrightarrow{QP} \cdot \mathbf{n} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)

이다. 또한

\| \mathbf{n} \| = \sqrt{a^2 + b^2}

이므로, 위 식은 다음과 같이 정리된다.

:

d = \frac

{\sqrt{a^2 + b^2}}.

이 때, Q(''x''₁, ''y''₁)는 직선 위의 점이므로,

c = -ax_1 - by_1

를 만족한다. 따라서, 점과 직선 사이의 거리 공식은 최종적으로 다음과 같다.

:

d = \frac

{\sqrt{a^2 + b^2}}.

4. 추가 공식

점과 직선 사이의 최단 거리를 구하는 다른 공식들을 유도할 수 있다. 이 유도 과정은 직선이 수직이나 수평이 아님을 전제로 한다.

점 P의 좌표가 ( $x_0, y_0$ )로 주어지고, 직선의 방정식이 $y=mx+k$ (기울기-절편 형태)로 주어질 때, 점 P를 지나고 이 직선에 수직인 직선의 방정식은 $y=\frac{x_0-x}{m}+y_0$ 이다.

두 직선의 교점은 원래 직선에서 점 P에 가장 가까운 점이다. 따라서:

: $mx+k=\frac{x_0-x}{m}+y_0.$

이 방정식을 ''x''에 대해 풀면,

: $x=\frac{x_0+my_0-mk}{m^2+1}.$

교점의 ''y'' 좌표는 이 ''x'' 값을 원래 직선의 방정식에 대입하여 구할 수 있다.

: $y=m\frac{(x_0+my_0-mk)}{m^2+1}+k.$

두 점 사이의 거리를 구하는 공식 $d=\sqrt{(X_2-X_1)^2+(Y_2-Y_1)^2}$ 을 사용하면, 직선과 점 사이의 최단 거리를 구하는 공식은 다음과 같다.

: $d=\sqrt{ \left( {\frac{x_0 + m y_0-mk}{m^2+1}-x_0 } \right) ^2 + \left( {m\frac{x_0+m y_0-mk}{m^2+1}+k-y_0 }\right) ^2 } = \frac$

\sqrt{1 + m^2} .

직선의 방정식이 ''ax'' + ''by'' + c = 0 형태일 때, ''m'' = -''a''/''b''이고 ''k'' = - ''c''/''b''임을 이용하여 위 식을 표준 형태로 바꿀 수 있다.^[9]

5. 응용

점과 직선 사이의 거리 공식은 다양한 분야에서 활용될 수 있다.

6. 읽을 거리

미셸 마리 데자(Michel Marie Deza)와 엘레나 데자(Elena Deza)의 《거리 백과사전》(Encyclopedia of Distances, 2판, 스프링어, 2013) 86쪽. ISBN 9783642309588^[1]

7. 역사

점과 직선 사이의 거리 공식은 미셸 데자와 엘레나 데자가 쓴 ''Encyclopedia of Distances''에서 찾아볼 수 있다. 이 책은 2013년 스프링거에서 출판된 2판이다.^[1]

참조

_[1] 서적 Larson Hostetler 2007
_[2] 서적 Spain 2007
_[3] 서적 Larson Hostetler 2007
_[4] 문서 Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples
_[5] 서적 Ballantine Jerbert 1952
_[6] 문서 If the two triangles are on opposite sides of the line, these angles are congruent because they are alternate interior angles.
_[7] 서적 Ballantine Jerbert 1952
_[8] 서적 Anton 1994
_[9] 서적 Larson Hostetler 2007
_[10] 웹사이트 Lines and Distance of a Point to a Line http://geomalgorithm[...] softSurfer 2013-12-06
_[11] 서적 Larson Hostetler 2007
_[12] 서적 Spain 2007
_[13] 서적 Larson Hostetler 2007
_[14] 서적 Laudański 2013
_[15] 서적 Ballantine Jerbert 1952
_[16] 문서 もし2つの三角形が直線を挟んで両側に位置した場合、この2角の関係は[[錯角]]であるからやはり等しい。
_[17] 서적 Ballantine Jerbert 1952
_[18] 서적 Anton 1994
_[19] 서적 Larson Hostetler 2007
_[20] 웹사이트 Lines and Distance of a Point to a Line http://geomalgorithm[...] softSurfer 2013-12-06
_[21] 서적 Larson Hostetler 2007
_[22] 서적 Spain 2007
_[23] 서적 Larson Hostetler 2007
_[24] 웹인용 Lines and Distance of a Point to a Line https://geomalgorith[...] softSurfer 2013-12-06
_[25] 문서 Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples
_[26] 서적 Ballantine Jerbert 1952
_[27] 문서 If the two triangles are on opposite sides of the line, these angles are congruent because they are alternate interior angles.
_[28] 서적 Ballantine Jerbert 1952
_[29] 서적 Anton 1994

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