유클리드 거리

3. 차원별 공식

데카르트 좌표계에서 n차원 유클리드 공간의 두 점 '''p''' = (''p''₁, ''p''₂, ..., ''p''_''n'')와 '''q''' = (''q''₁, ''q''₂, ..., ''q''_''n'') 사이의 유클리드 거리(거리 함수 d)는 다음과 같이 정의된다.

:$d(\backslash boldsymbol\{p\},\; \backslash boldsymbol\{q\})\; =\; d(\backslash boldsymbol\{q\},\; \backslash boldsymbol\{p\})\; =\; \backslash sqrt\{(q\_1-p\_1)^2\; +\; (q\_2-p\_2)^2\; +\; \backslash cdots\; +\; (q\_n-p\_n)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; (q\_i-p\_i)^2\}$

이는 유클리드 노름을 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:$\backslash |\backslash mathbf\{p\}\; -\; \backslash mathbf\{q\}\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{(\backslash mathbf\{p\}-\backslash mathbf\{q\})\backslash cdot(\backslash mathbf\{p\}-\backslash mathbf\{q\})\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash |\backslash mathbf\{p\}\backslash |^2\; +\; \backslash |\backslash mathbf\{q\}\backslash |^2\; -\; 2\backslash mathbf\{p\}\backslash cdot\backslash mathbf\{q\}\}.$

점 '''p'''와 '''q''' 사이의 거리에 방향을 고려하면(예: '''p'''에서 '''q'''로), 변위 벡터는 다음과 같다.

:$\backslash boldsymbol\{q\}\; -\; \backslash boldsymbol\{p\}\; =\; (q\_1-p\_1,\; q\_2-p\_2,\; \backslash cdots,\; q\_n-p\_n)$

이때 '''p'''와 '''q''' 사이의 유클리드 거리는 이 변위 벡터의 유클리드 길이와 같으며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash |\backslash boldsymbol\{q\}\; -\; \backslash boldsymbol\{p\}\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{(\backslash boldsymbol\{q\}-\backslash boldsymbol\{p\})\backslash cdot(\backslash boldsymbol\{q\}-\backslash boldsymbol\{p\})\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash |\; \backslash boldsymbol\{p\}\backslash |^2\; +\; \backslash |\; \backslash boldsymbol\{q\}\; \backslash |^2\; -\; 2\backslash boldsymbol\{p\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{q\}\}$

3차원 유클리드 공간에서의 거리는 다음 식으로 정의된다.

:$d(p,q)\; =\; \backslash sqrt\{(p\_1\; -\; q\_1)^2\; +\; (p\_2\; -\; q\_2)^2+(p\_3\; -\; q\_3)^2\}.$

3. 1. 1차원

3. 2. 2차원

3. 3. 3차원

3. 4. 고차원

4. 성질

유클리드 거리는 거리 공간의 전형적인 예시이며,^[10] 다음과 같은 거리 공간의 모든 정의 속성을 따른다:^[11]

• '''대칭성''': 모든 점 $p$와 $q$에 대해 $d(p,q)=d(q,p)$이다. 즉, 두 점 사이의 거리는 두 점 중 어느 점이 시작이고 어느 점이 목적지인지에 따라 달라지지 않는다.^[11]
• '''양수 값''': 모든 서로 다른 두 점 사이의 거리는 양수이고, 모든 점과 자기 자신 사이의 거리는 0이다.^[11]
• '''삼각 부등식''': 모든 세 점 $p$, $q$, $r$에 대해 $d(p,q)+d(q,r)\backslash ge\; d(p,r)$이다. 직관적으로, $p$에서 $r$까지 $q$를 경유하는 것은 $p$에서 $r$까지 직접 가는 것보다 더 짧을 수 없다.^[11]

5. 제곱 유클리드 거리

많은 응용 분야, 특히 거리를 비교할 때 유클리드 거리 계산에서 마지막 제곱근을 생략하는 것이 더 편리할 수 있다. 제곱근은 순서를 변경하지 않기 때문이다($d\_1\; >\; d\_2$일 때와 그 때만 $d\_1^2\; >\; d\_2^2$). 이 생략으로 인한 값은 유클리드 거리의 제곱이며, '''제곱 유클리드 거리'''라고 한다.^[19] 예를 들어, 유클리드 최소 신장 트리는 거리의 수치 값 대신 거리 간의 순서만 사용하여 결정할 수 있다. 제곱 거리를 비교하면 동일한 결과가 나오지만 불필요한 제곱근 계산을 피하고 수치 정밀도 문제를 우회할 수 있다.^[15] 식으로 나타내면 제곱 거리는 다음과 같은 제곱의 합으로 표현할 수 있다.

:$$d^2(p,q)\; =\; (p\_1\; -\; q\_1)^2\; +\; (p\_2\; -\; q\_2)^2+\backslash cdots+(p\_n\; -\; q\_n)^2.$$

제곱 유클리드 거리는 거리 비교 외에도 통계학에서 중요한 역할을 한다. 통계학에서는 관찰 값과 추정 값 사이의 제곱 거리 평균을 최소화하여 통계적 추정치를 데이터에 맞추는 표준 방법인 최소 제곱법에 사용되며,^[16] 확률 분포를 비교하는 가장 간단한 형태의 발산으로 사용된다.^[17] 최소 제곱법에서처럼 제곱 거리를 서로 더하는 것은 피타고라스 덧셈이라고 하는 (제곱되지 않은) 거리에 대한 연산에 해당한다.^[18] 군집 분석에서 제곱 거리는 더 긴 거리의 효과를 강화하는 데 사용할 수 있다.^[19]

제곱 유클리드 거리는 삼각 부등식을 만족하지 않으므로 메트릭 공간을 형성하지 않는다.^[20] 그러나 거리가 비매끄럽고(동일한 점 쌍 근처) 볼록하지만 엄격하게 볼록하지 않은 것과 달리, 두 점의 매끄럽고 엄격하게 볼록 함수이다. 따라서 제곱 거리는 최적화 이론에서 선호되는데, 볼록 분석을 사용할 수 있기 때문이다. 제곱은 음수가 아닌 값의 단조 함수이므로 제곱 거리를 최소화하는 것은 유클리드 거리를 최소화하는 것과 동일하므로, 최적화 문제는 두 경우 모두 동일하지만 제곱 거리를 사용하여 해결하는 것이 더 쉽다.^[21]

유한 집합의 점 쌍 사이의 모든 제곱 거리의 모음은 유클리드 거리 행렬에 저장될 수 있으며, 거리 기하학에서 이 형태로 사용된다.^[22] 더 멀리 떨어진 대상일수록 더 큰 가중치를 갖도록 하기 위해, 일반적인 유클리드 거리를 제곱하는 것을 고려한다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

:$d^2(p,q)\; =\; (p\_1\; -\; q\_1)^2\; +\; (p\_2\; -\; q\_2)^2+\backslash cdots+(p\_i\; -\; q\_i)^2+\backslash cdots+(p\_n\; -\; q\_n)^2$

제곱 유클리드 거리는 삼각 부등식을 만족하지 않으므로 거리 함수는 아니지만, 필요한 것이 거리의 비교뿐인 최적화 문제에서는 빈번하게 사용된다. 유리 삼각법(Rational trigonometry) 관련 분야에서는 이차 거리(quadrance)라고 불리기도 한다.^[37]

6. 일반화

더욱 심화된 수학 분야에서, 유클리드 공간을 벡터 공간으로 볼 때, 이 공간의 거리는 노름과 연관되며, 이 노름을 유클리드 노름이라고 한다. 이는 각 벡터가 원점으로부터 떨어진 거리를 정의한다. 다른 노름과 비교하여 이 노름의 중요한 특징 중 하나는 원점을 중심으로 공간을 임의로 회전시켜도 변하지 않는다는 것이다.^[23] 드보레츠키 정리에 따르면, 모든 유한 차원 노름 벡터 공간은 노름이 대략 유클리드 노름과 같은 고차원 부분 공간을 갖는다. 유클리드 노름은 이러한 속성을 가진 유일한 노름이다.^[24] 이는 노름 또는 거리로 무한 차원 벡터 공간으로 확장될 수 있다.^[25] 유클리드 거리는 유클리드 공간에 위상 공간의 구조, 즉 유클리드 위상을 부여하며, 열린 공 (주어진 점에서 주어진 거리보다 작은 점들의 부분 집합)을 근방으로 사용한다.^[26]

• 체비셰프 거리 ( 거리)는 각 좌표에서의 거리의 최댓값으로 거리를 측정한다.
• 택시 거리 ( 거리)는 맨해튼 거리라고도 하며, 각 좌표에서의 거리의 합으로 거리를 측정한다.
• 민코프스키 거리 ( 거리)는 유클리드 거리, 택시 거리 및 체비셰프 거리를 통합하는 일반화된 형태이다.

7. 역사

유클리드 공간에서의 거리인 유클리드 거리는 고대 그리스 수학자 유클리드의 이름을 따서 명명되었다. 그의 저서 ''원론''은 수세기 동안 기하학의 표준 교과서였다.^[29] 길이와 거리 개념은 문화 전반에 걸쳐 널리 퍼져 있으며, 기원전 4천 년경 수메르의 초기 "원시 문자" 관료 문서까지 거슬러 올라간다.^[30] 그러나 두 점으로부터 정의되는 수로서의 거리 개념은 유클리드의 ''원론''에는 직접 나타나지 않는다. 유클리드는 선분의 합동, 선분 길이 비교, 비례 개념을 통해 간접적으로 접근했다.^[32]

피타고라스 정리는 고대부터 존재했지만, 1637년 르네 데카르트의 데카르트 좌표계 발명 이후 거리 측정에 중요한 역할을 하게 되었다. 거리 공식은 1731년 알렉시스 클레로가 처음 발표했다.^[33] 이 공식 때문에 유클리드 거리는 피타고라스 거리라고도 불린다.^[34] 유클리드 공간이 아닌 지구 표면의 장거리 측정은 고대부터 여러 문화권에서 연구되었지만(측지학의 역사 참조), 유클리드 거리가 수학적 공간에서 점 사이 거리를 측정하는 유일한 방법이 아니라는 생각은 19세기 비유클리드 기하학이 정립되면서 나왔다.^[35] 3차원 이상의 기하학에 대한 유클리드 노름과 유클리드 거리 정의는 19세기 오귀스탱 루이 코시의 연구에서 처음 나타났다.^[36]

참조

_[1] 서적 Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving https://books.google[...] Jones & Bartlett Publishers
_[2] 서적 Precalculus: A Problems-Oriented Approach https://books.google[...] Cengage Learning
_[3] 서적 College Trigonometry https://books.google[...] Cengage Learning
_[4] 서적 Complex Numbers from A to ... Z Birkhäuser
_[5] 서적 Geometry: The Language of Space and Form https://books.google[...] Infobase Publishing
_[6] 서적 Metric Spaces https://books.google[...] Springer
_[7] 논문 Distance from a line, or plane, to a point 1952-04
_[8] 서적 An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions Macmillan
_[9] 논문 An overview of offset curves and surfaces 1999-03
_[10] 서적 Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics https://books.google[...] Springer
_[11] 서적 The Way of Analysis https://books.google[...] Jones & Bartlett Learning
_[12] 서적 Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics Princeton University Press
_[13] 서적 Euclidean Distance Geometry: An Introduction https://books.google[...] Springer
_[14] 논문 On isometries of Euclidean spaces
_[15] 논문 On constructing minimum spanning trees in {{mvar|k}}-dimensional spaces and related problems
_[16] 서적 Basic Statistics in Multivariate Analysis https://books.google[...] Oxford University Press
_[17] 논문 "{{mvar|I}}-divergence geometry of probability distributions and minimization problems"
_[18] 논문 Replacing Square Roots by Pythagorean Sums http://www.research.[...]
_[19] 서적 Essentials of Multivariate Data Analysis CRC Press
_[20] 서적 Statistical Mining and Data Visualization in Atmospheric Sciences Springer
_[21] 서적 Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[22] 서적 Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory https://books.google[...] Springer
_[23] 서적 Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[24] 서적 Lectures on Discrete Geometry https://books.google[...] Springer
_[25] 서적 Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications https://books.google[...] Society for Industrial and Applied Mathematics
_[26] 서적 General Topology: An Introduction https://books.google[...] De Gruyter
_[27] 서적 Single-Facility Location Problems with Barriers Springer
_[28] 서적 Computing in Geographic Information Systems https://books.google[...] CRC Press
_[29] 서적 Visualization for Information Retrieval Springer
_[30] 서적 The Cambridge History of Science, Volume 1: Ancient Science Cambridge University Press 2020-10-21
_[31] 논문 The understanding of relative speeds, distances, and durations of movement
_[32] 논문 Review of ''Geometry: Euclid and Beyond'' by Robin Hartshorne https://www.ams.org/[...]
_[33] 서적 The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History https://books.google[...] Princeton University Press
_[34] 논문 Pythagorean distance and the judged similarity of schematic stimuli 1970-03
_[35] 논문 Hyperbolic geometry: the first 150 years https://www.ams.org/[...]
_[36] 서적 Foundations of Hyperbolic Manifolds https://books.google[...] Springer
_[37] 문서 quadratic（二次の）+distance（距離）の[[かばん語]]