조립제법

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1. 개요
2. 조립제법의 원리 및 정의
- 2.1. 용어의 어원
- 2.2. 기본 원리
3. 조립제법의 방법
4. 조립제법의 활용
- 4.1. 다항식의 인수분해
- 4.2. 다항식의 값 계산 (나머지 정리)
5. 조립제법과 관련된 추가 정보
6. Python 구현 예제
참조

1. 개요

조립제법은 다항식 나눗셈을 계수만 사용하여 계산하는 방법으로, 특히 일차식 또는 이차식으로 나눌 때 유용하다. 조립제법은 영어의 Synthetic division을 번역한 것으로, 나누는 수와 나누어지는 수의 계수를 특정 방식으로 배열하여 나눗셈을 수행한다. 일차식으로 나눌 때는 제수의 상수항 부호를 바꿔 계산에 사용하며, 이차식으로 나눌 때는 제수의 최고차항을 제외한 항들의 부호를 바꿔 계산한다. 조립제법은 다항식의 인수분해, 다항식의 값 계산 등에 활용되며, 파이썬으로 구현할 수도 있다.

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조립제법
개요
조립제법 시연
유형	다항식 나눗셈 알고리즘
발명자	파올로 루피니, 윌리엄 조지 호너
발명 연도	1809년 (파올로 루피니), 1819년 (윌리엄 조지 호너)
목적
주된 목적	주어진 수치에서 다항식의 값을 평가
다른 목적	다항식을 선형 인수로 나누기 다항식의 근을 찾기 부분 분수 분해 수행
예시
다항식 예시	x³ − 12x² − 42
나누는 수	x - 3
몫	x² − 9x − 27
나머지	-123
일반 정보
다른 이름	러피니-호너 방법 호너의 방법
분야	수학, 컴퓨터 과학
관련 항목
관련 항목	다항식 나눗셈 알고리즘 호너의 방법 파올로 루피니 윌리엄 조지 호너

2. 조립제법의 원리 및 정의

조립제법은 다항식 나눗셈을 할 때, 계수만을 이용하여 계산하는 방법이다. 다항식의 나눗셈에서, 피제수(나누어지는 수)의 각 항의 계수를 내림차순으로 배열하고, 제수(나누는 수)의 최고차항 계수를 1로 만든 후 나머지 항들의 부호를 바꾸어 계산에 사용한다.

예를 들어, 다항식 $x^3 - 12x^2 - 42$를 $x - 3$으로 나누는 경우를 생각해 보자.

먼저, 피제수 $x^3 - 12x^2 - 42$를 $x^3 - 12x^2 + 0x - 42$로 나타낼 수 있다. 제수 $x - 3$의 영점은 3이다.

피제수의 계수 1, -12, 0, -42를 순서대로 쓰고, 제수의 영점 3을 왼쪽에 쓴다.

```

3 | 1 -12 0 -42

```

첫 번째 계수 1을 그대로 아래로 내린다.

```

3 | 1 -12 0 -42

|-----------

| 1

```

내려온 숫자 1에 제수의 영점 3을 곱한 결과 3을 -12 아래에 쓴다.

```

3 | 1 -12 0 -42

| 3

|-----------

| 1

```

12와 3을 더한 결과 -9를 아래에 쓴다.

```

3 | 1 -12 0 -42

| 3

|-----------

| 1 -9

```

이 과정을 반복한다. -9에 3을 곱한 결과 -27을 0 아래에 쓰고, 0과 -27을 더한 결과 -27을 아래에 쓴다.

```

3 | 1 -12 0 -42

| 3 -27

|-----------

| 1 -9 -27

```

마지막으로 -27에 3을 곱한 결과 -81을 -42 아래에 쓰고, -42와 -81을 더한 결과 -123을 아래에 쓴다.

```

3 | 1 -12 0 -42

| 3 -27 -81

|-----------

| 1 -9 -27 -123

```

마지막에 얻은 -123은 나머지이고, 1, -9, -27은 몫의 계수이다.

따라서 몫은 $x^2 - 9x - 27$이고, 나머지는 -123이다.

조립제법(Synthetic division)을 영어로 직역하면 (종합적으로) 합성한 나눗셈을 의미한다. 이는 나누어지는 다항식(피제수)의 각 항들을 내림차순으로 정리하여 계수들만 정렬시키고, 나눌 다항식(제수)의 상수항에 (-1)을 곱함으로써 부호를 바꾼 항을 왼쪽 칸에 배열시켜 계수들을 합성시키는 과정을 반영한다.

조립제법(組立除法)은 Synthetic division를 한자어로 번역한 것이다. 피제수와 제수의 각 계수들을 특정하게 배열(組)하여 알맞게 조립제법의 형태를 세우고(立) 이 형식으로 나눗셈을 수행하는 것(除)을 의미한다.

조립제법의 이름은 조립제법을 하는 방법에 초점을 두어 정의되었다. 간편한 나눗셈을 수행하기 위해, 조립제법을 하는 방법을 강조하고 있다.

2. 1. 용어의 어원

조립제법(Synthetic division)을 영어로 직역하면 (종합적으로) 합성한 나눗셈을 의미한다. 이는 나누어지는 다항식(피제수)의 각 항들을 내림차순으로 정리하여 계수들만 정렬시키고, 나눌 다항식(제수)의 상수항에 (-1)을 곱함으로써 부호를 바꾼 항을 왼쪽 칸에 배열시켜 계수들을 합성시키는 과정을 반영한다.

조립제법(組立除法)은 Synthetic division를 한자어로 번역한 것이다. 피제수와 제수의 각 계수들을 특정하게 배열(組)하여 알맞게 조립제법의 형태를 세우고(立) 이 형식으로 나눗셈을 수행하는 것(除)을 의미한다.

조립제법의 이름은 조립제법을 하는 방법에 초점을 두어 정의되었다. 간편한 나눗셈을 수행하기 위해, 조립제법을 하는 방법을 강조하고 있다.

2. 2. 기본 원리

조립제법은 다항식 나눗셈을 할 때, 계수만을 이용하여 계산하는 방법이다. 다항식의 나눗셈에서, 피제수(나누어지는 수)의 각 항의 계수를 내림차순으로 배열하고, 제수(나누는 수)의 최고차항 계수를 1로 만든 후 나머지 항들의 부호를 바꾸어 계산에 사용한다.

예를 들어, 다항식 $x^3 - 12x^2 - 42$를 $x - 3$으로 나누는 경우를 생각해 보자.

먼저, 피제수 $x^3 - 12x^2 - 42$를 $x^3 - 12x^2 + 0x - 42$로 나타낼 수 있다. 제수 $x - 3$의 영점은 3이다.

피제수의 계수 1, -12, 0, -42를 순서대로 쓰고, 제수의 영점 3을 왼쪽에 쓴다.

```

3 | 1 -12 0 -42

```

첫 번째 계수 1을 그대로 아래로 내린다.

```

3 | 1 -12 0 -42

|-----------

| 1

```

내려온 숫자 1에 제수의 영점 3을 곱한 결과 3을 -12 아래에 쓴다.

```

3 | 1 -12 0 -42

| 3

|-----------

| 1

```

12와 3을 더한 결과 -9를 아래에 쓴다.

```

3 | 1 -12 0 -42

| 3

|-----------

| 1 -9

```

이 과정을 반복한다. -9에 3을 곱한 결과 -27을 0 아래에 쓰고, 0과 -27을 더한 결과 -27을 아래에 쓴다.

```

3 | 1 -12 0 -42

| 3 -27

|-----------

| 1 -9 -27

```

마지막으로 -27에 3을 곱한 결과 -81을 -42 아래에 쓰고, -42와 -81을 더한 결과 -123을 아래에 쓴다.

```

3 | 1 -12 0 -42

| 3 -27 -81

|-----------

| 1 -9 -27 -123

```

마지막에 얻은 -123은 나머지이고, 1, -9, -27은 몫의 계수이다.

따라서 몫은 $x^2 - 9x - 27$이고, 나머지는 -123이다.

3. 조립제법의 방법

조립제법은 나누는 다항식(제수)의 차수에 따라 여러 가지 방법으로 적용할 수 있다.

== 일차식으로 나누는 경우 ==

제수가 일차식인 경우, 조립제법은 가장 간단하고 직관적이다.

=== 제수의 일차항 계수가 1인 경우 ===

이 경우, 제수의 상수항의 부호를 바꾸어 계산에 사용한다. 다음 나눗셈을 보자.

: $\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x - 3}$

피제수의 계수를 내림차순으로 쓰고, 보이지 않는 항(이 경우 일차항)의 계수도 0으로 쓴다. 제수의 최고차항을 제외한 나머지 계수(여기서는 -3)의 부호를 바꾼 3을 세로줄 왼쪽에 쓴다.

: $\begin{array}{cc}\begin{array}{r} \\ 3 \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\& & & \\\hline\end{array}\end{array}$

첫 번째 계수 1은 그대로 내려온다.

: $\begin{array}{cc}\begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\& & & \\\hline1 & & & \\\end{array}\end{array}$

내려온 계수 1과 왼쪽에 쓴 수 3을 곱한 값 3을 피제수의 다음 계수 -12 아래에 쓴다.

: $\begin{array}{cc}\begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\& 3 & & \\\hline1 & & & \\\end{array}\end{array}$

같은 열에 있는 -12와 3을 더한 값 -9를 가로선 아래에 쓴다.

: $\begin{array}{cc}\begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\& 3 & & \\\hline1 & -9 & & \\\end{array}\end{array}$

이전 두 단계를 반복한다.

: $\begin{array}{cc}\begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\& 3 & -27 & -81 \\\hline1 & -9 & -27 & -123\end{array}\end{array}$

가로줄 아래쪽에 나열된 수 중 가장 오른쪽 수 -123은 나머지이고, 나머지 수들(1, -9, -27)은 몫의 계수이다. 따라서,

: $\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x - 3} = x^2 - 9x - 27 - \frac{123}{x - 3}$

임을 알 수 있다.^[1]

=== 제수의 일차항 계수가 1이 아닌 경우 ===

제수의 일차항 계수가 1이 아닌 경우, 조립제법을 적용하는 방법은 두 가지가 있다.

첫 번째 방법은 제수의 최고차항 계수로 모든 항을 나누는 것이다. 예를 들어, 다음 나눗셈을 보자.

: $\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3}$

이 경우, 제수 2x - 3의 최고차항 계수는 2이므로, 모든 항을 2로 나눈다.

: $h(x) = \frac{2x - 3}{2} = x - \frac{3}{2}$

그런 다음 h(x)를 제수로 하여 조립제법을 사용한다. 조립제법을 완료한 후, 몫을 다시 2로 나누면 원래 나눗셈의 몫을 얻을 수 있다. 나머지는 동일하게 유지된다.^[2]

두 번째 방법은 나누는 식의 상수항을 반대 부호로 하여 세로줄의 왼쪽에 쓰고, 나누는 식의 최고차항 계수는 부호를 바꾸지 않고 나누기 기호 /를 그 좌측에 붙여(즉 /2 기호) 가로줄 밑, 세로줄 바로 좌측에 적어주는 것이다. 이후 과정은 일반적인 조립제법과 유사하지만, 각 단계에서 최고차항 계수로 나누는 과정(/2)을 추가해야 한다. 마지막 단계에서는 이 나누기(/2)를 생략한다.

예를 들어 $\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3}$ 에 대해 두 번째 방법을 적용하면 다음과 같다.

: $\begin{array}{ccc}\begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\& 3/2 & -63/4 & -189/8 \\\hline1 & -21/2 & -63/4 & -525/8 \\1/2 & -21/4 & -63/8 & \\\end{array}\end{array}$

가로줄 아래의 마지막 숫자(-525/8)는 나머지이고, 그 아래 숫자들이 몫의 계수가 된다.^[2] 따라서,

: $\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3} = \frac{1}{2} x^2 - \frac{21}{4} x - \frac{63}{8} + \frac{-\frac{525}{8}}{2x - 3}$

이다.

이 방법은 제수가 단항식이 아닌 경우에도 적용 가능하다. 예를 들어, 다음 나눗셈을 보자:

: $\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}$

이 경우 제수는 3x² - 2x - 1 이고, 최고차항 계수는 3이다. 조립제법을 적용하는 과정은 다음과 같다.

: $\begin{array}{cc}\begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}\begin{array}{|rrrr}6 & 5 & 0 & -7 \\& & 2 & 3 \\& 4 & 6 & \\\hline6 & 9 & 8 & -4 \\2 & 3 & & \\\end{array}\end{array}$

마지막 두 값(제수의 차수와 같음)은 나머지의 계수이고, 나머지 값은 몫의 계수이다. 따라서,

: $\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1} = 2x + 3 + \frac{8x - 4}{3x^2-2x-1}$

이다.

== 이차식으로 나누는 경우 ==

제수가 이차식인 경우, 조립제법은 약간 더 복잡하지만, 여전히 계수만을 사용하여 나눗셈을 수행할 수 있다.

=== 제수의 최고차항 계수가 1인 경우 ===

제수의 최고차항을 제외한 나머지 항들의 부호를 바꾸어 대각선 방향으로 배열하고 계산한다.

: $\begin{array}{cc}\begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\& & 3 & -39 \\& -1 & 13 & \\\hline1 & -13 & 16 & -81 \\\end{array}\end{array}$

이차식으로 나누었으므로, 가로줄 아래쪽에 나열된 수 중에서 우측 두 수는 나머지의 계수를 의미하고, 나머지 수들은 내림차순으로 몫의 계수들을 의미하게 된다. 그리하여 나눗셈의 결과는 다음과 같음을 알 수 있다.^[1]

: $\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3} = x - 13 + \frac{16x - 81}{x^2 + x - 3}$

=== 제수의 최고차항 계수가 1이 아닌 경우 ===

이 방법은 제수의 최고차항 계수가 1이 아닐 때 조립제법을 사용하는 방법을 설명한다. 이 경우, 두 가지 방법으로 계산을 조정할 수 있다.

첫 번째 방법은 제수 $g(x)$ 를 최고차항의 계수(''a'')로 나누어 $h(x) = \frac{g(x)}{a}$ 를 만든 후, $h(x)$ 를 제수로 하여 조립제법을 사용하는 것이다. 그 다음, 몫을 ''a''로 나누어 원래 나눗셈의 몫을 얻는다 (나머지는 동일하게 유지).

예시:

: $\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}$

# 제수 $3x^2-2x-1$ 를 최고차항 계수 3으로 나눈다: $x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

# $x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$ 를 제수로, $6x^3+5x^2-7$ 를 피제수로 하여 조립제법을 수행한다.

# 얻어진 몫을 3으로 나눈다. 나머지는 변하지 않는다.

하지만 이 방법은 분수가 발생하여 오류가 발생하기 쉽다.

두 번째 방법은 $g(x)$ 의 계수를 줄이지 않고 조립제법을 수행하는 것이다. $f(x)$ 의 계수를 "내려쓴" 후, 곱하기 전에 $g(x)$ 의 최고차항의 계수로 나눈다.

예시:

: $\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}$

# 수정된 표를 사용한다. 제수의 부호를 바꾼 계수(1, 2)를 대각선으로 쓰고, 제수의 최고차항 계수(3)으로 나눌 것을 표시(/3)한다.

```wikitable

	1
2
	/3

```

```wikitable

6	5	0	-7

```

# 피제수의 첫 번째 계수 6을 내려쓴다.

# 내려쓴 값 6을 3으로 나누어 2를 아래 행에 쓴다.

# 나눈 값 2에 제수의 부호를 바꾼 계수 2, 1을 곱하여 각각 4, 2를 대각선으로 윗 행에 쓴다.

# 5를 내려쓰고, 4를 더한 9를 아래에 쓴다. 다시 3으로 나누어 3을 아래 행에 쓴다.

# 3에 제수의 부호를 바꾼 계수 2, 1을 곱하여 각각 6, 3을 윗 행에 쓴다.

# 0과 2와 6을 더한 8, -7과 3을 더한 -4를 아래 행에 쓴다.

# 몫은 2x + 3, 나머지는 8x - 4이다.

결과는 다음과 같다.

: $\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1} = 2x + 3 + \frac{8x - 4}{3x^2-2x-1}$

== 고차 다항식으로 나누는 경우 ==

조립제법은 이차 이상의 고차 다항식으로 나누는 경우에도 적용 가능하다. 이 경우, 확장된 조립제법 또는 압축된 확장 조립제법을 사용한다.

다음은 $\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3}$ 를 조립제법으로 계산하는 예시이다.

나누어질 다항식의 계수를 쓴다: 1, -12, 0, -42
제수의 계수의 부호를 바꾼다: -1, -1, +3
첫 번째 계수를 제외한 모든 계수를 오른쪽 위 대각선으로 쓴다.
막대 뒤의 첫 번째 계수를 아래로 내린다.
내려진 숫자에 막대 앞의 대각선을 곱하고 그 결과를 내려진 항목에서 오른쪽으로 대각선으로 놓는다.
다음 열에서 덧셈을 수행한다.
위의 과정을 반복한다.
나머지 열을 모두 더한다.
막대 왼쪽에 있는 항의 수를 세어 나머지의 차수를 결정하고, 나머지와 결과를 분리한다.
항은 나머지와 결과 모두 0차부터 시작하여 오른쪽에서 왼쪽으로 차수가 증가하는 순서로 작성된다.

계산 결과는 다음과 같다.

:

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3} = x - 13 + \frac{16x - 81}{x^2 + x - 3}

제수의 차수가 피제수의 차수의 절반을 초과할 때는 압축된 확장 조립제법을 사용할 수 있다.

3. 1. 일차식으로 나누는 경우

제수가 일차식인 경우, 조립제법은 가장 간단하고 직관적이다.

== 제수의 일차항 계수가 1인 경우 ==

이 경우, 제수의 상수항의 부호를 바꾸어 계산에 사용한다. 다음 나눗셈을 보자.

:

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x - 3}

피제수의 계수를 내림차순으로 쓰고, 보이지 않는 항(이 경우 일차항)의 계수도 0으로 쓴다. 제수의 최고차항을 제외한 나머지 계수(여기서는 -3)의 부호를 바꾼 3을 세로줄 왼쪽에 쓴다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{r} \\ 3 \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\&     &   &     \\\hline\end{array}\end{array}

첫 번째 계수 1은 그대로 내려온다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\&     &   &     \\\hline1 &     &   &     \\\end{array}\end{array}

내려온 계수 1과 왼쪽에 쓴 수 3을 곱한 값 3을 피제수의 다음 계수 -12 아래에 쓴다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\&   3 &   &     \\\hline1 &     &   &     \\\end{array}\end{array}

같은 열에 있는 -12와 3을 더한 값 -9를 가로선 아래에 쓴다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\&   3 &   &     \\\hline1 &  -9 &   &     \\\end{array}\end{array}

이전 두 단계를 반복한다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 &   0 &  -42 \\&   3 & -27 &  -81 \\\hline1 &  -9 & -27 & -123\end{array}\end{array}

가로줄 아래쪽에 나열된 수 중 가장 오른쪽 수 -123은 나머지이고, 나머지 수들(1, -9, -27)은 몫의 계수이다. 따라서,

:

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x - 3} = x^2 - 9x - 27 - \frac{123}{x - 3}

임을 알 수 있다.^[1]

== 제수의 일차항 계수가 1이 아닌 경우 ==

제수의 일차항 계수가 1이 아닌 경우, 조립제법을 적용하는 방법은 두 가지가 있다.

첫 번째 방법은 제수의 최고차항 계수로 모든 항을 나누는 것이다. 예를 들어, 다음 나눗셈을 보자.

:

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3}

이 경우, 제수 2x - 3의 최고차항 계수는 2이므로, 모든 항을 2로 나눈다.

:

h(x) = \frac{2x - 3}{2} = x - \frac{3}{2}

그런 다음 h(x)를 제수로 하여 조립제법을 사용한다. 조립제법을 완료한 후, 몫을 다시 2로 나누면 원래 나눗셈의 몫을 얻을 수 있다. 나머지는 동일하게 유지된다.^[2]

두 번째 방법은 나누는 식의 상수항을 반대 부호로 하여 세로줄의 왼쪽에 쓰고, 나누는 식의 최고차항 계수는 부호를 바꾸지 않고 나누기 기호 /를 그 좌측에 붙여(즉 /2 기호) 가로줄 밑, 세로줄 바로 좌측에 적어주는 것이다. 이후 과정은 일반적인 조립제법과 유사하지만, 각 단계에서 최고차항 계수로 나누는 과정(/2)을 추가해야 한다. 마지막 단계에서는 이 나누기(/2)를 생략한다.

예를 들어

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3}

에 대해 두 번째 방법을 적용하면 다음과 같다.

:

\begin{array}{ccc}\begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrrr}1 & -12 &     0 & -42 \\& 3/2 & -63/4 & -189/8 \\\hline1    & -21/2 & -63/4  & -525/8 \\1/2  & -21/4 & -63/8 &     \\\end{array}\end{array}

가로줄 아래의 마지막 숫자(-525/8)는 나머지이고, 그 아래 숫자들이 몫의 계수가 된다.^[2] 따라서,

:

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3} = \frac{1}{2} x^2 - \frac{21}{4} x - \frac{63}{8} + \frac{-\frac{525}{8}}{2x - 3}

이다.

이 방법은 제수가 단항식이 아닌 경우에도 적용 가능하다. 예를 들어, 다음 나눗셈을 보자:

:

\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}

이 경우 제수는 3x² - 2x - 1 이고, 최고차항 계수는 3이다. 조립제법을 적용하는 과정은 다음과 같다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}\begin{array}

3. 1. 1. 제수의 일차항 계수가 1인 경우

이 경우, 제수의 상수항의 부호를 바꾸어 계산에 사용한다. 다음 나눗셈을 보자.:

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x - 3}

피제수의 계수를 내림차순으로 쓰고, 보이지 않는 항(이 경우 일차항)의 계수도 0으로 쓴다. 제수의 최고차항을 제외한 나머지 계수(여기서는 -3)의 부호를 바꾼 3을 세로줄 왼쪽에 쓴다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{r} \\ 3 \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\&     &   &     \\\hline\end{array}\end{array}

첫 번째 계수 1은 그대로 내려온다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\&     &   &     \\\hline1 &     &   &     \\\end{array}\end{array}

내려온 계수 1과 왼쪽에 쓴 수 3을 곱한 값 3을 피제수의 다음 계수 -12 아래에 쓴다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\&   3 &   &     \\\hline1 &     &   &     \\\end{array}\end{array}

같은 열에 있는 -12와 3을 더한 값 -9를 가로선 아래에 쓴다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 & 0 & -42 \\&   3 &   &     \\\hline1 &  -9 &   &     \\\end{array}\end{array}

이전 두 단계를 반복한다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}&\begin{array}

3. 1. 2. 제수의 일차항 계수가 1이 아닌 경우

제수의 일차항 계수가 1이 아닌 경우, 조립제법을 적용하는 방법은 두 가지가 있다.첫 번째 방법은 제수의 최고차항 계수로 모든 항을 나누는 것이다. 예를 들어, 다음 나눗셈을 보자.:

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3}

이 경우, 제수 2x - 3의 최고차항 계수는 2이므로, 모든 항을 2로 나눈다.

:

h(x) = \frac{2x - 3}{2} = x - \frac{3}{2}

그런 다음 h(x)를 제수로 하여 조립제법을 사용한다. 조립제법을 완료한 후, 몫을 다시 2로 나누면 원래 나눗셈의 몫을 얻을 수 있다. 나머지는 동일하게 유지된다.^[2]

두 번째 방법은 나누는 식의 상수항을 반대 부호로 하여 세로줄의 왼쪽에 쓰고, 나누는 식의 최고차항 계수는 부호를 바꾸지 않고 나누기 기호 /를 그 좌측에 붙여(즉 /2 기호) 가로줄 밑, 세로줄 바로 좌측에 적어주는 것이다. 이후 과정은 일반적인 조립제법과 유사하지만, 각 단계에서 최고차항 계수로 나누는 과정(/2)을 추가해야 한다. 마지막 단계에서는 이 나누기(/2)를 생략한다.

예를 들어

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3}

에 대해 두 번째 방법을 적용하면 다음과 같다.

:

\begin{array}{ccc}\begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrrr}1 & -12 &     0 & -42 \\& 3/2 & -63/4 & -189/8 \\\hline1    & -21/2 & -63/4  & -525/8 \\1/2  & -21/4 & -63/8 &     \\\end{array}\end{array}

가로줄 아래의 마지막 숫자(-525/8)는 나머지이고, 그 아래 숫자들이 몫의 계수가 된다.^[2] 따라서,

:

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3} = \frac{1}{2} x^2 - \frac{21}{4} x - \frac{63}{8} + \frac{-\frac{525}{8}}{2x - 3}

이다.

이 방법은 제수가 단항식이 아닌 경우에도 적용 가능하다. 예를 들어, 다음 나눗셈을 보자:

:

\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}

이 경우 제수는 3x² - 2x - 1 이고, 최고차항 계수는 3이다. 조립제법을 적용하는 과정은 다음과 같다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{rrr} \\ &1& \\ 2&& \\ \\&&/3 \\ \end{array}\begin{array}

3. 2. 이차식으로 나누는 경우

제수가 이차식인 경우, 조립제법은 약간 더 복잡하지만, 여전히 계수만을 사용하여 나눗셈을 수행할 수 있다.==== 제수의 최고차항 계수가 1인 경우 ====제수의 최고차항을 제외한 나머지 항들의 부호를 바꾸어 대각선 방향으로 배열하고 계산한다.:

\begin{array}{cc}\begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}&\begin{array}{|rrrr}1 & -12 &  0 & -42 \\&     &  3 & -39 \\&  -1 & 13 &     \\\hline1 & -13 & 16 & -81 \\\end{array}\end{array}

이차식으로 나누었으므로, 가로줄 아래쪽에 나열된 수 중에서 우측 두 수는 나머지의 계수를 의미하고, 나머지 수들은 내림차순으로 몫의 계수들을 의미하게 된다. 그리하여 나눗셈의 결과는 다음과 같음을 알 수 있다.^[1]

:

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3} = x - 13 + \frac{16x - 81}{x^2 + x - 3}

==== 제수의 최고차항 계수가 1이 아닌 경우 ====

제수의 최고차항 계수가 1이 아닌 경우에는 조립제법을 바로 적용하기 어렵다.

:

\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}

와 같은 경우를 생각해보자
방법 1:# 제수

3x^2-2x-1

를 최고차항 계수 3으로 나눈다:

x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}

#

x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}

를 제수로,

6x^3+5x^2-7

를 피제수로 하여 조립제법을 수행한다.

# 얻어진 몫을 3으로 나눈다. 나머지는 변하지 않는다.

하지만 이 방법은 분수가 발생하여 오류가 발생하기 쉽다.
방법 2:제수에서 최고차항 계수를 제외한 나머지 항들의 부호를 바꾼 후, 조립제법 과정에서 곱하기 전에 제수의 최고차항의 계수로 나누는 과정을 추가한다.

:

\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}

의 경우

1. 수정된 표를 사용한다. 제수의 부호를 바꾼 계수(1, 2)를 대각선으로 쓰고, 제수의 최고차항 계수(3)으로 나눌 것을 표시(/3)한다.

```wikitable

	1
2
	/3

```

```wikitable

6	5	0	-7

```

2. 피제수의 첫 번째 계수 6을 내려쓴다.

3. 내려쓴 값 6을 3으로 나누어 2를 아래 행에 쓴다.

4. 나눈 값 2에 제수의 부호를 바꾼 계수 2, 1을 곱하여 각각 4, 2를 대각선으로 윗 행에 쓴다.

5. 5를 내려쓰고, 4를 더한 9를 아래에 쓴다. 다시 3으로 나누어 3을 아래 행에 쓴다.

6. 3에 제수의 부호를 바꾼 계수 2, 1을 곱하여 각각 6, 3을 윗 행에 쓴다.

7. 0과 2와 6을 더한 8, -7과 3을 더한 -4를 아래 행에 쓴다.

8. 몫은 2x + 3, 나머지는 8x - 4이다.

결과는 다음과 같다.

: $\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1} = 2x + 3 + \frac{8x - 4}{3x^2-2x-1}$

3. 2. 1. 제수의 최고차항 계수가 1인 경우

제수의 최고차항을 제외한 나머지 항들의 부호를 바꾸어 대각선 방향으로 배열하고 계산한다.

:

\begin{array}{cc}\begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}&\begin{array}

3. 2. 2. 제수의 최고차항 계수가 1이 아닌 경우

이 방법은 제수의 최고차항 계수가 1이 아닐 때 조립제법을 사용하는 방법을 설명한다. 이 경우, 두 가지 방법으로 계산을 조정할 수 있다.첫 번째 방법은 제수

g(x)

를 최고차항의 계수(''a'')로 나누어

h(x) = \frac{g(x)}{a}

를 만든 후,

h(x)

를 제수로 하여 조립제법을 사용하는 것이다. 그 다음, 몫을 ''a''로 나누어 원래 나눗셈의 몫을 얻는다 (나머지는 동일하게 유지).

예시:

:

\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}

1. 제수

3x^2-2x-1

를 최고차항 계수 3으로 나눈다:

x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}

2.

x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}

를 제수로,

6x^3+5x^2-7

를 피제수로 하여 조립제법을 수행한다.

3. 얻어진 몫을 3으로 나눈다. 나머지는 변하지 않는다.

하지만 이 방법은 분수가 발생하여 오류가 발생하기 쉽다.

두 번째 방법은

g(x)

의 계수를 줄이지 않고 조립제법을 수행하는 것이다.

f(x)

의 계수를 "내려쓴" 후, 곱하기 전에

g(x)

의 최고차항의 계수로 나눈다.

예시:

:

\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}

1. 수정된 표를 사용한다. 제수의 부호를 바꾼 계수(1, 2)를 대각선으로 쓰고, 제수의 최고차항 계수(3)으로 나눌 것을 표시(/3)한다.

```wikitable

	1
2
	/3

```

```wikitable

6	5	0	-7

```

2. 피제수의 첫 번째 계수 6을 내려쓴다.

3. 내려쓴 값 6을 3으로 나누어 2를 아래 행에 쓴다.

4. 나눈 값 2에 제수의 부호를 바꾼 계수 2, 1을 곱하여 각각 4, 2를 대각선으로 윗 행에 쓴다.

5. 5를 내려쓰고, 4를 더한 9를 아래에 쓴다. 다시 3으로 나누어 3을 아래 행에 쓴다.

6. 3에 제수의 부호를 바꾼 계수 2, 1을 곱하여 각각 6, 3을 윗 행에 쓴다.

7. 0과 2와 6을 더한 8, -7과 3을 더한 -4를 아래 행에 쓴다.

8. 몫은 2x + 3, 나머지는 8x - 4이다.

결과는 다음과 같다.

: $\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1} = 2x + 3 + \frac{8x - 4}{3x^2-2x-1}$

3. 3. 고차 다항식으로 나누는 경우

조립제법은 이차 이상의 고차 다항식으로 나누는 경우에도 적용 가능하다. 이 경우, 확장된 조립제법 또는 압축된 확장 조립제법을 사용한다.

다음은

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3}

를 조립제법으로 계산하는 예시이다.

나누어질 다항식의 계수를 쓴다: 1, -12, 0, -42
제수의 계수의 부호를 바꾼다: -1, -1, +3
첫 번째 계수를 제외한 모든 계수를 오른쪽 위 대각선으로 쓴다.
막대 뒤의 첫 번째 계수를 아래로 내린다.
내려진 숫자에 막대 앞의 대각선을 곱하고 그 결과를 내려진 항목에서 오른쪽으로 대각선으로 놓는다.
다음 열에서 덧셈을 수행한다.
위의 과정을 반복한다.
나머지 열을 모두 더한다.
막대 왼쪽에 있는 항의 수를 세어 나머지의 차수를 결정하고, 나머지와 결과를 분리한다.
항은 나머지와 결과 모두 0차부터 시작하여 오른쪽에서 왼쪽으로 차수가 증가하는 순서로 작성된다.

계산 결과는 다음과 같다.

:

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3} = x - 13 + \frac{16x - 81}{x^2 + x - 3}

제수의 차수가 피제수의 차수의 절반을 초과할 때는 압축된 확장 조립제법을 사용할 수 있다.

4. 조립제법의 활용

4. 1. 다항식의 인수분해

4. 2. 다항식의 값 계산 (나머지 정리)

나머지 정리에 따르면, 다항식 f(x)를 x-a로 나눈 나머지는 f(a)와 같다. 조립제법을 이용하면 f(a)의 값을 쉽게 계산할 수 있다. 이 방법으로 값을 계산하면 단순하게 계산하는 것보다 곱셈 단계를 절반 이상으로 줄일 수 있다. 또 다른 평가 전략으로는 호너의 방법이 있다.

5. 조립제법과 관련된 추가 정보

6. Python 구현 예제

python

다음 코드는 임의의 일변수 다항식에 대한 파이썬에서 확장된 조립제법을 구현한 것이다.

def expanded_synthetic_division(dividend, divisor):

"""확장된 조립제법을 사용하여 빠른 다항식 나눗셈.

비 단항 다항식에도 작동합니다.

피제수와 제수는 모두 다항식이며, 여기서는 단순히 계수의 목록입니다.

예: x**2 + 3*x + 5는 [1, 3, 5]로 표시됩니다.

"""

out = list(dividend) # 피제수를 복사합니다.

normalizer = divisor[0]

for i in range(len(dividend) - len(divisor) + 1):

# 일반적인 다항식 나눗셈의 경우 (다항식이 비 단항인 경우),

# 제수의 첫 번째 계수로 계수를 정규화해야 합니다.

out[i] /= normalizer

coef = out[i]

if coef != 0: # coef가 0이면 곱하는 것은 쓸모가 없습니다.

# 조립제법에서 제수의 첫 번째 계수는 항상 건너뜁니다.

# 왜냐하면 피제수 계수를 정규화하는 데만 사용되기 때문입니다.

for j in range(1, len(divisor)):

out[i + j] += -divisor[j] * coef

# 결과 out은 몫과 나머지를 모두 포함하며,

# 나머지는 제수의 크기입니다 (나머지는

# 피제수에서 나눌 수 없는 것이기 때문에 반드시 제수와 차수가 같습니다).

# 따라서 이 분리 지점을 계산하고 몫과 나머지를 반환합니다.

separator = 1 - len(divisor)

return out[:separator], out[separator:] # 몫, 나머지 반환.

참조

_[1] 문서 여기서 예시한 계산은 모두 영문 위키피디아에 있는 내용을 그대로 가져온 것임
_[2] 웹사이트 손으로 계산하는 조립제법표 http://www.scripts.p[...]

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