상수

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1. 개요
2. 상수와 변수
3. 상수 함수
- 3.1. 상수 함수의 정의
- 3.2. 상수 함수의 그래프
4. 문맥에 따른 상수
- 4.1. 미적분학에서의 상수
  - 4.1.1. 적분 상수
5. 주요 수학 상수
참조

1. 개요

상수는 수학에서 값이 고정되어 변하지 않는 수를 의미한다. 미지 또는 기지의 상수를 나타내기 위해 a, b, c 등의 라틴 문자와 그리스 문자가 사용되며, C = const.와 같이 표기하기도 한다. 상수는 함수에 대입되어 사용되거나, 상수 함수를 정의하는 데 사용될 수 있으며, 문맥에 따라 다른 의미로 사용될 수 있다. 미적분학에서는 상수 함수의 도함수는 0이며, 적분 시에는 적분 상수가 추가된다. 주요 수학 상수로는 0, 1, 원주율(π), e, 허수 단위(i), 2의 제곱근, 황금비(φ) 등이 있다.

2. 상수와 변수

수학에서 상수는 고정되어 변하지 않는 값(value (mathematics)|값^영어)이다. 상수는 값이 구체적으로 특정될 필요는 없지만, 특정 값을 갖는다는 점이 변수와 다르다. 변수는 특정 범위 안에서 임의로 움직일 수 있지만, 상수는 정해진 값을 가진다.

상수를 나타내는 기호로는 라틴 문자의 , , 등이 자주 사용된다. 특히 는 영어 constant^영어의 첫 글자를 따서 다른 문자보다 먼저 사용되기도 한다. 문맥에 따라 명확한 대상에는 해당 대상에 상응하는 문자가 주어지는 경우도 많다. 라틴 문자의 대문자와 소문자 사용에 엄격한 지침은 없지만, 여러 상수를 다룰 때는 한쪽으로 통일하는 경우가 많다. 그리스 문자의 , , 등을 사용하기도 하는데, 이는 데카르트의 표기법을 따른 것이다. 독일어 Konstante^de에서 유래한 를 사용하기도 한다.

어떤 수가 상수임을 나타낼 때는 다음과 같이 표기한다.

:

이때 는 상수임을 의미하며, const.^영어는 constant^영어를 줄인 것이다. 저자에 따라 줄임말을 쓰지 않거나 머리글자를 대문자로 쓰기도 한다. 영어 외 문헌에서는 해당 언어의 어휘를 사용한다. (예: 한국어 문헌에서는 "정수") 이 표기법은 단일 기호뿐 아니라,

:

처럼 연산 결과가 상수인 경우에도 사용된다.

상수는 함수의 인수인 변수에 대입될 수 있다. 예를 들어 를 인수로 갖는 함수 에서 에 상수 를 대입한 것은 로 표기한다. 더 엄격하게는 함수 옆에 선을 긋고 대입하는 상수와 인수를 표시하기도 한다.

: $\left.f(x)\right|_{x = a}$

인수 변화와 상관없이 항상 같은 값을 갖는 상수 함수도 상수라고 할 수 있다. 일변수 상수 함수(예: )는 -축에 평행한 수평선을 그래프로 갖는다.

미적분학에서 상수는 연산에 따라 다르게 처리된다. 상수 함수의 도함수(변화율)는 0이다. 상수는 변하지 않기 때문이다.^[1] 상수 함수를 적분하면 상수에 적분 변수를 곱한다.^[1] 극한에서 상수는 평가 전후에 동일하게 유지된다.^[1] 한 변수 함수를 적분할 때는 적분 상수가 포함된다. 적분은 역 도함수이므로, 원래 함수를 복구하려면 적분 상수가 필요하다. 상수 함수의 도함수는 0이므로, 상수항만 다른 함수들은 같은 도함수를 갖는다. 따라서 부정적분에 적분 상수를 추가하여 가능한 모든 해를 포함한다. 적분 상수는 보통 'c'로 표기하며, 고정되었지만 정의되지 않은 값을 갖는 상수이다.^[1]

2. 1. 상수

상수는 변하지 않고, 항상 일정한 값을 갖는 수를 말한다. 예를 들어 어떤 함수 f(x)=x+1이 있을 때 x의 값은 특정한 숫자로 정해진 것이 아니라, 정의역의 어떤 숫자도 대입할 수 있는 변수이므로 x는 상수가 아니다. 그러나 이 함수에서 숫자 1은 x의 값이 어떠하든 간에 변하지 않고 항상 1인데, 이러한 수를 상수라 하고 이 경우 숫자 1을 상수항이라 한다.

일반적으로 이차함수를 f(x)=ax²+bx+c의 꼴로 나타내는데, 이때 x도 변수이기 때문에 상수가 아니다. 그러나 계수인 a, b, c는 변하지 않는 상수이다. 또한 c는 x가 없이 상수만 있는 항이므로 상수항이다.

다음과 같은 경우 상수이다.

1, 2, 3, -10, $\sqrt{2}$ 등과 같이 값이 그대로 표기된 숫자인 경우.
' $c$ 는 상수'와 같이 식에 포함된 문자가 상수임이 언급된 경우.
$\pi$ , $e$ 등과 같이 문자로 표기되어 있지만 변하지 않는 값이 정해져 있는 경우.
허수 $i$ 또한 변하지 않는 값을 가지므로 상수이다. 그렇기 때문에 복소수라 하더라도 변하지 않는 고정된 값이라면 상수가 될 수 있다.

"상수" 개념의 맥락 의존적 성격은 초등 미적분학의 다음 예에서 볼 수 있다.

:

\begin{align}\frac{d}{dx} 2^x  & = \lim_{h\to 0} \frac{2^{x+h} - 2^x} h = \lim_{h\to 0} 2^x\frac{2^h - 1} h \\[8pt]& = 2^x \lim_{h\to 0} \frac{2^h - 1} h & & \text{since } x \text{ is constant (i.e. does not depend on } h\text{)} \\[8pt]& = 2^x \cdot\mathbf{constant,} & & \text{where }\mathbf{constant}\text{ means not depending on } x.\end{align}

"상수"는 어떤 변수에 의존하지 않음을 의미하며, 해당 변수가 변경되어도 변하지 않음을 의미한다. 위의 첫 번째 경우에서는 ''h''에 의존하지 않음을 의미하고, 두 번째 경우에는 ''x''에 의존하지 않음을 의미한다. 더 좁은 맥락에서의 상수는 더 넓은 맥락에서는 변수로 간주될 수 있다.

일부 값은 수학에서 자주 발생하며 일반적으로 특정 기호로 표시된다. 이러한 표준 기호와 해당 값은 수학 상수라고 한다. 예시는 다음과 같다.

0 (영).
1 (일), 0 다음의 자연수.
원주율( $\pi$ ), 원의 둘레와 지름의 비율을 나타내는 상수이며, 대략 3.141592653589793238462643과 같다.
$e$ , 대략 2.718281828459045235360287과 같다.
$i$ , $i^2 = -1$ 인 허수 단위.
$\sqrt{2}$ (2의 제곱근), 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이로, 대략 1.414213562373095048801688과 같다.
황금비( $\varphi$ ), 대략 1.618033988749894848204586과 같으며, 대수적으로는 $1+ \sqrt{5} \over 2$ 이다.

2. 2. 변수

변수는 어떤 값이든 될 수 있는, 정해지지 않은 수를 뜻한다. 함수 f(x) = x + 1 에서 x는 특정한 숫자로 정해지지 않고, 어떤 숫자든 대입할 수 있다. 즉, 변수는 변할 수 있는 수이다. 반면, 이 함수에서 숫자 1은 항상 같은 값을 가지므로 상수이다.

이차함수 f(x) = ax² + bx + c 에서 x는 변수이지만, 계수 a, b, c는 변하지 않는 상수이다.^[1]

'상수'라는 개념은 문맥에 따라 달라질 수 있다. 어떤 변수에 의존하지 않고, 해당 변수가 변해도 값이 바뀌지 않는 것을 의미한다. 예를 들어, 초등 미적분학에서

:

\begin{align}\frac{d}{dx} 2^x  & = \lim_{h\to 0} \frac{2^{x+h} - 2^x} h = \lim_{h\to 0} 2^x\frac{2^h - 1} h \\[8pt]& = 2^x \lim_{h\to 0} \frac{2^h - 1} h & & \text{since } x \text{ is constant (i.e. does not depend on } h\text{)} \\[8pt]& = 2^x \cdot\mathbf{constant,} & & \text{where }\mathbf{constant}\text{ means not depending on } x.\end{align}

에서 첫 번째 경우 x는 h에 의존하지 않으므로 상수이고, 두 번째 경우 x에 의존하지 않는 값을 상수라고 한다.^[4] 이처럼 더 좁은 범위에서는 상수였던 것이 더 넓은 범위에서는 변수로 간주될 수 있다.^[4]

2. 3. 상수와 변수의 관계

함수 f(x) = x + 1에서 x는 정의역의 어떤 숫자도 대입할 수 있는 변수이지만, 숫자 1은 x 값에 관계없이 항상 1로 고정되어 있다. 이처럼 변하지 않는 값을 상수라고 하며, 이 경우 숫자 1은 상수항이다.^[1]

이차함수 f(x) = ax² + bx + c에서 x는 변수이지만, 계수 a, b, c는 상수이다. 특히 c는 x가 없는 상수항이다.^[1]

미적분학에서 상수는 연산에 따라 다르게 처리된다. 상수 함수의 도함수는 0이지만,^[1] 상수 함수를 적분하면 상수에 적분 변수를 곱한 값이 된다.^[1] 극한을 계산할 때 상수는 변하지 않는다.^[1] 한 변수의 함수를 적분할 때는 적분 상수 c가 추가되는데, 이는 상수 함수의 도함수가 0이기 때문에 원래 함수를 복구하기 위해 필요하다.^[1]

수학에서 상수는 값이 고정되어 변하지 않는 수이다. "미지의 상수"나 "임의 상수"라는 개념이 있지만, 이는 변수와는 다르다. 변수는 어떤 범위를 임의로 움직이지만, 상수는 값이 정해져 있다.^[2] 상수 기호로는 a, b, c 등이 자주 사용되며, C = const. 와 같이 표기하기도 한다.^[2]

상수는 함수에 대입될 수 있다. 예를 들어 f(x)에 상수 a를 대입하면 f(a)로 표기한다.^[2] 인수의 변화를 무시하고 항상 같은 값을 가지는 상수 함수도 상수라고 할 수 있다.^[2]

3. 상수 함수

상수 함수는 인수의 값에 관계없이 항상 같은 값을 갖는 함수이다. 예를 들어 $f(x) = 5$ 와 같은 함수는 x값에 관계없이 항상 5를 출력한다. 이러한 함수는 변수가 함수식에 나타나지 않기 때문에 항상 동일한 값을 갖는다.^[6]^[7]

기초 해석학에서 상수 함수는 다루는 연산에 따라 다르게 취급된다. 미분에서 상수 함수의 도함수는 0이다. 적분의 경우 상수 함수의 원시 함수에서 해당 상수 값은 적분 변수에 곱해지는 계수가 된다. 극한에서는 상수가 변하지 않고 동일한 값을 유지한다.

부정 적분에는 적분 상수가 포함되는데, 이는 부정 적분이 미분의 역연산이기 때문이다. 상수 함수의 미분은 0이며, 미분 연산은 선형 작용소이므로 상수만 다른 함수들은 동일한 도함수를 갖는다. 따라서 적분 상수를 통해 가능한 모든 해를 나타낸다.

3. 1. 상수 함수의 정의

상수는 인수를 무시하고 항상 동일한 값을 제공하는 상수 함수를 정의하는 데 사용될 수 있다.^[6]

f(x)=5

와 같은 단일 변수의 상수 함수는 ''x''축에 평행한 수평선으로 된 그래프를 갖는다.^[7] 이러한 함수는 변수가 함수를 정의하는 식에 나타나지 않기 때문에 항상 동일한 값(이 경우 5)을 갖는다.

만약 모든 x|x^영어에 대해

f(x) = 72

를 만족하는 상수 함수 f|f^영어가 있다면,

:

\begin{align}f'(x) &= 0 \\\int f(x) \,dx &= 72x + c\\\lim_{x\rarr0}f(x)&=72\end{align}

3. 2. 상수 함수의 그래프

상수는 인수를 무시하고 항상 동일한 값을 제공하는 상수 함수를 정의하는 데 사용될 수 있다.^[6]

f(x)=5

와 같은 단일 변수의 상수 함수는 ''x''축에 평행한 수평선 그래프를 갖는다.^[7] 이러한 함수는 변수가 함수를 정의하는 식에 나타나지 않기 때문에 항상 동일한 값(이 경우 5)을 갖는다.

4. 문맥에 따른 상수

"상수"는 어떤 변수에 의존하지 않으며, 해당 변수가 변경되어도 변하지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어, 미적분학에서 h에 의존하지 않는다는 것은 h가 변해도 해당 값이 변하지 않는다는 뜻이고, x에 의존하지 않는다는 것은 x가 변해도 값이 변하지 않는다는 뜻이다. 이처럼 더 좁은 맥락에서의 상수는 더 넓은 맥락에서는 변수로 간주될 수 있다.^[1]

미적분학에서 상수가 어떻게 처리되는지에 대한 자세한 내용은 미적분학에서의 상수 하위 섹션을 참고하라.

4. 1. 미적분학에서의 상수

미적분학에서 상수는 연산에 따라 여러 방식으로 처리된다. 예를 들어, 상수 함수의 도함수(변화율)는 0이다. 이는 상수가 정의상 변하지 않기 때문이다. 따라서 상수의 도함수는 0이다.^[1]

반대로, 상수 함수를 적분할 때, 상수는 적분 변수에 곱해진다.^[1]

극한을 평가하는 동안, 상수는 평가 전과 후에 동일하게 유지된다.^[1]

"상수"라는 개념은 문맥에 따라 달라지는 개념이다. 어떤 변수에 의존하지 않고, 해당 변수가 변해도 변하지 않는 것을 의미한다. 예를 들어, 아래 식과 같다.

:

\begin{align}\frac{d}{dx} 2^x  & = \lim_{h\to 0} \frac{2^{x+h} - 2^x} h = \lim_{h\to 0} 2^x\frac{2^h - 1} h \\[8pt]& = 2^x \lim_{h\to 0} \frac{2^h - 1} h & & \text{since } x \text{ is constant (i.e. does not depend on } h\text{)} \\[8pt]& = 2^x \cdot\mathbf{constant,} & & \text{where }\mathbf{constant}\text{ means not depending on } x.\end{align}

위 식에서 중간 줄은 h가 변해도 x는 변하지 않는다는 의미에서 x를 상수라고 하고, 마지막 줄에서는 x에 의존하지 않는다는 의미에서 상수로 표현한다.^[1]

4. 1. 1. 적분 상수

미적분학에서 적분에는 적분 상수가 포함된다. 이는 적분이 역(반대) 도함수라는 사실 때문에 발생하며, 적분의 목표는 미분하기 전의 원래 함수를 복구하는 것이다. 상수 함수의 도함수는 0이고, 미분 연산자는 선형 연산자이므로 상수항만 다른 함수는 동일한 도함수를 갖는다. 이를 인식하기 위해, 부정적분에 적분 상수를 추가한다. 이렇게 하면 가능한 모든 해가 포함된다. 적분 상수는 일반적으로 'c'로 표기하며, 고정되어 있지만 정의되지 않은 값을 가진 상수를 나타낸다.^[1]

5. 주요 수학 상수

수학에서 특정 값은 빈번하게 나타나며, 관습적으로 특별한 기호로 나타낸다. 그러한 값과 그 표준적인 기호는 수학 상수라고 불린다. 주요 수학 상수는 다음과 같다.

2의 제곱근은 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이로, 대략 1.414213562373095048801688과 같다.^[11]

5. 1. 원주율 (π)

원주율(π)은 원의 둘레와 지름의 비율을 나타내는 상수이며, 대략 3.141592653589793238462643과 같다.^[8]^[14]

5. 2. 자연로그의 밑 (e)

자연로그의 밑(오일러 수)은 대략 2.718281828459045235360287과 같은 값을 가지는 수학 상수이다.^[9]

5. 3. 허수 단위 (i)

i^영어는 제곱하여 -1이 되는 허수 단위이다.^[10] 즉, i² = -1을 만족하는 수이다. 허수 단위는 복소수를 구성하는 중요한 요소이며, 한국의 수학 교육 과정에서는 고등학교에서 다룬다.

5. 4. 황금비 (φ)

황금비(φ^영어)는 대략 와 같으며, 대수적으로는

\frac{1 + \sqrt{5}}{2}

이다.^[12]

참조

_[1] 서적 Individual constant http://encyclopediao[...] Springer 2024-09-05
_[2] 서적 Constant http://encyclopediao[...] Springer 2024-09-05
_[3] 웹사이트 Definition of CONSTANT https://www.merriam-[...] 2021-11-09
_[4] 웹사이트 Constant https://mathworld.wo[...] 2020-08-08
_[5] 서적 Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition https://archive.org/[...] Prentice Hall
_[6] 서적 Encyclopedia of mathematics https://www.worldcat[...] Facts on File 2005
_[7] 웹사이트 Algebra https://tutorial.mat[...] 2021-11-09
_[8] 서적 Pi – Unleashed https://archive.org/[...] Springer
_[9] 웹사이트 e https://mathworld.wo[...] 2021-11-09
_[10] 웹사이트 i https://mathworld.wo[...] 2021-11-09
_[11] 웹사이트 Pythagoras's Constant https://mathworld.wo[...] 2021-11-09
_[12] 웹사이트 Golden Ratio https://mathworld.wo[...] 2021-11-09
_[13] 서적 Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition Prentice Hall
_[14] 서적 Pi – Unleashed Springer

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