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약수

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목차

1. 개요

약수는 정수 a, b에 대해 b = ac를 만족하는 정수 c가 존재할 때, a를 b의 약수라고 정의한다. 모든 정수는 1, -1, 자기 자신과 그 반수를 약수로 가지며, 0은 모든 정수를 약수로 갖는다. 약수의 개수는 유한하며, 어떤 수의 배수는 무수히 많다. 약수 관계는 정수 집합 위의 원순서이며, 최대공약수와 서로소, 소수, 합성수, 완전수, 부족수, 과잉수 등의 개념과 연관된다. 약수의 개수를 대응시키는 약수 함수는 곱셈적 함수이며, 약수의 총합을 대응시키는 약수 함수 역시 곱셈적 함수이다. 약수의 개념은 추상대수학에서 정역, 유일 인수 분해 정역, 가환환 등으로 일반화되며, 약수 관계는 격자를 형성한다. 양의 약수의 총합이 소수가 되는 자연수, 2개 이상의 양의 약수의 총합이 되는 홀수가 무수히 존재하는지에 대한 문제는 미해결 문제로 남아 있다.

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약수
수학적 정의
정의정수 의 약수는 을 나누어 떨어지게 하는 정수이다.
표기법N}}은 가 의 약수임을 나타낸다. 여기서 이다.
표현의 약수는 을 두 정수 와 의 곱으로 표현할 수 있게 한다. 즉, ab}}이다. 여기서 이다.
특수한 경우0은 모든 정수의 배수이지만, 0은 0이 아닌 어떤 정수로도 나누어지지 않으므로 0을 제외한 어떤 정수도 0의 약수가 될 수 없다.
성질
약수의 개수정수 의 약수의 개수는 유한하다.
1과 자기 자신1과 은 항상 의 약수이다.
음수 약수의 약수가 라면 -도 의 약수이다. 일반적으로 약수를 언급할 때는 양의 약수만을 의미한다.
0의 약수0을 제외한 모든 정수는 0의 약수가 된다.
용어
영어 명칭divisor, factor
기타 명칭승자(乘子)

2. 정의

두 정수 a, b에 대하여 b=ac를 만족하는 정수 c가 존재하면, a를 b의 '''약수'''라고 하며, a\mid b와 같이 표기한다. 0은 모든 정수의 약수이며, 모든 정수는 1과 자기 자신을 약수로 가진다.

모든 정수는 1, -1을 약수로 가진다. 또한, 모든 정수는 자기 자신과 그 반수를 약수로 가진다. 0은 모든 정수를 약수로 가지며, 0이 아닌 정수는 0을 약수로 가지지 않는다. 즉, 정수 n에 대하여 다음 성질들이 성립한다.


  • \pm1\mid n
  • \pm n\mid n
  • n\mid0
  • 0\mid n\iff n=0


정수 n의 약수 가운데 1, -1, n, -n을 n의 '''자명 약수'''(trivial divisor영어)라고 하고 자명 약수를 제외한 약수를 '''고유 약수'''(non-trivial divisor영어)라고 한다. 자기 자신을 제외한 양의 약수를 '''진약수'''(proper divisor영어)라고 한다.

정수 n은 0이 아닌 정수 m으로 나누어 떨어지는데, 이는 n=km을 만족하는 정수 k가 존재할 때이다. 이것은 다음과 같이 표기한다.

:m\mid n.

이것은 m이 n을 나눈다, m은 n의 약수이다, m은 n의 인수이다, 또는 n은 m의 배수이다라고 읽을 수 있다. 만약 m이 n을 나누지 않으면, 표기는 m\not\mid n.이다.

3. 성질

(, 는 서로 다른 소수)516, 81, 625, 2401 ...소수의 네제곱612, 18, 20, 28, 32, 44, 45 ...소수의 다섯제곱
(, 는 서로 다른 소수)764, 729, 15625, 117649 ...소수의 여섯제곱824, 30, 40, 42, 54, 56 ...소수의 일곱제곱
쐐기수
(, 는 서로 다른 소수)936, 100, 196, 225, 256 ...소수의 여덟제곱
(, 는 서로 다른 소수)1048, 80, 112, 162, 176 ...소수의 아홉제곱
(, 는 서로 다른 소수)111024, 59049, 9765625 ...소수의 열제곱1260, 72, 84, 90, 96, 108 ...소수의 열한제곱

(, , 는 서로 다른 소수)134096, 531441, 244140625 ...소수의 열두제곱14192, 320, 448, 704 ...소수의 열세제곱
(, 는 서로 다른 소수)15144, 324, 400, 784 ...소수의 열네제곱
(, 는 서로 다른 소수)16120, 168, 210, 216 ...1765536, 43046721, 152587890625 ...소수의 열여섯제곱18180, 252, 288, 300 ...19262144, 387420489 ...소수의 열여덟제곱20240, 336, 432, 528 ...21576, 1600, 2916 ...소수의 스무제곱
(, 는 서로 다른 소수)223072, 5120, 7168 ...소수의 스물한제곱
(, 는 서로 다른 소수)234194304, 31381059609 ...소수의 스물두제곱24360, 420, 480, 504 ...251296, 10000, 38416 ...소수의 스물네제곱
(, 는 서로 다른 소수)2612288, 20480, 28672 ...소수의 스물다섯제곱
(, 는 서로 다른 소수)27900, 1764, 2304 ...28960, 1344, 1728 ...29268435456, 22876792454961 ...소수의 스물여덟제곱30720, 1008, 1200 ...311073741824, 205891132094649 ...소수의 서른제곱32840, 1080, 1320 ...339216, 25600, 50176 ...소수의 서른두제곱
(, 는 서로 다른 소수)34196608, 327680, 458752 ...소수의 서른세제곱
(, 는 서로 다른 소수)355184, 11664, 40000 ...소수의 서른네제곱
(, 는 서로 다른 소수)361260, 1440, 1800 ...3768719476736 ...소수의 서른여섯제곱38786432, 1310720 ...소수의 서른일곱제곱
(, 는 서로 다른 소수)3936864, 102400, 200704 ...소수의 서른여덟제곱
(, 는 서로 다른 소수)401680, 2160, 2640 ...411099511627776 ...소수의 마흔제곱422880, 4032, 4800 ...434398046511104 ...소수의 마흔두제곱4415360, 21504, 27648 ...453600, 7056, 8100 ...4612582912, 20971520 ...소수의 마흔다섯제곱
(, 는 서로 다른 소수)4770368744177664 ...소수의 마흔여섯제곱482520, 3360, 3780 ...4946656, 1000000 ...소수의 마흔여덟제곱
(, 는 서로 다른 소수)506480, 9072, 14256 ...


3. 1. 자명 약수와 진약수

모든 정수는 1, -1, 자기 자신, 자기 자신의 반수를 '''자명 약수'''(trivial divisor영어)로 갖는다. 자명 약수를 제외한 약수를 '''고유 약수'''(non-trivial divisor영어)라고 한다. 자기 자신을 제외한 양의 약수를 '''진약수'''(proper divisor영어)라고 한다.

예를 들어 4의 약수는 1, 2, 4, -1, -2, -4 이지만, 일반적으로는 양의 약수(1, 2, 4)만 언급된다.

비자명 약수가 하나 이상 있는 0이 아닌 정수를 합성수라고 하고, 단위 -1과 1 및 소수는 비자명 약수를 갖지 않는다.

3. 2. 짝수와 홀수

2를 약수로 갖는 정수를 짝수, 그렇지 않은 정수를 홀수라고 한다. 홀수는 홀수만을 약수로 가지며, 짝수는 항상 홀수와 짝수를 같이 약수로 가진다(다만, 2의 거듭제곱은 짝수를 약수로 가진다).

3. 3. 최대공약수와 서로소

두 정수 모두의 약수 가운데 가장 큰 하나를 최대 공약수라고 한다. 두 정수 a,b의 최대 공약수를 \gcd\{a,b\}라고 표기한다. 최대 공약수가 1인 두 정수를 서로소라고 한다. 즉 두 정수 a,b가 \gcd\{a,b\}=1을 만족시키면 서로소이다.

  • a\mid bc이며, \gcd\{a,b\}=1이면, a\mid c이다.
  • (유클리드의 보조정리) p\in\mathbb P이며 p\mid ab이면, p\mid a이거나 p\mid b이다.

3. 4. 소수와 합성수

진약수가 1뿐인 정수를 소수라고 한다. 1과 자기 자신이 아닌 약수를 가지는 자연수를 합성수라고 한다.

3. 5. 완전수, 부족수, 과잉수

진약수의 합이 자기 자신과 같은 정수를 완전수라고 한다. 진약수의 합이 자기 자신보다 작은 정수를 부족수, 큰 정수를 과잉수라고 한다.

4. 약수 함수

, 는 서로 다른 소수516, 81, 625, 2401, 14641, 28561, 83521, …소수의 네제곱612, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, …소수의 다섯제곱
, 는 서로 다른 소수764, 729, 15625, 117649, 1771561, …소수의 여섯제곱824, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88, …소수의 일곱제곱
쐐기수
, 는 서로 다른 소수936, 100, 196, 225, 256, 441, 484, 676, …소수의 여덟제곱
, 는 서로 다른 소수1048, 80, 112, 162, 176, 208, 272, 304, 368, …소수의 아홉제곱
, 는 서로 다른 소수111024, 59049, 9765625, 282475249, …소수의 열제곱1260, 72, 84, 90, 96, 108, 126, 132, 140, 150, …소수의 열한제곱
, , 는 서로 다른 소수134096, 531441, 244140625, …소수의 열두제곱14192, 320, 448, 704, 832, 1088, 1216, 1458, …소수의 열세제곱
, 는 서로 다른 소수15144, 324, 400, 784, 1936, 2025, 2500, 2704, …소수의 열네제곱
, 는 서로 다른 소수16120, 168, 210, 216, 264, 270, 280, 312, 330, …1765536, 43046721, 152587890625, …소수의 열여섯제곱18180, 252, 288, 300, 396, 450, 468, 588, 612, …19262144, 387420489, 3814697265625, …소수의 열여덟제곱20240, 336, 432, 528, 560, 624, 648, 810, 816, …21576, 1600, 2916, 3136, 7744, 10816, …소수의 스무제곱
, 는 서로 다른 소수223072, 5120, 7168, 11264, 13312, 17408, …소수의 스물한제곱
, 는 서로 다른 소수234194304, 31381059609, 2384185791015625, …소수의 스물두제곱24360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660, 672, …251296, 10000, 38416, 50625, 194481, …소수의 스물네제곱
, 는 서로 다른 소수2612288, 20480, 28672, 45056, 53248, 69632, …소수의 스물다섯제곱
, 는 서로 다른 소수27900, 1764, 2304, 4356, 4900, 6084, 6400, …28960, 1344, 1728, 2112, 2240, 2496, 3264, …29268435456, 22876792454961, …소수의 스물여덟제곱30720, 1008, 1200, 1584, 1620, 1872, 2268, …311073741824, 205891132094649, …소수의 서른제곱32840, 1080, 1320, 1512, 1560, 1848, 1890, …339216, 25600, 50176, 123904, …소수의 서른두제곱
, 는 서로 다른 소수34196608, 327680, 458752, 720896, …소수의 서른세제곱
, 는 서로 다른 소수355184, 11664, 40000, 153664, 250000, …소수의 서른네제곱
, 는 서로 다른 소수361260, 1440, 1800, 1980, 2016, 2100, …3768719476736, 150094635296999121, …소수의 서른여섯제곱38786432, 1310720, 1835008, …소수의 서른일곱제곱
, 는 서로 다른 소수3936864, 102400, 200704, 495616, …소수의 서른여덟제곱
, 는 서로 다른 소수401680, 2160, 2640, 3024, 3120, 3240, …411099511627776, 12157665459056928801, …소수의 마흔제곱422880, 4032, 4800, 6336, 7488, 9408, …434398046511104, 109418989131512359209, …소수의 마흔두제곱4415360, 21504, 27648, 33792, 35840, …453600, 7056, 8100, 15876, 17424, 19600, …4612582912, 20971520, 29360128, …소수의 마흔다섯제곱
, 는 서로 다른 소수4770368744177664, 8862938119652501095929, …소수의 마흔여섯제곱482520, 3360, 3780, 3960, 4200, 4320, …4946656, 1000000, 7529536, 11390625, …소수의 마흔여덟제곱
, 는 서로 다른 소수506480, 9072, 14256, 16848, 22032, …



자연수 \(N\)의 양의 약수의 합을 \(\sigma(N)\)로 나타낸다. 소인수 분해를 통해 양의 약수의 합을 식으로 나타낼 수 있다.

\(N\)의 소인수 분해를 \(N = 2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\cdots\)로 나타내면,

\(\begin{align}

\sigma (N) &=(1+2^1 +\cdots +2^{a_1} )(1+3^1 +\cdots +3^{a_2} )(1+5^1 +\cdots +5^{a_3} )\cdots \\

&=\frac{2^{a_1 +1} -1}{2-1} \cdot \frac{3^{a_2 +1} -1}{3 -1} \cdot \frac{5^{a_3 +1} -1}{5-1} \cdot \cdots

\end{align}\)

5. 예


  • 12의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 약수는 음수일 수도 있으며, 12의 모든 음의 약수는 -1, -2, -3, -4, -6, -12이다. 양의 약수와 음의 약수는 항상 서로 짝을 이룬다.[1]
  • 7 ∣ 42이다. 42 = 7 × 6이기 때문이다. 이를 다음과 같이 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다.[1]
  • * 7은 42의 약수/인수이다.
  • * 42는 7의 배수이다.
  • * 7은 42를 나눈다/완제한다.
  • * 42는 7로 나누어떨어진다.
  • 6의 모든 약수는 ±1, ±2, ±3, ±6이다. 그리고 고유 약수는 ±2, ±3이고 진약수는 1, 2, 3이다.[1]
  • 42의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42이다.[1]
  • 0의 모든 약수는 모든 정수이다. 항상 n\times0=0이기 때문이다.[1]
  • 60의 모든 양의 약수의 집합 \{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}은 약수 관계에 따라 부분 순서 집합을 이루며, 하세 도형은 다음과 같다.[1]


  • 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다.[1]

6. 관련 개념

임의의 환에서 원소의 약수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 정수 계수 다항식환 \mathbb Z[x]에서,

:x^2-1=(x+1)(x-1)

이므로,

:x+1\mid x^2-1

이다.

7. 추상대수학에서의 약수

추상대수학에서 약수는 환론과 격자 이론을 통해 더 추상적인 개념으로 확장될 수 있다.

정역에서는 나눗셈의 원리가 정의되므로 약수의 개념을 일반화할 수 있다. 예를 들어 정수 계수 다항식환에서 x+1은 x2-1의 약수이다.

약수 관계는 음이 아닌 정수 집합에 완전 분배 격자를 형성한다. 이 격자의 최대 원소는 0이고 최소 원소는 1이다. 만남 연산은 최대공약수로, 결합 연산은 최소공배수로 주어진다. 이 격자는 무한 순환군의 부분군 격자의 쌍대와 동형이다.

7. 1. 환론

정역에서 나눗셈의 원리가 정의되므로 약수의 개념을 일반화할 수 있다. 예를 들어, 정수 계수 다항식환 \mathbb Z[x]에서,

:x^2-1=(x+1)(x-1)

이므로,

:x+1\mid x^2-1

이다.

7. 2. 약수 격자

약수 관계는 음이 아닌 정수 집합에 완전 분배 격자를 형성한다. 이 격자의 최대 원소는 0이고 최소 원소는 1이다. 만남 연산 '''∧'''은 최대공약수로 주어지고, 결합 연산 '''∨'''은 최소공배수로 주어진다. 이 격자는 무한 순환군 Z의 부분군 격자의 쌍대와 동형이다.


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