중력 변칙

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1. 개요
2. 중력 변칙의 종류
- 2.1. 순수 중력 변칙
- 2.2. 혼합 변칙
3. 중력 변칙의 표현
참조

1. 개요

중력 변칙은 중력 이론에서 나타나는 변칙 현상으로, 게이지 입자와 관련 없는 순수 중력 변칙과 중력자와 게이지 입자를 포함하는 혼합 변칙으로 분류된다. 순수 중력 변칙은 짝수 차원에서만 존재하며, 혼합 변칙을 피하기 위해서는 특정 조건을 만족해야 한다. 중력 변칙은 로렌츠, 아인슈타인, 바일 변환과 관련된 이상 현상으로 나타나며, 에너지-운동량 텐서의 비보존, 트레이스의 비영(non-zero) 등을 특징으로 한다.

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중력 변칙
일반 상대성 이론의 변칙
분야	이론 물리학, 양자장론
대칭	일반 공변성
관련 항목	중력 일반 상대성 이론 양자장론 변칙 (물리학) 게이지 변칙 축 방향 변칙
설명
정의	일반 상대성 이론에서 고전적 이론은 일반 공변성을 갖지만, 양자장론에서는 일반 공변성이 유지되지 못하는 현상 고전적 대칭이 양자 수준에서 깨지는 경우 발생
원인	경로 적분에서 측정 불변성의 결여 조절 과정에서 불변성의 명시적 위반
결과	이론의 불일치 초래 가능성 중력 이론의 일관성 문제 야기
중요성	양자 중력 이론의 개발에 중요한 장애물로 작용 끈 이론과 같은 양자 중력 이론에서 변칙 상쇄 메커니즘 연구의 필요성 제기

2. 중력 변칙의 종류

중력 변칙은 크게 순수 중력 변칙과 혼합 변칙으로 나눌 수 있다. 순수 중력 변칙은 게이지 입자와 관련이 없는 현상에서 발생하는 변칙으로, 주로 중력자가 포함된 페르미온 고리 형태의 파인만 도형으로 나타나며 짝수 차원에서만 존재한다. 1984년 루이스 알바레스-고메와 에드워드 위튼이 발견하였다.^[1] 혼합 변칙은 파인먼 도형에서 중력자와 게이지 입자가 함께 포함된 경우 발생할 수 있다.

2. 1. 순수 중력 변칙

순수 중력 변칙은 게이지 입자와 관련 없는 현상의 변칙이다. 이는 대개 중력자가 붙어 있는 페르미온 고리 꼴의 파인만 도형으로 나타난다. 이는 짝수 차원에만 존재한다.

1984년에 루이스 알바레스-고메(Luis Álvarez-Gaumé)와 에드워드 위튼이 발견하였다.^[1]

2. 2. 혼합 변칙

파인먼 도형에서 중력자와 게이지 입자를 포함하는 경우 '''혼합 변칙'''(mixed anomaly^영어)이 발생할 수 있다. 이러한 혼합 변칙을 피하려면 이론은 다음 조건을 만족해야 한다.

:

\operatorname{tr}t^a_R=0

여기서

t^a_R

은 이론의 페르미온 표현의 생성자이고,

\operatorname{tr}

은 모든 페르미온에 걸친 대각합이다.

SU(2)×U(1) 표준 모형에서는

\operatorname{tr} Y=0

이므로 중력 변칙이 발생하지 않는다.

3. 중력 변칙의 표현

고전 중력장은 비엘바인(vielbein) $e^a_{\;\mu}$ 으로, 양자화된 페르미장(Fermi field) $\psi$ 로 나타낼 수 있다. 이 양자장의 생성 범함수는 다음과 같이 표현된다.

$Z[e^a_{\;\mu}]=e^{-W[e^a_{\;\mu}]}=\int d\bar{\psi}d\psi\;\; e^{-\int d^4x e \mathcal{L}_{\psi}},$

여기서 $W$ 는 양자 작용이고, 라그랑지언 앞의 $e$ 인자는 비엘바인 행렬식이며, 양자 작용의 변화는 다음과 같다.

$\delta W[e^a_{\;\mu}]=\int d^4x \; e \langle T^\mu_{\;a}\rangle \delta e^a_{\;\mu}$

여기서 괄호 $\langle\;\;\; \rangle$ 는 경로 적분에 대한 평균값을 나타낸다. 로렌츠 변환, 아인슈타인 변환(일반 좌표 변환), 바일 변환에 대한 이상 현상은 각각 파라미터 $\alpha,\, \xi,\, \sigma$ 로 표시할 수 있다.

3. 1. 로렌츠 이상 현상

로렌츠 변환에 대한 변칙은 에너지-운동량 텐서가 반대칭 부분을 가질 때 발생한다. 파라미터

\alpha

로 표시되는 로렌츠 변환에 대한 이상 현상은 다음과 같다.^[1]

:

\delta_\alpha W=\int d^4x e \, \alpha_{ab}\langle T^{ab} \rangle,

이는 에너지-운동량 텐서가 반대칭 성분을 갖는다는 것을 의미한다.^[1]

3. 2. 아인슈타인 이상 현상

Einstein anomaly^영어^[1]

: 에너지-운동량 텐서가 보존되지 않는 것(

\nabla_\mu\langle T^{\mu\nu}\rangle \neq 0

)과 관련된 변칙이다. 아인슈타인 변환(일반 좌표 변환)에 대한 변칙을 파라미터

\xi

로 표시하면 다음과 같다.

:

\delta_\xi W=-\int d^4x e \, \xi^\nu \left(\nabla_\nu\langle T^\mu_{\;\nu}\rangle-\omega_{ab\nu}\langle T^{ab}\rangle\right),

3. 3. 바일 이상 현상

Weyl^영어 변환에 대한 변칙으로, 에너지-운동량 텐서의 대각합(trace)이 0이 아닐 때 발생한다. 바일 이상 현상은 다음과 같이 표현된다.

:

\delta_\sigma W=\int d^4x e \, \sigma\langle T^\mu_{\;\mu}\rangle,

이것은 에너지-운동량 텐서의 대각합(

T^\mu_{\;\mu}

)이 0이 아님을 의미한다.

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