중력장

2.2. 가우스 법칙과 중력 퍼텐셜

중력장은 회전을 취할 경우 0이 되므로 보존적이다. 따라서 공간상의 각 점마다 적당한 단위 질량 당 위치 에너지인 중력 퍼텐셜을 생각할 수 있다.

중력장에 발산을 취하면 다음과 같은 식을 얻는다.

:$\backslash nabla\backslash cdot\; \backslash mathbf\{g\}\; =\; -4\backslash pi\; G\backslash rho.$

여기서 $\backslash rho$는 각 점의 질량 밀도이다. 이 식은 '가우스의 중력 법칙(미분 형태)'이라 불린다. 이 식을 적분하고 발산 정리를 적용하면 다음 식을 얻는다.

:$\backslash oint\_\{\backslash partial\; V\}\backslash mathbf\{g\}\backslash cdot\; d\backslash mathbf\{A\}\; =\; -4\; \backslash pi\; GM.$

(M은 ∂V에 둘러싸인 영역에 포함되는 총 질량) 이 식은 '가우스의 중력 법칙(적분 형태)'이라고도 불린다.

이러한 성질들은 전자기학에서 다루는 전기장도 비슷한 형태로 공유하는 것으로, 역제곱 법칙에 따라 결정되는 장들의 보편적인 성질이다.

스칼라장
:$\backslash phi(\backslash boldsymbol\{x\})$
= -G \sum_i \frac{m_i}

2.3. 중력 가속도와 중력장

중력장의 크기는 가속도와 동일한 물리학적 차원을 갖는다. 실제로 여러 경우 뉴턴적 모델에서 어떤 물체의 중력 가속도와 그 물체가 영향을 받는 중력장은 같은 형태를 가진다. 하지만 개념적으로 이 둘은 구분되는 것으로, 중력 가속도의 경우 물체가 중력의 영향으로 가속 운동을 할 때 주어지는 것이나, 중력장의 경우 영향을 받는 물체가 없어도 공간 상의 점마다 주어져 있는 것이다.

고전역학에서 중력장은 물리량이다. 중력장은 만유인력의 법칙을 이용하여 정의할 수 있다. 이렇게 정의된 질량 M을 가진 단일 입자 주변의 중력장 g는 모든 지점에서 입자를 향하는 벡터로 구성된 벡터장이다. 모든 지점에서 장의 크기는 만유인력의 법칙을 적용하여 계산되며, 공간의 그 지점에 있는 임의의 물체에 작용하는 단위 질량당 힘을 나타낸다. 힘장은 보존적이므로, 힘장과 관련된 공간의 각 지점에 단위 질량당 스칼라 위치 에너지 Φ가 존재하는데, 이를 중력퍼텐셜이라고 한다. 중력장 방정식은 다음과 같다.

$$\backslash mathbf\{g\}=\backslash frac\{\backslash mathbf\{F\}\}\{m\}=\backslash frac\{d^2\backslash mathbf\{R\}\}\{dt^2\}=-GM\backslash frac\{\backslash mathbf\{R\}\}\{\backslash left|\backslash mathbf\{R\}\backslash right|^3\}\; =\; -\backslash nabla\backslash Phi\; ,$$

여기서 F는 중력, m은 시험 입자의 질량, R은 질량에 대한 시험 입자의 방향 벡터(또는 뉴턴의 운동 제2법칙에 따른 시간 의존 함수, 시험 시작 시 공간의 특정 지점을 각각 차지하는 시험 입자들의 위치 집합), t는 시간, G는 중력 상수, ∇는 델 연산자이다.

여기에는 만유인력의 법칙과 중력퍼텐셜과 장 가속도 사이의 관계가 포함된다. d²R/dt²와 F/m는 모두 중력 가속도 g와 같다(관성 가속도와 동등하므로 수학적 형태는 같지만, 단위 질량당 중력으로도 정의됨). 힘이 변위와 반평행으로 작용하기 때문에 음의 부호가 삽입된다. 인력 질량의 질량 밀도 ρ에 대한 등가 장 방정식은 다음과 같다.

$$\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{g\}=-\backslash nabla^2\backslash Phi=-4\backslash pi\; G\backslash rho$$

여기에는 가우스의 중력 법칙과 뉴턴 중력에 대한 푸아송 방정식이 포함된다. 뉴턴의 법칙은 가우스의 법칙을 의미하지만 그 반대는 아니다. 가우스 법칙과 뉴턴 법칙의 관계 참조.

이러한 고전 방정식은 중력장이 존재하는 경우 시험 입자에 대한 미분 운동 방정식이다. 즉, 이러한 방정식을 설정하고 풀면 시험 질량의 운동을 결정하고 설명할 수 있다.

여러 입자 주변의 장은 각각의 입자 주변의 장의 벡터 합이다. 이러한 장에 있는 시험 입자는 이러한 개별 장에서 경험할 힘의 벡터 합과 같은 힘을 경험할 것이다.

$$\backslash mathbf\{g\}$$
= \sum_{i}\mathbf{g}_i
= \frac{1}{m}\sum_{i}\mathbf{F}_i
= - G\sum_{i}m_i\frac{\mathbf{R}-\mathbf{R}_i}{\left|\mathbf{R}-\mathbf{R}_i\right|^3}
= - \sum_{i}\nabla\Phi_i ,

즉, 질량 m_j에 대한 중력장은 질량 m_j 자체를 제외한 다른 모든 질량 m_i에 의한 모든 중력장의 합이다. R_i는 중력을 작용하는 입자 i의 위치 벡터이고, R은 시험 입자의 위치 벡터이다.

위치 r에 있는 질량 m의 입자에 작용하는 중력 F_g는

$\backslash boldsymbol\{F\}\_g\; =\; m\; \backslash boldsymbol\{g\}(\backslash boldsymbol\{r\})$

와 같이 표현된다. 이 g가 중력장이다. 중력장은 벡터장이다. 비례 계수는 중력 질량이라고 불리는 질량이지만, 등가 원리에 의해 관성 질량과 같다.

뉴턴의 중력 이론에 따르면, 위치 x에 발생하는 중력장 g는 위치 r_i에 있는 질량 m_i에 의한 중력의 중첩이며, 질량에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다.

$\backslash boldsymbol\{g\}(\backslash boldsymbol\{x\})$
= -G \sum_i \frac{m_i (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i)
}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i|^3}

여기서, 비례 계수 G는 뉴턴의 중력 상수이다.

3. 일반 상대성이론에서의 중력장

일반 상대성이론에서 중력장은 아인슈타인 방정식의 해로 결정되며, 시공간의 곡률을 나타낸다. 이는 공간상의 물질과 에너지 분포에 따라 결정된다는 점에서, 물질 분포에만 의존하는 고전역학적 중력장 모델과 구별된다.

시공간의 왜곡은 계량 g_μν로 표현되며, 이는 세계 간격 ds²를 정의하는 2계 대칭 텐서장이다. 4차원 시공간에서 10개의 독립적인 성분을 가진다.

리만 곡률 텐서는 시공간의 곡률을 나타내는 2계 미분으로, 20개의 성분으로 구성된다. 리만 텐서가 0이 아니면 진정한 중력장이 존재하며, 이는 물리적으로 조석력의 존재와 관련된다. 예를 들어 민코프스키 시공간에서는 리만 텐서의 성분이 모두 0이지만, 리만 텐서가 0이 아닐 때는 시공간 왜곡이 존재한다.

3.1. 아인슈타인 방정식과 중력장

일반 상대성이론에서 중력장은 아인슈타인 방정식의 해로 결정된다. 이 방정식은 공간상의 물질과 에너지의 분포에 따라 중력장이 결정된다는 점이 주목할 만하다. 고전역학적 중력장 모델에서는 중력장이 물질의 분포에 따라서만 결정되는 것과는 대조적이다.

일반 상대성이론에서 중력장은 아인슈타인 장 방정식을 풀어서 결정되며, 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{G\}\; =\; \backslash kappa\; \backslash mathbf\{T\}$

여기서 $\backslash mathbf\{T\}$는 응력-에너지 텐서, $\backslash mathbf\{G\}$는 아인슈타인 텐서, $\backslash kappa$는 아인슈타인 중력 상수이다. $\backslash kappa$는 $1\; =\; \backslash kappa\; =\; 8\backslash pi\; G\; /\; c^4$로 정의되며, $G$는 뉴턴 중력 상수, $c$는 광속이다.

이 방정식들은 뉴턴 중력과 달리 공간 영역의 물질, 응력 및 운동량 분포에 의존한다. 뉴턴 중력은 오직 물질의 분포에만 의존한다. 일반 상대성이론에서 장 자체는 시공간의 곡률을 나타낸다. 일반 상대성이론은 곡선 공간 영역에 있는 것이 아인슈타인 등가 원리에 따라 장의 기울기를 따라 가속하는 것과 동등하다고 말한다. 뉴턴의 제2법칙에 의해, 만약 장에 대해 정지해 있다면 물체는 관성력을 경험하게 된다. 이것이 지구 표면에 정지해 있을 때 사람이 중력에 의해 아래로 당겨지는 것을 느끼는 이유이다. 일반적으로 일반 상대성이론이 예측하는 중력장은 고전역학이 예측하는 것과 그 효과가 약간만 다르지만, 쉽게 검증할 수 있는 여러 가지 차이점이 있으며, 가장 잘 알려진 것 중 하나는 그러한 장에서의 빛의 굴절이다.

일반 상대성이론에서는 중력을 시공간의 왜곡으로 간주한다. 시공간의 왜곡은 시공간의 계량 g_μν로 표현된다.

중력장의 역학 방정식은 아인슈타인 방정식

:$G\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; +\backslash Lambda\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash kappa\; T\_\{\backslash mu\backslash nu\}$

이다. 이것은 계량 g_μν에 관한 비선형 2계 쌍곡형 편미분 방정식이며, 적절한 좌표 조건 및 초기 조건 하에서 계량의 시간적 발전을 기술한다.

왜곡된 시공간에서는 물체의 궤적과 광선이 휘어진다. 이것은 질량, 에너지, 운동량이 만드는 중력에 의해 궤적과 광선이 휘어졌다고 간주되며, 시공간의 왜곡이 중력장으로 해석될 수 있다.

3.2. 크리스토펠 기호와 계량 텐서

일반 상대성이론에서 크리스토펠 기호는 중력장의 역할을 하고 계량 텐서는 중력 퍼텐셜의 역할을 한다.

중력장이 약하고 물질장이 비상대론적일 때, 세계 간격은 다음과 같이 표현된다.

:$ds^2\; =\; -\; \backslash left(\; 1+\backslash frac\{2\backslash phi\}\{c^2\}\; \backslash right)\; c^2\; dt^2\; +\; \backslash left(\; 1-\backslash frac\{2\backslash phi\}\{c^2\}\; \backslash right)\; (dx^2\; +dy^2\; +dz^2)$

이때 계량은 뉴턴적 극한에서 중력 포텐셜과 관련이 있다.

왜곡된 시공간에서의 진행 방식은 측지선 방정식으로 기술된다.

:$\backslash frac\{d^2x^\backslash mu\}\{d\backslash tau^2\}\; +\backslash Gamma^\backslash mu\_\{\backslash rho\backslash sigma\}\; \backslash frac\{dx^\backslash rho\}\{d\backslash tau\}\; \backslash frac\{dx^\backslash sigma\}\{d\backslash tau\}\; =0$

여기서 Γ는 크리스토펠 기호이며, 계량의 미분으로 표현된다.

3.3. 측지선 방정식

왜곡된 시공간에서 물체의 운동은 측지선 방정식으로 기술된다. Geodesic equation^영어은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{d^2x^\backslash mu\}\{d\backslash tau^2\}\; +\backslash Gamma^\backslash mu\_\{\backslash rho\backslash sigma\}$
\frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} =0

여기서 Γ는 크리스토펠 기호이며, 계량의 미분으로 표현된다. 이는 중력장 내에서 물체의 궤적을 나타낸다.

4. 중력의 속력

중력의 속력은 중력장의 변화가 전파되는 속력을 의미하며, 이는 가상적인 중력파의 속력과 같다. 일반 상대성 이론에서 중력 속력은 진공에서 빛의 속력과 같다.

5. 임베딩 다이어그램

임베딩 다이어그램은 중력 퍼텐셜을 시각적으로 표현하기 위해 사용되는 3차원 그래프이다. 이 그래프는 중력 퍼텐셜 필드를 지형처럼 그려서 '중력 우물'이나 권역과 같은 형태로 중력장의 분포를 보여준다.