차플리긴 방정식

2. 유도

2차원 포텐셜 흐름의 경우, 직교 좌표 $(x,y)$에서 유체 속도 $(v\_x,v\_y)$, 비 엔탈피 $h$ 및 밀도 $\backslash rho$ 변수를 포함하는 연속 방정식과 오일러 방정식 (사실, 비회전성으로 인한 압축성 베르누이 방정식)은 다음과 같다.^[4]

:$$

\begin{align}

\frac{\partial }{\partial x}(\rho v_x) + \frac{\partial }{\partial y}(\rho v_y) &=0,\\

h + \frac{1}{2}v^2 &= h_o.

\end{align}



여기서 상태 방정식 $\backslash rho=\backslash rho(s,h)$는 세 번째 방정식으로 작용하며, $h\_o$는 정체 엔탈피, $v^2\; =\; v\_x^2\; +\; v\_y^2$는 속도 벡터의 크기이고 $s$는 엔트로피이다. 등엔트로피 흐름의 경우 밀도는 엔탈피의 함수 $\backslash rho=\backslash rho(h)$로만 표현할 수 있으며, 이는 베르누이 방정식을 사용하여 $\backslash rho=\backslash rho(v)$로 쓸 수 있다.^[4]

흐름이 비회전성이므로 속도 포텐셜 $\backslash phi$가 존재하며, 미분은 $d\backslash phi\; =\; v\_x\; dx\; +\; v\_y\; dy$이다.^[4] $v\_x=v\_x(x,y)$ 및 $v\_y=v\_y(x,y)$를 종속 변수로 취급하는 대신, $x=x(v\_x,v\_y)$ 및 $y=y(v\_x,v\_y)$가 새로운 종속 변수가 되는 좌표 변환을 사용한다. 마찬가지로 속도 포텐셜은 새로운 함수(르장드르 변환)^[4]

:$\backslash Phi\; =\; xv\_x\; +\; yv\_y\; -\; \backslash phi$

로 대체된다. 따라서 미분은 $d\backslash Phi\; =\; xdv\_x\; +\; y\; dv\_y$이므로

:$x\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v\_x\},\; \backslash quad\; y\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v\_y\}$

이다.

독립 변수에 대해 $(v\_x,v\_y)$에서 $(v,\backslash theta)$로의 또 다른 좌표 변환을 $v\_x\; =\; v\backslash cos\backslash theta$ 및 $v\_y\; =\; v\backslash sin\backslash theta$ 관계에 따라 도입한다.^[4] 여기서 $v$는 속도 벡터의 크기이고 $\backslash theta$는 속도 벡터가 $v\_x$ 축과 이루는 각도이며, 종속 변수는 다음과 같다.^[4]

:$$

\begin{align}

x &= \cos\theta \frac{\partial \Phi}{\partial v}-\frac{\sin\theta}{v}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta},\\

y &= \sin\theta \frac{\partial \Phi}{\partial v}+\frac{\cos\theta}{v}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta},\\

\phi & = -\Phi + v\frac{\partial \Phi}{\partial v}.

\end{align}



새로운 좌표에서 연속 방정식은 다음과 같다.^[4]

:$\backslash frac\{d(\backslash rho\; v)\}\{dv\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{v\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; \backslash theta^2\}\backslash right)\; +\; \backslash rho\; v\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v^2\}\; =0.$

등엔트로피 흐름의 경우, $dh=\backslash rho^\{-1\}c^2\; d\backslash rho$이며, 여기서 $c$는 음속이다. 베르누이 방정식을 사용하면^[4]

:$\backslash frac\{d(\backslash rho\; v)\}\{d\; v\}\; =\; \backslash rho\; \backslash left(1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\backslash right)$

여기서 $c=c(v)$이다. 따라서, 다음을 얻는다.^[4]

:$$

\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \theta^2} +

\frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial v^2}+v \frac{\partial \Phi}{\partial v}=0.

2. 1. 직교 좌표계에서의 연속 방정식과 오일러 방정식

2. 2. 속도 포텐셜과 르장드르 변환

2. 3. 극좌표계로의 변환

2. 4. 풀 포텐셜 방정식 유도

참조

_[1] 논문 On gas streams Izd. Akad. Nauk SSSR 1902
_[2] 서적 Two-dimensional problems in hydrodynamics and aerodynamics 1965
_[3] 서적 Mathematical theory of compressible fluid flow Courier Corporation 2004
_[4] 서적 Fluid Mechanics Pergamon Press 1982
_[5] 논문 On gas streams Izd. Akad. Nauk SSSR 1902