1. 개요
초완전수는 약수 함수와 관련된 정수론 개념으로, 특정 조건을 만족하는 수들을 지칭한다. k-초완전수는 k 값에 따라 정의되며, k=1일 때 완전수가 된다. 초완전수의 목록은 k 값에 따라 다양한 수들이 존재하며, k가 1보다 큰 홀수일 때 특정 형태의 소수 조건을 만족하면 k-초완전수가 된다는 가설이 제시되었지만 아직 증명되지 않았다. 또한 초부족수라는 개념은 초완전수와 관련되어 정의된다. 초완전수 연구는 Daniel Minoli, Judson S. McCranie, Herman te Riele 등 여러 수학자에 의해 진행되었다.
2. 초완전수의 정의
Superperfect number영어는 다음의 식을 만족하는 자연수 ''n''이다.
:σ(σ(''n''))=2''n''
여기서 σ는 약수 함수를 의미한다. 다시 말해, ''n''의 모든 약수들의 합을 구하는 함수를 두 번 반복했을 때 원래 숫자의 두 배가 되는 숫자이다.
초완전수의 정의를 약간 변형하면 k-초완전수라는 개념을 얻을 수 있다. ''n''이 ''k''-초완전수라는 것은 다음의 식을 만족하는 것을 의미한다.[1]
:n = 1 + k(σ(n) - n - 1)
3. 초완전수의 목록
다음은 k값에 대한 알려진 k-초완전수를 나타낸 표이다.
| k | OEIS 수열 | 알려진 k-초완전수 |
|---|
| 1 | A000396 | 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... |
| 2 | A007593 | 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... |
| 3 | | 325, ... |
| 4 | | 1950625, 1220640625, ... |
| 6 | A028499 | 301, 16513, 60110701, 1977225901, ... |
| 10 | | 159841, ... |
| 11 | | 10693, ... |
| 12 | A028500 | 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... |
| 18 | A028501 | 1333, 1909, 2469601, 893748277, ... |
| 19 | | 51301, ... |
| 30 | | 3901, 28600321, ... |
| 31 | | 214273, ... |
| 35 | | 306181, ... |
| 40 | | 115788961, ... |
| 48 | | 26977, 9560844577, ... |
| 59 | | 1433701, ... |
| 60 | | 24601, ... |
| 66 | | 296341, ... |
| 75 | | 2924101, ... |
| 78 | | 486877, ... |
| 91 | | 5199013, ... |
| 100 | | 10509080401, ... |
| 108 | | 275833, ... |
| 126 | | 12161963773, ... |
| 132 | | 96361, 130153, 495529, ... |
| 136 | | 156276648817, ... |
| 138 | | 46727970517, 51886178401, ... |
| 140 | | 1118457481, ... |
| 168 | | 250321, ... |
| 174 | | 7744461466717, ... |
| 180 | | 12211188308281, ... |
| 190 | | 1167773821, ... |
| 192 | | 163201, 137008036993, ... |
| 198 | | 1564317613, ... |
| 206 | | 626946794653, 54114833564509, ... |
| 222 | | 348231627849277, ... |
| 228 | | 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... |
| 252 | | 389593, 1218260233, ... |
| 276 | | 72315968283289, ... |
| 282 | | 8898807853477, ... |
| 296 | | 444574821937, ... |
| 342 | | 542413, 26199602893, ... |
| 348 | | 66239465233897, ... |
| 350 | | 140460782701, ... |
| 360 | | 23911458481, ... |
| 366 | | 808861, ... |
| 372 | | 2469439417, ... |
| 396 | | 8432772615433, ... |
| 402 | | 8942902453, 813535908179653, ... |
| 408 | | 1238906223697, ... |
| 414 | | 8062678298557, ... |
| 430 | | 124528653669661, ... |
| 438 | | 6287557453, ... |
| 480 | | 1324790832961, ... |
| 522 | | 723378252872773, 106049331638192773, ... |
| 546 | | 211125067071829, ... |
| 570 | | 1345711391461, 5810517340434661, ... |
| 660 | | 13786783637881, ... |
| 672 | | 142718568339485377, ... |
| 684 | | 154643791177, ... |
| 774 | | 8695993590900027, ... |
| 810 | | 5646270598021, ... |
| 814 | | 31571188513, ... |
| 816 | | 31571188513, ... |
| 820 | | 1119337766869561, ... |
| 968 | | 52335185632753, ... |
| 972 | | 289085338292617, ... |
| 978 | | 60246544949557, ... |
| 1050 | | 64169172901, ... |
| 1410 | | 80293806421, ... |
| 2772 | A028502 | 95295817, 124035913, ... |
| 3918 | | 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... |
| 9222 | | 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... |
| 9828 | | 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... |
| 14280 | | 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... |
| 23730 | | 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... |
| 31752 | A034916 | 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... |
| 55848 | | 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... |
| 67782 | | 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... |
| 92568 | | 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... |
| 100932 | | 50969246953, 53192980777, 82145123113, ... |
3. 1. k값에 따른 초완전수 목록
다음은 k값에 따른 알려진 k-초완전수를 나타낸 표이다.
| k | OEIS 수열 | 알려진 k-초완전수 |
|---|
| 1 | A000396 | 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... |
| 2 | A007593 | 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... |
| 3 | | 325, ... |
| 4 | | 1950625, 1220640625, ... |
| 6 | A028499 | 301, 16513, 60110701, 1977225901, ... |
| 10 | | 159841, ... |
| 11 | | 10693, ... |
| 12 | A028500 | 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... |
| 18 | A028501 | 1333, 1909, 2469601, 893748277, ... |
| 19 | | 51301, ... |
| 30 | | 3901, 28600321, ... |
| 31 | | 214273, ... |
| 35 | | 306181, ... |
| 40 | | 115788961, ... |
| 48 | | 26977, 9560844577, ... |
| 59 | | 1433701, ... |
| 60 | | 24601, ... |
| 66 | | 296341, ... |
| 75 | | 2924101, ... |
| 78 | | 486877, ... |
| 91 | | 5199013, ... |
| 100 | | 10509080401, ... |
| 108 | | 275833, ... |
| 126 | | 12161963773, ... |
| 132 | | 96361, 130153, 495529, ... |
| 136 | | 156276648817, ... |
| 138 | | 46727970517, 51886178401, ... |
| 140 | | 1118457481, ... |
| 168 | | 250321, ... |
| 174 | | 7744461466717, ... |
| 180 | | 12211188308281, ... |
| 190 | | 1167773821, ... |
| 192 | | 163201, 137008036993, ... |
| 198 | | 1564317613, ... |
| 206 | | 626946794653, 54114833564509, ... |
| 222 | | 348231627849277, ... |
| 228 | | 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... |
| 252 | | 389593, 1218260233, ... |
| 276 | | 72315968283289, ... |
| 282 | | 8898807853477, ... |
| 296 | | 444574821937, ... |
| 342 | | 542413, 26199602893, ... |
| 348 | | 66239465233897, ... |
| 350 | | 140460782701, ... |
| 360 | | 23911458481, ... |
| 366 | | 808861, ... |
| 372 | | 2469439417, ... |
| 396 | | 8432772615433, ... |
| 402 | | 8942902453, 813535908179653, ... |
| 408 | | 1238906223697, ... |
| 414 | | 8062678298557, ... |
| 430 | | 124528653669661, ... |
| 438 | | 6287557453, ... |
| 480 | | 1324790832961, ... |
| 522 | | 723378252872773, 106049331638192773, ... |
| 546 | | 211125067071829, ... |
| 570 | | 1345711391461, 5810517340434661, ... |
| 660 | | 13786783637881, ... |
| 672 | | 142718568339485377, ... |
| 684 | | 154643791177, ... |
| 774 | | 8695993590900027, ... |
| 810 | | 5646270598021, ... |
| 814 | | 31571188513, ... |
| 816 | | 31571188513, ... |
| 820 | | 1119337766869561, ... |
| 968 | | 52335185632753, ... |
| 972 | | 289085338292617, ... |
| 978 | | 60246544949557, ... |
| 1050 | | 64169172901, ... |
| 1410 | | 80293806421, ... |
| 2772 | A028502 | 95295817, 124035913, ... |
| 3918 | | 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... |
| 9222 | | 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... |
| 9828 | | 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... |
| 14280 | | 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... |
| 23730 | | 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... |
| 31752 | A034916 | 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... |
| 55848 | | 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... |
| 67782 | | 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... |
| 92568 | | 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... |
| 100932 | | 50969246953, 53192980777, 82145123113, ... |
4. 초완전수의 성질
가 1보다 큰 홀수이고 가 모두 소수라면 가 -초완전수라는 것이 증명되어 있다. 2000년 Judson S. McCraine은 모든 1보다 큰 홀수 에 대해 모든 -초완전수가 이 꼴이라고 추측했지만 아직 증명이 되지 않았다. 서로 다른 홀수인 소수 와 가 존재하고 를 만족하는 자연수 가 있다면 는 -초완전수이다.
이고 이 소수일 때, 이 소수임을 성립시키는 모든 에 대해 가 -초완전수라는 사실도 알려졌다.
본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.
문의하기 : help@durumis.com