촘스키 위계

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1. 개요
2. 형식 언어
- 2.1. 정의
- 2.2. 예시
3. 형식 문법
- 3.1. 정의
- 3.2. 표기법
4. 촘스키 위계
- 4.1. 개요
- 4.2. 각 유형별 특징
참조

1. 개요

촘스키 위계는 형식 문법을 생성 규칙의 제약 조건에 따라 분류한 것으로, 0형부터 3형까지 4가지 유형으로 나뉜다. 촘스키 위계는 노엄 촘스키가 제안했으며, 각 유형은 서로 다른 문법, 언어, 인식 오토마톤, 생성 규칙을 가지며, 정규 언어, 문맥 자유 언어, 문맥 민감 언어, 재귀적 가산 언어 순으로 포함 관계를 형성한다.

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촘스키 위계
촘스키 위계
촘스키 위계 다이어그램 (화살표 방향은 포함 관계를 나타냄)
분류
문법 0 형식	제한 없는 문법
문법 1 형식	문맥 의존 문법
문법 2 형식	문맥 자유 문법
문법 3 형식	정규 문법
대응 오토마타
문법 0 형식	튜링 기계
문법 1 형식	선형 유계 오토마타
문법 2 형식	푸시다운 오토마타
문법 3 형식	유한 상태 오토마타
생성 규칙
문법 0 형식	α → β (α, β는 비단말기호와 단말기호의 임의의 문자열, α는 적어도 하나의 비단말기호를 포함)
문법 1 형식	αAβ → αγβ (A는 비단말기호, α, β, γ는 비단말기호와 단말기호의 문자열, γ는 공 문자열이 될 수 없음)
문법 2 형식	A → γ (A는 비단말기호, γ는 비단말기호와 단말기호의 문자열)
문법 3 형식	A → a 또는 A → aB 또는 A → Ba (A, B는 비단말기호, a는 단말기호)
언어
문법 0 형식	재귀 열거 가능 언어
문법 1 형식	문맥 의존 언어
문법 2 형식	문맥 자유 언어
문법 3 형식	정규 언어
최소 요구 사항
문법 0 형식	없음
문법 1 형식	문법이 비어 있지 않아야 함
문법 2 형식	문법이 촘스키 정규형이어야 함
문법 3 형식	문법이 정규 문법이어야 함
폐쇄성
문법 0 형식	모든 연산에 대해 닫혀 있음
문법 1 형식	합집합, 교집합, 연결, 여집합, 클린 스타에 대해 닫혀 있음
문법 2 형식	합집합, 연결, 클린 스타에 대해 닫혀 있음
문법 3 형식	합집합, 교집합, 차집합, 연결, 여집합, 클린 스타에 대해 닫혀 있음
결정 가능성
문법 0 형식	대부분의 문제는 결정 불가능
문법 1 형식	선형 시간
문법 2 형식	O(n^3)
문법 3 형식	O(n)

2. 형식 언어

형식 언어는 기호들의 집합(알파벳)을 이용하여 만들어지는 문자열들의 집합이다.

2. 1. 정의

형식 언어에서 언어는 문장들의 집합으로 정의될 수 있으며, 문장은 기호들의 연쇄로 정의될 수 있다.

알파벳 $T$ 는 기호들의 유한 집합이다.
언어 $L$ 은 $T^*$ 의 부분집합이다.

예를 들어,

T =

{ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ..., ㅎ, ㅏ, ㅑ, ㅓ, ㅕ, ..., ㅡ, ㅣ}라고 했을 때 다음과 같은 언어들이 있을 수 있다.

L_1 =

{ㄱㅏ, ㄴㅏ, ㄷㅏ, ㄹㅏ, ..., ㅎㅏ}

L_2 =

{ㄱㅏㄷㅏ, ㅅㅏㄷㅏ, ㅈㅏㄷㅏ, ㅊㅏㄷㅏ, ㅌㅏㄷㅏ, ㅍㅏㄷㅏ, ㅎㅏㄷㅏ}

L_3 =

{ㄱㄱㅏㄷㅏ, ㄷㄷㅏㄷㅏ, ㅅㅅㅏㄷㅏ, ㅈㅈㅏㄷㅏ}

2. 2. 예시

한국어의 자음과 모음을 알파벳으로 하는 경우, 다음과 같은 형식 언어들을 정의할 수 있다.

T =

{ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ..., ㅎ, ㅏ, ㅑ, ㅓ, ㅕ, ..., ㅡ, ㅣ}라고 했을 때 다음과 같은 언어들이 있을 수 있다.

L_1 =

{ㄱㅏ, ㄴㅏ, ㄷㅏ, ㄹㅏ, ..., ㅎㅏ}

L_2 =

{ㄱㅏㄷㅏ, ㅅㅏㄷㅏ, ㅈㅏㄷㅏ, ㅊㅏㄷㅏ, ㅌㅏㄷㅏ, ㅍㅏㄷㅏ, ㅎㅏㄷㅏ}

L_3 =

{ㄱㄱㅏㄷㅏ, ㄷㄷㅏㄷㅏ, ㅅㅅㅏㄷㅏ, ㅈㅈㅏㄷㅏ}

3. 형식 문법

형식 문법은 형식 언어를 생성하는 규칙들의 집합이다. 형식 문법은 종결 기호(형식 언어의 단어에 사용되는 문자), 비종결 기호의 유한 집합, 생성 규칙 (각 생성 규칙은 오른쪽과 왼쪽에 기호열로 구성된 단어를 포함), 시작 기호로 구성된다.

3. 1. 정의

형식 문법은 기호들의 집합에 그 기호들로부터 문장을 만드는 규칙이 부여된 것으로 정의될 수 있다. 형식 문법(G)은 다음과 같이 네 가지 요소로 구성된다.

:1.

V_N

: 비종결 기호의 유한 집합

:2.

V_T

: 종결 기호(''terminal symbol'')의 유한 집합 (형식 언어의 단어에 사용되는 문자)

:3.

P

: 생성 규칙(''production rule'')의 유한 집합 (각 생성 규칙은 오른쪽과 왼쪽에 기호열로 구성된 단어를 포함)

:4.

S

:

V_N

에 속하는 기호로 시작 기호(''start symbol'') 또는 문장 기호

생성 규칙은 어떤 단어에 적용되어 규칙의 왼쪽에 있는 단어를 오른쪽에 있는 기호열로 치환한다. 유도는 일련의 규칙 적용 과정이다. 이러한 문법으로 시작 기호에서 시작하여 생성 규칙을 적용해 나가면 종결 기호만으로 구성된 단어를 생성한다. 그러한 단어 전체의 집합이 형식 언어이다.

비종결 기호는 대문자, 종결 기호는 소문자로 표시되는 경우가 많고, 시작 기호는

S

로 표시된다. 예를 들어, 종결 기호

\{a, b\}

와 비종결 기호

\{S, A, B\}

로 구성된 문법의 생성 규칙이 다음과 같다고 가정한다.

$S \rightarrow ABS$
$S \rightarrow \epsilon$ (여기서 $\epsilon$ 는 빈 문자열)
$BA \rightarrow AB$
$BS \rightarrow b$
$Bb \rightarrow bb$
$Ab \rightarrow ab$
$Aa \rightarrow aa$

이것으로 시작 기호

S

에서 정의되는 모든 단어로 구성된 언어는

a^{n} b^{n}

이다(

n

개의

a

다음에

n

개의

b

가 이어지는 형식). 비슷한 언어를 더 간단한 문법으로 정의한 예시는 다음과 같다. 종결 기호

\{p, q\}

, 비종결 기호

\{S\}

, 시작 기호

S

에서 생성 규칙은 다음과 같다.

:

S \rightarrow pSq

:

S \rightarrow \epsilon

3. 2. 표기법

형식 문법을 기술할 때 사용되는 일반적인 표기법은 다음과 같다.^[1]

비말단 기호( $V_N$ 의 원소)는 $A, B, C$ 등의 영문자 대문자로 표기한다.
말단 기호( $V_T$ 의 원소)는 $a, b, c$ 등의 영문자 소문자로 표기한다.
$V (=V_N \cap V_T)$ 의 원소는 $\alpha, \beta, \gamma$ 등 그리스 문자로 표기한다. 즉, 비말단과 말단을 구별하지 않을 때이다.
빈 문자열은 $\epsilon$ 로 표기한다.

비종결 기호는 대문자, 종결 기호는 소문자로 표시되는 경우가 많고, 시작 기호는

S

로 표시된다.^[2]

4. 촘스키 위계

촘스키 위계는 형식 문법을 생성 규칙의 제약 조건에 따라 분류한 것이다. 노엄 촘스키가 제안했으며, 마르셀-폴 슈츠엔베르거도 형식 언어 이론 발전에 기여했다.^[1]

형식 문법은 생성 규칙에 어떠한 제약이 있는지에 따라 분류할 수 있다. 촘스키는 변형 생성 문법을 공식화하는 과정에서 "언어 묘사를 위한 세 가지 모델"을 통해 촘스키 위계에 대한 일반적인 아이디어를 처음 제시했다.

언어학자들과는 별개로, 수학자들은 계산 모델(오토마타)을 개발하고 있었다. 언어에서 문장을 구문 분석하는 것은 계산과 유사하며, 촘스키가 설명한 문법은 다양한 기계 모델과 계산 능력이 유사하고 동등하다는 것이 밝혀졌다.^[2]

촘스키 위계의 각 문법 유형, 생성되는 언어, 인식하는 오토마톤, 규칙 형식은 다음과 같다.

문법	언어	인식 오토마톤	생성 규칙 (제약 조건)	예시^[3]^[4]
3형 문법	정규 언어	유한 상태 오토마톤		L = \{a^n>n > 0\}
2형 문법	문맥 자유 언어	비결정적 푸시다운 오토마톤	$A \rightarrow \alpha$	L = \{a^nb^n>n > 0\}
1형 문법	문맥 민감 언어	선형 유계 비결정적 튜링 기계	$\alpha A \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$	L = \{a^nb^nc^n>n > 0\}
0형 문법	재귀적 가산 언어	튜링 기계	$\gamma \rightarrow \alpha$ ( $\gamma$ 는 비어 있지 않음)	L = \{w>w는 종료하는 튜링 기계를 설명한다 $\}$

재귀 언어에 해당하는 문법 집합은 이 위계에 포함되지 않으며, 0형과 1형 사이에 위치한다.

모든 정규 언어는 문맥 자유 언어이고, 모든 문맥 자유 언어는 문맥 민감 언어이며, 모든 문맥 민감 언어는 재귀 언어이고, 모든 재귀 언어는 재귀적 가산 언어이다. 이들은 모두 올바른 포함 관계를 가지며, 이는 문맥 민감 언어가 아닌 재귀적 가산 언어, 문맥 자유 언어가 아닌 문맥 민감 언어, 정규 언어가 아닌 문맥 자유 언어가 존재한다는 것을 의미한다.^[5]

4. 1. 개요

촘스키 위계는 형식 문법을 4가지 유형으로 분류하며, 각 유형은 특정 종류의 언어를 생성하고, 특정 오토마타에 의해 인식된다.^[1]

언어학자들과 별개로, 수학자들은 계산 모델(오토마타)을 개발하고 있었다. 언어에서 문장을 구문 분석하는 것은 계산과 유사하며, 촘스키가 설명한 문법은 다양한 기계 모델과 계산 능력이 유사하고 동등하다는 것이 밝혀졌다.^[2]

다음 표는 촘스키 위계의 각 문법 유형, 생성되는 언어 클래스, 이를 인식하는 오토마톤 유형, 규칙의 형식을 요약한 것이다.

문법	언어	인식 오토마톤	생성 규칙 (제약 조건)	예시^[3]^[4]
3형 문법	정규 언어	유한 상태 오토마톤		L = \{a^n>n > 0\}
2형 문법	문맥 자유 언어	비결정적 푸시다운 오토마톤	$A \rightarrow \alpha$	L = \{a^nb^n>n > 0\}
1형 문법	문맥 민감 언어	선형 유계 비결정적 튜링 기계	$\alpha A \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$	L = \{a^nb^nc^n>n > 0\}
0형 문법	재귀적 가산 언어	튜링 기계	$\gamma \rightarrow \alpha$ ( $\gamma$ 는 비어 있지 않음)	L = \{w>w는 종료하는 튜링 기계를 설명한다 $\}$

모든 정규 언어는 문맥 자유 언어이고, 모든 문맥 자유 언어는 문맥 민감 언어이며, 모든 문맥 민감 언어는 재귀 언어이고, 모든 재귀 언어는 재귀적 가산 언어이다. 이들은 모두 올바른 포함 관계를 가지며, 이는 문맥 민감 언어가 아닌 재귀적 가산 언어, 문맥 자유 언어가 아닌 문맥 민감 언어, 정규 언어가 아닌 문맥 자유 언어가 존재한다는 것을 의미한다.^[5]

4. 2. 각 유형별 특징

촘스키 위계는 형식 문법의 생성 규칙에 따라 제0유형부터 제3유형까지 4가지 유형으로 분류된다. 각 유형은 특정 종류의 언어를 생성하며, 이를 인식하는 오토마타(자동 기계)가 존재한다.

유형	문법	언어	인식 오토마타	생성 규칙	예시
제0유형	제약 없는 문법	귀납적 가산 언어	튜링 기계	$\alpha \rightarrow \beta$ (단, $\alpha$ 는 비어 있지 않음)	-
제1유형	문맥 의존 문법	문맥 의존 언어	선형 구속형 비결정론적 튜링 기계	$\alpha A\beta \rightarrow \alpha\gamma\beta$	$a^n b^n c^n$
제2유형	문맥 자유 문법	문맥 자유 언어	비결정론적 푸시다운 오토마타	$A \rightarrow \alpha$	$a^n b^n$
제3유형	정규 문법	정규 언어	유한 상태 오토마타	$A \rightarrow aB$ 또는 $A \rightarrow a$ (우선 정규) $A \rightarrow Ba$ 또는 $A \rightarrow a$ (좌선 정규)	$a^n$

모든 정규 언어는 문맥 자유 언어에 포함되고, 모든 문맥 자유 언어는 문맥 의존 언어에 포함되며, 모든 문맥 의존 언어는 귀납적 가산 언어에 포함된다.
각 유형은 상위 유형의 진부분집합이다. 즉, 문맥 의존 언어가 아닌 귀납적 가산 언어, 문맥 자유 언어가 아닌 문맥 의존 언어, 정규 언어가 아닌 문맥 자유 언어가 존재한다.^[5]

4. 2. 1. 제0유형 문법 (무제약 문법)

무제약 문법(UG, unrestricted grammar)은 생성 규칙(production rule)에 아무런 제약을 두지 않으나, 좌변이 공집합이 되는 경우만은 없다(즉,

\alpha \rightarrow \beta

에서

\alpha \neq \epsilon

).^[3]^[4] 이들은 모든 종류의 형식 문법을 포함한다. 이는 튜링 기계가 인식 가능한 모든 언어를 생성하는데, 이를 재귀적 열거 가능 언어(recursively enumerable set)라 한다.^[6] 이는 재귀 언어와는 다른데, 재귀 언어는 항상 정지하는 튜링 기계에 의해 ''결정''될 수 있다.

0형 문법은 튜링 기계에 의해 인식될 수 있는 모든 언어를 정확히 생성하므로, 생성될 수 있는 모든 언어는 0형 문법으로 생성될 수 있다.

문법	언어	인식 오토마톤	생성 규칙 (제약 조건)	예시
0형 문법	재귀적 가산 언어	튜링 기계	$\gamma \rightarrow \alpha$ ( $\gamma$ 는 비어 있지 않음)	L = \{w>w는 종료하는 튜링 기계를 설명한다 $\}$

4. 2. 2. 제1유형 문법 (문맥 의존 문법)

1형 문법(문맥 의존 문법)은 문맥 의존 언어를 생성한다. 이러한 문법은

\alpha A\beta \rightarrow \alpha\gamma\beta

형태의 규칙을 가지며, 여기서

A

는 비단말 기호이고,

\alpha

,

\beta

및

\gamma

는 단말 기호 및/또는 비단말 기호의 문자열이다. 문자열

\alpha

와

\beta

는 비어 있을 수 있지만,

\gamma

는 비어 있지 않아야 한다. 규칙

S \rightarrow \epsilon

은

S

가 어떤 규칙의 오른쪽에도 나타나지 않는 경우 허용된다.^[3]^[4] 이러한 문법에 의해 설명되는 언어는 정확히 선형 유계 오토마톤 (입력의 길이의 상수 배로 테이프가 제한된 비결정론적 튜링 기계)에 의해 인식될 수 있는 모든 언어이다.

예를 들어, 문맥 의존 언어

L = \{a^nb^nc^n|n > 0\}

은 1형 문법

G = (\{S,A,B,C,W,Z\}, \{a, b\}, P, S)

에 의해 생성되며, 여기서 생성 규칙

P

는 다음과 같다.

:S → aBC

:S → aSBC

:CB → CZ

:CZ → WZ

:WZ → WC

:WC → BC

:aB → ab

:bB → bb

:bC → bc

:cC → cc

이 언어는 문맥 의존적이지만, 문맥 자유 언어에 대한 펌핑 보조 정리에 의해 문맥 자유적이지 않다. 이 문법이

L = \{a^nb^nc^n|n > 0\}

을 생성한다는 증명은 문맥 의존 문법에 대한 문서에서 간략하게 설명되어 있다.

4. 2. 3. 제2유형 문법 (문맥 자유 문법)

문맥 자유 문법(CFG, context-free grammar)은 문맥 자유 언어를 생성한다. 모든 생성 규칙은

A \rightarrow \alpha

형태를 갖는다. (

A

는 하나의 비말단(nonterminal)이고,

\alpha

는 단말 기호 및/또는 비말단 기호들의 문자열이다.) 푸시다운 오토마타로 인식할 수 있다.

문맥 자유 언어, 또는 결정적 문맥 자유 언어의 하위 집합은 대부분의 프로그래밍 언어의 구문 구조에 대한 이론적 기반을 형성하지만, 선언 및 범위로 인해 구문에는 문맥 의존적인 이름 확인도 포함된다.^[7] 종종 LL 파서와 같이 구문 분석을 더 쉽게 만들기 위해 문법의 하위 집합이 사용된다.

예를 들어, 문맥 자유 언어

L = \{a^nb^n|n > 0\}

는 2형 문법

G = (\{S\}, \{a, b\}, P, S)

에 의해 생성되며, 여기서 프로덕션

P

는 다음과 같다.

S → aSb
S → ab

이 언어는 정규 언어에 대한 펌핑 보조 정리에 의해 정규적이지 않지만, 문맥 자유적이다.

4. 2. 4. 제3유형 문법 (정규 문법)

정규 문법(RG, regular grammar)은 오른쪽 정규 문법과 왼쪽 정규 문법을 통틀어 말한다.

(오른쪽 정규 문법) $A \rightarrow tB$ 또는 $A \rightarrow t$ , 여기서 $t \in {V_T}^*$ 이고, $A, B \in V_N$ 이다.
(왼쪽 정규 문법) $A \rightarrow Bt$ 또는 $A \rightarrow t$ , 여기서 $t \in {V_T}^*$ 이고, $A, B \in V_N$ 이다.

이것으로 모든 정규 언어를 표현할 수 있으며, 정규 표현식과 같기 때문에 유한 상태 기계가 인식할 수 있다.^[3]^[4]

3형 문법은 정규 언어를 생성한다. 이러한 문법은 규칙을 왼쪽 변수에 하나의 비단말 기호로 제한하고, 오른쪽 변수는 단일 단말 기호로 구성하며, 선택적으로 단일 비단말 기호가 뒤따른다. 이 경우 문법은 "오른쪽 정규"이다. 또는 모든 규칙의 오른쪽 변수는 단일 단말 기호로 구성될 수 있으며, 선택적으로 단일 비단말 기호가 "앞에 올" 수 있다("왼쪽 정규"). 이들은 동일한 언어를 생성한다. 그러나 왼쪽 정규 규칙과 오른쪽 정규 규칙을 결합하면 언어가 더 이상 정규 언어가 아닐 수 있다. 규칙

S \rightarrow \varepsilon

는

S

가 어떤 규칙의 오른쪽에도 나타나지 않는 경우에도 허용된다.

이러한 언어는 정확히 유한 상태 자동기계에 의해 결정될 수 있는 모든 언어이다. 또한, 이 형식 언어군은 정규 표현식으로 얻을 수 있다. 정규 언어는 일반적으로 검색 패턴과 프로그래밍 언어의 어휘 구조를 정의하는 데 사용된다.

예를 들어, 정규 언어

L = \{a^n|n > 0\}

는 다음 생성 규칙

P

를 가진 3형 문법

G = (\{S\}, \{a, b\}, P, S)

에 의해 생성된다.

문법	언어	인식 오토마톤	생성 규칙 (제약 조건)	예시
3형 문법	정규 언어	유한 상태 오토마톤		L = \{a^n>n > 0\}

참조

_[1] 서적 A Companion to Chomsky https://www.research[...] 2021-04-27
_[2] 서적 Automata and computability https://books.google[...] Springer
_[3] 웹사이트 Applications, Chomsky hierarchy, and Recap https://www.cs.ru.nl[...] 2016
_[4] 서적 Languages and machines: An Introduction to the Theory of Computer Science Addison Wesley Longman 1997
_[5] 서적 Handbook of Mathematical Psychology John Wiley and Sons, Inc.
_[6] 서적 Introduction to the Theory of Computation https://archive.org/[...] Cengage Learning
_[7] 문서 たとえばC言語の場合の1例としては、typedefが現れた後は同じ綴りが単なる識別子から型名に変化するため、厳密には文脈自由文法で完全には扱えない。

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