부분집합

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1. 개요
2. 정의, 용어, 표기법
3. 부분집합의 성질
4. 진부분집합의 성질
5. 멱집합
6. 포함 관계의 기타 성질
참조

1. 개요

부분집합은 주어진 집합의 원소 중 일부 또는 전부를 포함하는 집합을 의미한다. 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소일 경우, A는 B의 부분집합이며, 기호로는 A ⊆ B로 나타낸다. A가 B의 부분집합이면서 두 집합이 같지 않을 경우, A는 B의 진부분집합이며, 기호로는 A ⊊ B로 표기한다. 부분집합 관계는 반사율, 추이성, 반대칭성을 가지며, 멱집합 위에서 부분 순서를 이룬다. 멱집합은 주어진 집합의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합이며, 포함 관계는 멱집합 위에 부분 순서 관계를 정의한다.

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부분집합
집합론
정의	집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소이기도 하면, A는 B의 부분집합이라고 한다.
표기	A ⊆ B
진부분집합	A ⊆ B이면서 A ≠ B일 때, A는 B의 진부분집합이라고 한다.
표기 (진부분집합)	A ⊊ B 또는 A ⊂ B
성질	공집합은 모든 집합의 부분집합이다.
예시
집합 A = {1, 2, 3}	A의 부분집합: { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} A의 진부분집합: { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
관련 개념
멱집합	집합의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합
전체집합	고려하는 모든 원소를 포함하는 집합

2. 정의, 용어, 표기법

집합 ''A'', ''B''가 주어졌을 때, ''A''의 모든 원소가 ''B''의 원소이면, 즉

: $\forall x \in A : x \in B$

가 성립하면, 'A는 B에 '''포함된다'''(include, contain^영어)'. 또는 'B는 A를 포함한다'라고 한다. 기호로는

: $A \subseteq B$ 또는 $B \supseteq A$

로 나타낸다.

''A''가 ''B''의 부분집합이지만 같지는 않은 경우, 즉 ''A''가 ''B''의 부분집합이고, ''A''에 속하지 않는 ''B''의 원소가 적어도 하나 존재하는 경우, ''A''는 ''B''의 '''진부분집합'''이라고 한다. 기호로는

: $A \subsetneq B$ 또는 $B \supsetneq A$

로 나타낸다.

때로는 부분집합, 진부분집합 관계를 각각 $\subset, \subsetneq$ 기호로 나타내거나, 각각 $\subseteq, \subset$ 로 나타낸다.^[4]^[5]

드물게 ''A''가 ''B''의 부분집합이라 하는 대신 ''B''가 ''A''의 '''상위집합'''(上位集合, superset^영어), ''A''가 ''B''의 진부분집합이라 하는 대신 ''B''가 ''A''의 '''진상위집합'''이라 표현하는 경우도 있다.

표기법 조합
부분집합	진부분집합
A ⊆ B	A ⊂ B
	A ⊊ B
	A ⊆ B 이고 A ≠ B
A ⊂ B	A ⊊ B
A ⊂ B	A ⊂ B 이고 A ≠ B

''A''가 ''B''의 부분집합임을 ''A'' ⊆ ''B''로 나타내고, ''A''가 ''B''의 진부분집합임을 ''A'' ⊂ ''B''로 나타낸다. 부등식에서 부등호를

:''x'' ≤ ''y'' 이고 ''x'' ≠ ''y''일 때 ''x'' < ''y''로 쓴다.

는 표기법에 맞춰 포함 관계에서도

: ''A'' ⊆ ''B'' 이고 ''A'' ≠ ''B''일 때 ''A'' ⊂ ''B''로 쓴다.

는 표기법은 자연스럽다. 하지만 이와는 다른 방식도 몇 가지 존재하며, 통일되어 있지 않다. 예를 들어, ''A''가 ''B''의 부분집합임을 ''A'' ⊂ ''B''로 나타내고, ''A''가 ''B''의 진부분집합임을 ''A'' ⊊ ''B''로 나타내는 방식이 있다. 이 외에도 부분집합에는 ⊆를 사용하고, 진부분집합에는 ⊂ 이고 ≠를 사용하는 경우도 있다. 진부분집합임을 명시할 수 있는 ⊊라는 기호를 준비하는 경우도 있다. 진부분집합임을 언급하는 부분이 적고 번거롭지 않다면 혼란을 피하기 위해 일일이

:''A'' ⊆ ''B'' 이고 ''A'' ≠ ''B''

:''A'' ⊂ ''B'' 이고 ''A'' ≠ ''B''

와 같이 "그리고 ''A'' ≠ ''B''"라는 조건을 명기하는 경우도 있다.

3. 부분집합의 성질

공집합은 모든 집합의 부분집합이다.^[3]
A ⊆ A (자기 자신은 자신의 부분집합이다.)^[3]
A ⊆ B 이고 B ⊆ A 이면, A = B이다. (반대칭성)^[3]
A ⊆ B 이고 B ⊆ C 이면, A ⊆ C이다. (추이성)^[3]
A ⊆ (A ∪ B)
A ⊆ C 이고 B ⊆ C 이면, (A ∪ B) ⊆ C
A ∩ B ⊆ A
C ⊆ A 이고 C ⊆ B 이면, C ⊆ (A ∩ B)
다음 명제들은 서로 동치이다.
* A ⊆ B
* A ∩ B = A
* A ∪ B = B
* A − B = ∅
* B의 여집합 ⊆ A의 여집합

$A \subseteq B$ 이고 $B \subseteq C$ 이면 $A \subseteq C$ 이다.

4. 진부분집합의 성질

'''비반사성''': 임의의 집합 A에 대해, A ⊊ A는 성립하지 않는다.
'''추이성''': A ⊊ B이고 B ⊊ C이면, A ⊊ C이다.
'''비대칭성''': A ⊊ B이면 B ⊊ A는 성립하지 않는다.

5. 멱집합

모든 집합은 공집합과 자기 자신을 부분집합으로 갖는다. 어떤 집합의 부분집합을 모두 모아놓은 집합을 그 집합의 멱집합이라고 하는데, 이는 자연히 적어도 공집합과 그 집합을 원소로 둔다. 부분집합 관계는 집합의 멱집합 위에서 자주 다루어지며, 이는 부분순서의 전형적인 예이다.^[6]

집합 S의 모든 부분집합의 집합을 멱집합이라고 하며, P(S)로 표기한다.

이항 관계인 포함 관계 ⊆는 A ≤ B ⇔ A ⊆ B로 정의된 집합 P(S)에 대한 부분 순서 관계이다. 또한, A ≤ B if and only if B ⊆ A로 정의하여 멱집합 P(S)를 역 집합 포함 관계에 의해 부분적으로 순서를 정할 수도 있다.

집합 S의 멱집합 P(S)에 대해, 포함 부분 순서 관계는 k = |S| (S의 기수)개 복사본의 데카르트 곱이며, 0 < 1에 대해 {0, 1}에 대한 부분 순서 관계이다. 이는 S = {s₁, s₂, ..., s_k}를 열거하고 각 부분집합 T ⊆ S (즉, 2^S의 각 원소)를 {0, 1}^k의 k-튜플과 연관시킴으로써 설명할 수 있는데, 여기서 i번째 좌표는 s_i가 T의 멤버인 경우에만 1이다.

6. 포함 관계의 기타 성질

모든 집합은 공집합과 자기 자신을 부분집합으로 갖는다. 어떤 집합의 부분집합을 모두 모아놓은 집합을 그 집합의 멱집합이라고 하는데, 이는 자연히 적어도 공집합과 그 집합을 원소로 둔다. 부분집합 관계는 집합의 멱집합 위에서 자주 다루어지며, 이는 부분순서의 전형적인 예이다.^[3]

'''반사율''': 임의의 집합 $A$ 에 대해, $A \subseteq A$ 이다.^[3]
'''추이성''': 만약 $A \subseteq B$ 이고 $B \subseteq C$ 이면, $A \subseteq C$ 이다.
'''반대칭성''': 만약 $A \subseteq B$ 이고 $B \subseteq A$ 이면, $A = B$ 이다.
집합 ''A''는 교집합이 A와 같을 때 ''B''의 '''부분 집합'''이다. 형식적으로 다음과 같다.

::

A \subseteq B \text{ if and only if } A \cap B = A.

집합 ''A''는 합집합이 B와 같을 때 ''B''의 '''부분 집합'''이다. 형식적으로 다음과 같다.

::

A \subseteq B \text{ if and only if } A \cup B = B.

'''유한''' 집합 ''A''는 교집합의 기수가 A의 기수와 같을 때 ''B''의 '''부분 집합'''이다. 형식적으로 다음과 같다.

::

A \subseteq B \text{ if and only if } |A \cap B| = |A|.

부분 집합 관계는 집합에 대한 부분 순서를 정의한다. 사실, 주어진 집합의 부분 집합은 부분 집합 관계 아래에서 불 대수를 형성하며, 여기서 결합 및 만남은 교집합과 합집합으로 주어지고, 부분 집합 관계 자체는 불 대수 포함 관계이다.
포함 관계는 정규 부분 순서이며, 이는 모든 부분 순서 집합 $(X, \preceq)$ 가 포함 관계에 의해 정렬된 집합 모음에 동형이라는 의미이다. 서수는 간단한 예이다. 각 서수 ''n''이 ''n'' 이하의 모든 서수 집합 $[n]$ 으로 식별되면 $a \leq b$ if and only if $[a] \subseteq [b].$ 가 성립한다.

다음은 ''S'', ''T'', ''U''를 집합으로 한다.

''S'' = ''T''와 ''S'' ⊆ ''T'' 이고 ''T'' ⊆ ''S''는 동치이다([집합#외연성 공리|외연성 공리]]).
공집합 ∅는 모든 집합의 부분집합이다.
''S'' ⊆ ''S''
''S'' ⊆ ''T'' 이고 ''T'' ⊆ ''U''이면 ''S'' ⊆ ''U''이다.
''S'' ⊆ ''S'' ∪ ''T''
''S'' ⊆ ''T''이면 ''S'' ∪ ''U'' ⊆ ''T'' ∪ ''U''이다.
''S'' ⊆ ''U'' 이고 ''T'' ⊆ ''U''이면 ''S'' ∪ ''T'' ⊆ ''U''이다.
''S'' ∩ ''T'' ⊆ ''S''
''S'' ⊆ ''T''이면 ''S'' ∩ ''U'' ⊆ ''T'' ∩ ''U''이다.
''S'' ⊆ ''T'' 이고 ''S'' ⊆ ''U''이면 ''S'' ⊆ ''T'' ∩ ''U''이다.
''S'' - ''T'' ⊆ ''S''
''S'' ⊆ ''T''이면 ''S'' - ''U'' ⊆ ''T'' - ''U''이다.
''S'' ⊆ ''T'' 이고 ''S'' ⊆ ''U''^''C''이면 ''S'' ⊆ ''T'' - ''U''이다.
다음은 동치이다.
''S'' ⊆ ''T''
''S'' ∩ ''T'' = ''S''
''S'' ∪ ''T'' = ''T''
''S'' − ''T'' = ∅
''S''와 ''T''가 모두 ''U''의 부분집합일 때, ''S'' ⊆ ''T''와 ''U'' - ''T'' ⊆ ''U'' - ''S''는 동치이다.

참조

_[1] 서적 Discrete Mathematics and Its Applications https://archive.org/[...] McGraw-Hill 2012
_[2] 서적 Discrete Mathematics with Applications
_[3] 서적 Set Theory and Logic Dover Publications
_[4] 서적 Real and complex analysis McGraw-Hill
_[5] 간행물 Subsets and Proper Subsets http://it.edgecombe.[...] 2012-09-07
_[6] 웹사이트 Subset https://mathworld.wo[...] 2020-08-23

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