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측지선 완비 준 리만 다양체

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목차

1. 개요

측지선 완비 준 리만 다양체는 임의의 점과 속도 벡터에 대해 모든 실수에 대해 정의된 측지선이 존재하는 준 리만 다양체를 의미한다. 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 리만 다양체의 예시이며, 지수 사상이 전체 접공간에 정의될 수 있다는 것을 의미한다. 측지선 완비는 확장 불가능성을 함의하며, 콤팩트 다양체는 항상 확장 불가능하다. 리만 다양체의 경우, 측지선 완비, 완비 거리 공간, 유계 닫힌 집합의 콤팩트성은 서로 동치이며, 이를 호프-리노프 정리라고 한다. 그러나 준 리만 다양체에서는 호프-리노프 정리가 성립하지 않으며, 클리프턴-폴 원환면이 그 반례이다. 클리프턴-폴 원환면은 콤팩트 로렌츠 다양체이지만 측지선 완비가 아니다. 호프-리노프 정리는 1931년에 하인츠 호프와 빌리 루트비히 아우구스트 리노프에 의해 증명되었고, 클리프턴-폴 원환면은 1962년에 이턴 클리프턴과 윌리엄 폴에 의해 발견되었다.

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측지선 완비 준 리만 다양체

2. 정의

준 리만 다양체 (M,g)가 다음 조건을 만족한다면, (M,g)를 '''측지선 완비 준 리만 다양체'''라고 한다.


  • 임의의 x\in M 및 v\in T_xM에 대하여, \gamma(0)=x이며 \dot\gamma(0)=\dot x이며 모든 t\in\mathbb R에 대하여 \sqrt{g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}=1인 측지선 \gamma\colon\mathbb R\to M이 존재한다.


즉, 측지선 완비 준 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 준 리만 다양체이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 리만 다양체이지만, 유클리드 공간의 (전체 공간이 아닌) 열린집합은 측지선 완비 리만 다양체가 아니다.

준 리만 다양체 (M,g) 및 임의의 점 x\in X가 주어졌을 때, 초기 속도에 측지선을 대응시키는 지수 사상

:\exp_x\colon\operatorname{dom}\exp_x\to M

:\operatorname{dom}\exp_x\subseteq \operatorname T_xM

을 정의할 수 있다. 정의역 \operatorname{dom}\exp_x는 0의 근방을 포함한다. 측지선 완비성은 위 지수 사상이 \operatorname T_xM 전체에 정의될 수 있음을 뜻한다.

2. 1. 확장 불가능성

준 리만 다양체 (M,g)가 다음 조건을 만족시킨다면, '''확장 불가능 준 리만 다양체'''라고 한다.

  • 임의의 연결 성분 (M_i,g\restriction M_i)에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 연결 준 리만 다양체 (\tilde M,\tilde g) 및 등거리 매장 \iota\colon(M_i,g\restriction M_i)\hookrightarrow(\tilde M,\tilde g)이 존재하지 않는다.
  • \iota(M_i)는 \tilde M의 열린집합이다.
  • \tilde M\setminus\iota(M)\ne\varnothing이다.


임의의 준 리만 다양체에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

  • 측지선 완비 ⇒ 확장 불가능 ⇐ 모든 연결 성분이 콤팩트 ⇐ 콤팩트

3. 성질

준 리만 다양체에서는 측지선 완비성이 확장 불가능성을 함의하며, 콤팩트 다양체는 항상 확장 불가능하다. 리만 다양체에서는 호프-리노프 정리에 의해 측지선 완비성, 완비 거리 공간, 유계 닫힌 집합의 콤팩트성이 동치이다. 준 리만 다양체에서는 호프-리노프 정리가 성립하지 않는다. (예: 클리프턴-폴 원환면)

4. 예

리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체에서 호프-리노프 정리가 성립하지 않는 예로 '''클리프턴-폴 원환면'''(Clifton-Pohl圓環面, Clifton–Pohl torus영어)이 있다.[3] 이는 콤팩트 공간이지만 확장 불가능 다양체가 아니다.

원점을 제거한 평면 \tilde M=\mathbb R^2\setminus\{0\}=\{(x,y)\in\mathbb R^2\colon (x,y)\ne(0,0) 위에 다음과 같은 로런츠 계량을 준다.

:\mathrm ds^2=\frac{2\mathrm dx\,\mathrm y}{x^2+y^2}

이를 '''클리프턴-폴 평면'''(Clifton-Pohl平面, Clifton–Pohl plane영어)이라고 한다.

다음 변환들은 \tilde M 위의 등거리 변환이다.

:S_\lambda\colon (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)\qquad\forall \lambda\in\mathbb R^+

S_2로 생성되는 이산 부분군을 생각하여 몫공간을 구성한다.

:M=\frac{\tilde M}{(x,y)\sim(2x,2y)}

이는 원환면 \mathbb S^1\times\mathbb S^1과 미분 동형이며, 콤팩트 공간이다. 이 (M,g)을 '''클리프턴-폴 원환면'''이라고 한다.

(M,g)은 콤팩트 로런츠 다양체이지만, 측지선 완비 다양체가 아니다. 예를 들어, 다음 측지선들은 특정 점에서 정의되지 않는다.


  • \gamma(t)=\left((1-t)^{-1},0\right) (t=1에서 정의되지 않음)
  • \gamma(t)=(\tan t,1) (t\pm\pi/2에서 정의되지 않음)


좌표 변환을 통해 클리프턴-폴 평면의 계량을 표현하면 다음과 같다.

:(u,v)=(\arctan x,\arctan y)

:\mathrm ds^2=\frac{2\mathrm du\,\mathrm dv}{\sin^2u\cos^2v+\sin^2v\cos^2u}

이는 자연스럽게 확장된 공간 N 위에 정의된다.

:N=\mathbb R^2\setminus\left\{(\pi m/2,\pi n/2)\in

\colon (m,n)\in\mathbb Z^2,\;m\equiv n\pmod 2

\right\}

단사 등거리 변환 \iota\colon\tilde M\hookrightarrow N이 존재하며, 그 상은 다음과 같다.

:\iota(N)=\{(x,y)\colon |x|<\pi/2,\;|y|<\pi/2,\;(x,y)\ne(0,0)\}

N을 '''확장 클리프턴-폴 평면'''(擴張Clifton-Pohl平面, extended Clifton–Pohl plane영어)이라고 하며, 이는 M과 달리 측지선 완비 다양체이다.[4] 그러나 N에는 M을 정의하는 데 사용되었던 자기 등거리 변환이 존재하지 않는다.

5. 역사

하인츠 호프와 빌리 루트비히 아우구스트 리노프(1907~1979)가 1931년에 호프-리노프 정리를 증명하였다.[5]

클리프턴-폴 원환면은 1962년에 이턴 클리프턴(Yeaton H. Clifton)과 윌리엄 폴(William Pohl)이 발견하였으나, 출판하지 않았다.[6]

참조

[1] 논문 Autour de la conjecture de L. Markus sur les variétés affines https://archive.org/[...] 1989
[2] 논문 A simple proof of geodesical completeness for compact space‐times of zero curvature
[3] 서적 Semi-Riemannian geometry with applications to relativity https://www.elsevier[...] Academic Press 1983
[4] 논문 Sur les surfaces lorentziennes compactes sans points conjugués https://www.math.u-b[...] 2013
[5] 논문 Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche http://resolver.sub.[...] 1931
[6] 서적 Spaces of constant curvature American Mathematical Society Chelsea Publishing 2011


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