평면

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1. 개요

평면은 유클리드 공간에서 곡면의 일종으로, 두 점을 지나는 직선을 항상 포함하는 것으로 정의된다. 평면은 데카르트 좌표계를 도입하여 두 실수의 순서쌍으로 나타낼 수 있으며, 유클리드 기하학, 선형대수학, 미적분학, 위상수학, 그래프 이론 등 다양한 수학 분야에서 중요한 개념으로 다루어진다. 3차원 공간에서는 여러 가지 성질을 가지며, 점과 법선 벡터를 이용하여 표현할 수 있다. 또한, 복소평면, 아핀 공간, 매끄러운 다양체 등 다양한 추상화 단계를 거쳐 생각할 수 있다.

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평면
개요
정의	무한히 넓고 평평하며 두께가 없는 추상적인 2차원 기하학적 대상
다른 이름	유클리드 평면, 데카르트 평면, 좌표 평면
차원	2
좌표계
좌표	데카르트 좌표계 극좌표계 기타 좌표계
차원	2
속성 및 특징
점	무한히 많은 점을 포함
직선	두 점을 잇는 최단 경로, 무한히 많은 직선 존재
평행선	만나지 않는 두 직선
수직선	직각으로 만나는 두 직선
각도	두 직선이 이루는 각
면적	평면 위의 도형의 크기
거리	두 점 사이의 최단 거리
변환	평행 이동, 회전 변환, 반사, 닮음 변환
관련 개념
공간	3차원 공간
직선	1차원 선
점	0차원 위치
벡터 공간	벡터들의 집합
선형대수학	평면을 다루는 수학 분야
기하학	평면을 연구하는 학문
삼각법	삼각형과 관련된 학문
활용
그래프	함수, 통계 등의 시각적 표현
지도 제작	지구 표면의 평면 표현
컴퓨터 그래픽스	2차원 이미지 생성
CAD	2차원 설계 도면 작성
역사
기원	고대 기하학
발전	르네 데카르트의 좌표계 도입
같이 보기
관련 문서	유클리드 기하학 비유클리드 기하학 해석기하학

2. 유클리드 기하

유클리드 공간에서 평면은 그 위에 있는 어느 두 점을 택하여도 그 두 점을 지나는 직선 전체를 항상 포함하는 곡면이다. 평면은 직교 좌표를 도입하여 임의의 점을 두 실수의 순서쌍(좌표)으로 유일하게 나타낼 수 있다.^[10]

유클리드 공간에서 평면은 다음 조건 중 하나에 의해 유일하게 결정된다.

한 직선 위에 있지 않은 세 점
한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점
서로 만나는 두 개의 서로 다른 직선
평행한 두 개의 서로 다른 직선

2. 1. 역사

유클리드의 원론 1권부터 4권, 6권까지는 2차원 기하학, 즉 평면에 대한 내용을 다룬다. 여기에는 도형의 닮음, 피타고라스 정리, 각과 넓이의 동일성, 평행, 삼각형 내각의 합 등 다양한 주제가 포함되었다.^[1]

17세기 르네 데카르트와 피에르 드 페르마는 평면을 데카르트 좌표계로 묘사하는 방법을 독립적으로 개발하였다. 이들은 평면 위의 각 점을 두 개의 고정된 수직 방향선으로부터의 부호가 있는 거리로 표현되는 한 쌍의 수치 ''좌표''로 나타냈다. 각 기준선은 좌표축, 만나는 점은 원점이라 불렀다. 페르마는 3차원에서도 연구했지만, 이 발견을 출판하지는 않았다.^[1] 한 쌍의 고정된 축을 사용하는 개념은 데카르트의 ''라 지오메트리''가 1649년 프란스 반 스호텐과 그의 학생들에 의해 라틴어로 번역된 후에 도입되었다.^[3]

3. R³의 부분 공간으로서의 평면

3차원 공간, 특히 '''R'''³의 부분 공간으로서 평면을 살펴본다.

해석기하학적인 방법으로 데카르트의 데카르트 좌표계를 도입하면, 평면 위의 임의의 점은 두 개의 실수쌍으로 유일하게 지정할 수 있다.

3차원 유클리드 공간을 ''x'', ''y'', ''z''의 3개의 축을 가진 데카르트 좌표(''xyz''-좌표)로 나타낼 때, 그 공간 내의 평면은 방정식

: ''ax'' + ''by'' + ''cz'' + ''d'' = 0

(''a'', ''b'', ''c'', ''d''는 실수이며, ''abc'' ≠ 0)의 해 전체가 만드는 부분 집합으로 표현된다.^[10]

혹은, 두 개의 일차 독립적인 3차원 벡터 '''v''', '''w'''와 다른 3차원 벡터 '''u''' 및 두 개의 실숫값 파라미터 ''s'', ''t''를 사용하여

: '''u''' + ''s'' '''v''' + ''t'' '''w'''

의 형태로 나타낼 수 있다. 이때 평면상의 점은 두 파라미터 값의 쌍 (''s'', ''t'')에 의해 유일하게 지정된다.

벡터 표시에 있어서 벡터의 차원은 특별히 제한되지 않는다. 즉, 일반적인 ''n''차원 유클리드 공간(''n'' = 2인 경우가 처음에 언급한 의미에서의 평면)에서의 임의의 평면은 세 개의 ''n''차원 수 벡터 '''u''', '''v''', '''w''' ('''v''', '''w'''는 일차 독립)와 두 개의 실숫값 파라미터 ''s'', ''t''에 의해

: '''u''' + ''s'' '''v''' + ''t'' '''w'''

의 형태로 표현된다.

3. 1. 성질

3차원 공간에서 평면은 다음과 같은 성질을 갖는다. (이는 더 높은 차원에서는 성립하지 않는다.)

두 평면은 평행하거나 한 직선에서 만난다.
한 직선과 한 평면은 서로 평행하거나 한 점에서 만난다.
한 평면에 수직인 두 직선은 서로 평행하다.
한 직선에 수직인 두 평면은 서로 평행하다.

3. 2. 점과 법선 벡터

3차원 공간에서 평면은 한 점과 그 평면에 수직인 벡터(법선 벡터)로 결정될 수 있다. 주어진 점을

\vec p

, 법선 벡터를

\vec n

이라 할 때, 평면은

\vec n\cdot(\vec r-\vec p)=0

을 만족하는 모든 점

\vec r

의 집합이다. 이 식은

\vec n = (a, b, c)

,

\vec r = (x, y, z)

,

\vec n\cdot\vec p=-d

라고 할 때,

ax + by + cz + d = 0

과 같이 쓸 수 있다.^[10]

3. 3. 세 점을 지나는 평면

한 직선 위에 있지 않은 세 점

\vec p_1, \vec p_2, \vec p_3

을 지나는 평면은 행렬식을 이용하여 표현할 수 있다. 세 점

\vec p_1 = (x_1,y_1,z_1)

,

\vec p_2 = (x_2,y_2,z_2)

,

\vec p_3 = (x_3,y_3,z_3)

을 지나는 평면은 다음과 같은 방정식으로 결정된다.

:

\begin{vmatrix}x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\x - x_3 & y - y_3 & z - z_3\end{vmatrix} = 0.

이 평면을 "점과 법선벡터" 형식으로 고쳐 쓰려면, 법선벡터

\vec n

대신 벡터곱

( \vec p_2 - \vec p_1 ) \times ( \vec p_3 - \vec p_1 )

을 사용하고 점

\vec p

대신

\vec p_1

(사실 세 점 중 아무것이나 하나)를 사용하면 된다.

3. 4. 점과 평면 사이의 거리

평면 ax + by + cz + d = 0^영어과 점

\vec p_1 = (x_1,y_1,z_1)

에서 평면까지의 거리는 다음과 같다.

:

D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

3. 5. 두 평면의 교선

서로 만나는 두 평면 ${\vec n_1\cdot \vec r = h_1}$과 ${\vec n_2\cdot \vec r = h_2}$에 대하여, 그 교선은 ${\vec n_1}$과 ${\vec n_2}$에 동시에 수직이며, 따라서 ${\vec n_1 \times \vec n_2}$에 평행이다.

여기에 더하여 ${\vec n_1}$과 ${\vec n_2}$가 정규직교(수직이면서 둘 다 길이가 1)하면, 교선 위의 점으로서 원점에 가장 가까운 점은 ${\vec r_0 = h_1\vec n_1 + h_2\vec n_2}$이다.

3. 6. 이면각

서로 만나는 두 평면 a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0^영어과 a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0^영어에 대하여 그 사이의 '''이면각'''은 그 두 평면의 법선 방향 사이의 각 α^영어로서 다음을 만족한다.

: }}

4. 좌표계

평면은 데카르트 좌표계나 극좌표계 등 다양한 좌표계를 사용하여 나타낼 수 있다. 데카르트 좌표계는 평면 위의 각 점을 두 개의 고정된 수직 방향선으로부터의 부호 있는 거리로 표현되는 한 쌍의 수치 좌표로 고유하게 지정하는 좌표계이다. 이 시스템의 아이디어는 1637년 르네 데카르트와 피에르 드 페르마에 의해 독립적으로 개발되었지만, 페르마는 3차원에서도 연구했으며, 이 발견을 출판하지 않았다.^[1]

이후, 평면은 임의의 두 점을 곱하고 0을 제외하고 나눌 수 있는 체로 생각되었으며, 이는 복소 평면으로 알려졌다. 복소 평면은 장-로베르 아르강의 이름을 따서 아르강 평면이라고도 불리지만, 처음에는 카스파르 베셀에 의해 묘사되었다.^[4]

4. 1. 직교 좌표계

데카르트 좌표계라고도 하는 직교 좌표계는 서로 수직인 두 좌표축을 이용하여 평면 위의 점을 두 실수의 순서쌍으로 나타내는 방법이다. 르네 데카르트와 피에르 드 페르마는 1637년에 이 좌표계를 독립적으로 개발하였다.^[1] 1649년 프란스 반 스호텐과 그의 학생들은 데카르트의 ''라 지오메트리''를 라틴어로 번역하면서 한 쌍의 고정된 축을 사용하는 개념을 도입했다.^[3]

일반적으로 'x'와 'y'로 표시되는 두 개의 좌표축은 원점에서 교차하며, 이 축을 기준으로 2차원 공간의 임의의 점의 위치는 두 개의 실수로 이루어진 순서쌍으로 주어진다. 각 숫자는 주어진 축을 따라 측정한 원점으로부터의 거리를 나타내며, 이는 다른 축으로부터의 해당 점의 거리와 같다.

4. 2. 극좌표계

극좌표계는 원점으로부터의 거리와 오른쪽 방향 기준선에 대한 각도로 점을 지정하여 평면 위의 점을 나타내는 좌표계이다.^[4]

5. 선형대수학

선형대수학에서 독립성이라는 개념은 평면을 이해하는 데 매우 중요하다. 평면은 직사각형의 길이가 너비와 독립적이므로 2차원을 가진다. 선형대수학적 관점에서, 평면은 평면 위의 모든 점이 두 개의 독립적인 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있기 때문에 2차원 공간으로 간주된다.

내적에 대한 내용은 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

5. 1. 내적

선형대수학에서 두 벡터 '''A'''^영어 = [A₁, A₂]와 '''B'''^영어 = [B₁, B₂]의 내적은 다음과 같이 정의된다.^[5]

: A · B = A₁B₁ + A₂B₂

벡터는 화살표로 묘사될 수 있는데, 크기는 길이이고 방향은 화살표가 가리키는 방향이다. 벡터 '''A'''^영어의 크기는 ||'''A'''||로 표기된다. 이 관점에서, 두 유클리드 벡터 '''A'''^영어와 '''B'''^영어의 내적은 다음과 같이 정의된다.^[6]

: '''A''' · '''B''' = ||'''A'''|| ||'''B'''|| cosθ

여기서 θ는 '''A'''와 '''B''' 사이의 각도이다.

벡터 '''A'''^영어와 자기 자신의 내적은

: '''A''' · '''A''' = ||'''A'''||²

이며, 이를 통해

: ||'''A'''|| = √'''A''' · '''A'''

벡터의 유클리드 길이 공식이 도출된다.

6. 미적분학

미적분학에서 평면은 다양한 함수의 정의역 또는 그래프로 나타난다. 2변수 함수의 기울기, 선적분과 이중 적분, 선적분 기본 정리, 그린 정리 등이 평면과 관련되어 있다.

6. 1. 기울기(Gradient)

2변수 함수

f(x,y)

의 기울기는 각 변수에 대한 편미분으로 구성된 벡터로 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} \,.

^[1]

6. 2. 선적분과 이중 적분

어떤 스칼라장 ''f'' : ''U'' ⊆ '''R'''^''2'' → '''R'''에 대해, 구간별 매끄러운 곡선 ''C'' ⊂ ''U''를 따라가는 선적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int\limits_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\,dt,

여기서 '''r''': [a, b] → ''C''는 곡선 ''C''의 임의의 매개변수화이며, '''r'''(''a'')와 '''r'''(''b'')는 ''C''의 끝점을 나타내고

a < b

이다.

벡터장 '''F''' : ''U'' ⊆ '''R'''^''2'' → '''R'''^''2''에 대해, '''r'''의 방향으로 구간별 매끄러운 곡선 ''C'' ⊂ ''U''를 따라가는 선적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int\limits_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt,

여기서 ·는 점곱이고 '''r''': [a, b] → ''C''는 곡선 ''C''의 매개변수화이며, '''r'''(''a'')와 '''r'''(''b'')는 ''C''의 끝점을 나타낸다.

이중 적분은 '''R'''²의 영역 ''D'' 내에서 함수

f(x,y)

의 적분을 의미하며, 일반적으로 다음과 같이 표기한다.

:

\iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy.

6. 3. 선적분 기본 정리

선적분 기본 정리는 기울기 장의 선적분은 곡선의 양 끝점에서 원래의 스칼라장을 평가하여 계산할 수 있다는 정리이다.

\varphi : U \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

라고 할 때,

:

\varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_{\gamma[\mathbf{p},\mathbf{q}]} \nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r} ,

가 성립한다. 여기서 '''p''', '''q'''는 곡선 γ의 끝점이다.

6. 4. 그린 정리

양의 방향을 갖는, 구간별 매끄러운, 단순 폐곡선 ''C''와 ''C''로 둘러싸인 영역 ''D''가 있다고 하자. 만약 ''L''과 ''M''이 ''D''를 포함하는 열린 집합에서 정의된 (''x'', ''y'')의 함수이고, 여기서 연속 편미분을 갖는다면,^[7]^[8]

:

\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dx\, dy

여기서 C를 따라가는 적분 경로는 반시계 방향이다.

7. 위상수학

위상수학에서 평면은 유일한 가역 2차원 다양체로 특징지어진다.

차원은 평면에서 점을 제거하면 연결되어 있지만 단순 연결되지 않은 공간이 남는다는 사실로 특징지어진다.

8. 그래프 이론

그래프 이론에서, 평면 그래프는 평면에 임베딩될 수 있는 그래프이다. 즉, 모서리가 끝점에서만 교차하도록 평면에 그릴 수 있다. 다시 말해, 서로 교차하는 모서리가 없도록 그릴 수 있다.^[9] 이러한 그림을 ''평면 그래프'' 또는 ''그래프의 평면 임베딩''이라고 한다. 평면 그래프는 모든 노드를 평면의 점으로, 각 모서리를 해당 평면의 평면 곡선으로 매핑하여, 각 곡선의 극점이 해당 끝 노드에서 매핑된 점이고 모든 곡선이 극점을 제외하고는 서로 분리되도록 하는 평면 그래프로 정의할 수 있다.

9. 다른 수학 분야에서의 평면

수학에서 평면은 보통의 스칼라곱으로 정의되는 등거리사상을 동형사상으로 하여 주어지는 기하학적 구조 외에도, 추상화의 단계에 따라 다양하게 정의될 수 있다. 각 추상화 단계는 특정한 범주에 대응한다.^[10]

위상평면: 모든 기하학적 성질과 계량(거리) 관련 성질이 제외된 평면이다. 구멍이 없는 무한한 고무판과 같으며, 멀고 가까움은 있지만 거리 개념은 없고, 경로 개념은 있지만 직선 개념은 없다. 평면 그래프를 다루는 그래프 이론의 자연스러운 맥락이 되며, 사색 정리도 위상평면의 맥락에서 이루어진 것이다. 위상평면 또는 그와 동등한 공간인 열린 원판(경계를 포함하지 않는 원의 내부)은 낮은 차원에 대한 위상수학에서 곡면(혹은 2차원 다양체)를 구성할 때 사용되는 기본적인 근방이다.^[10]

복소평면, 아핀 공간, 매끄러운 다양체 외에도, 평면은 가장 간단한 1차원 복소다양체로 볼 수 있으며, 이 경우 복소직선이라고도 한다. 그러나 이는 평면을 실수에 대한 2차원 다양체로 보는 것과는 대조적이다. 이 경우 동형사상은 공형인 일대일 대응이지만, 가능한 것은 한 복소수를 곱하거나 더하는 것을 합성한 사상들뿐이다.^[10]

유클리드 기하(모든 곳에서 곡률이 0) 외에도, 입체화법적 투영을 통해 구면 기하를 줄 수 있다. 이는 평면 위에 구를 놓고, 구의 꼭대기 점을 없앤 후, 이 점에서 광선이 나와 구의 표면을 바닥에 비추는 것이다. 실제로 지도를 만들 때 이와 비슷한 방법을 쓰며, 이렇게 얻어진 기하학적 구조는 모든 점에서 일정한 양의 곡률을 갖는다.^[10]

평면은 일정한 음의 곡률을 갖는 쌍곡 평면이 되도록 계량을 줄 수도 있다. 이는 특수상대성이론에서 시공간을 1차원 공간과 1차원 시간을 갖는 2차원 공간으로 단순화할 때 응용된다.^[10]

9. 1. 복소평면

스칼라곱으로 정의되는 등거리사상을 동형사상으로 하여 주어지는 보통의 기하학적 구조 이외에, 추상화의 여러 단계에 따라 평면 또한 여러 가지 방식으로 생각할 수 있는데, 기하학적인 평면에 적당한 체의 구조를 주어(다시 말해 평면 위의 점의 집합과 복소수의 집합을 일대일 대응시켜) 복소평면을 구성할 수 있다.^[10] 복소평면은 복소함수론의 기초가 된다. 복소수 체는 단 두 개의 동형사상을 갖는데, 하나는 항등사상이고 다른 하나는 켤레복소수 취하기이다.^[10]

9. 2. 아핀 공간

평면은 아핀 공간으로 생각할 수 있다. 아핀 공간에서는 거리가 없으나 한 직선 위에 있다는 개념과 거리의 비는 보존된다. 이러한 관점에서 아핀 공간에 대한 동형사상은 평행이동과 정칙인(특이하지 않은) 선형 변환의 합성이다.^[10]

9. 3. 매끄러운 다양체

미분기하에서 평면은 2차원 매끄러운 다양체, 즉 매끄러움 구조가 주어진 위상평면으로 볼 수 있다.^[10] 이 경우 거리 개념은 없지만, 곡선이나 곡면(정확히는 사상)의 매끄러움, 예를 들어 매끄러운 경로의 개념을 정의할 수 있다. 이때 공간의 구조를 결정하는 동형사상은 주어진 횟수만큼 미분 가능한 일대일 대응이다.

10. 기타

평면은 쌍곡 평면이 되도록 계량을 줄 수도 있으며, 특수 상대성 이론에서 시공간을 1차원의 공간과 1차원의 시간을 갖는 2차원 공간으로 단순화하여 생각할 때 응용된다.^[10]

참조

_[1] 백과사전 Analytic geometry https://www.britanni[...]
_[2] 서적 A History of Mathematics Addison-Wesley
_[3] Harvnb
_[4] 기타
_[5] 서적 Linear Algebra (Schaum's Outlines) McGraw Hill
_[6] 서적 Vector Analysis (Schaum's Outlines) McGraw Hill
_[7] 서적 Mathematical methods for physics and engineering Cambridge University Press
_[8] 서적 Vector Analysis (2nd Edition) McGraw Hill (USA)
_[9] 서적 Introduction to Graph Theory http://store.doverpu[...] Dover Pub. 2012-08-08
_[10] 사전 平面広辞苑

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