매장 (수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 관련 개념
5. 응용
참조

1. 개요

매장(Embedding)은 수학에서 어떤 구조를 다른 구조 안에 포함시키는 단사 사상을 의미한다. 위상 공간, 매끄러운 다양체, 리만 다양체, 체, 보편 대수, 순서 집합, 거리 공간, 범주 등 다양한 수학적 구조에서 정의되며, 각 구조의 특성을 보존하는 방식으로 한 구조를 다른 구조의 부분으로 나타낸다. 예를 들어 위상 공간의 매장은 위상적 성질을 보존하며, 매끄러운 매장은 미분 구조를 보존한다. 매장은 휘트니 매장 정리, 내시 매장 정리, 드보레츠키의 정리 등 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 하며, 침입, 부분 다양체, 기본적 매립 등의 관련 개념을 가진다.

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매장 (수학)

2. 정의

주어진 수학적 구조와 범주에 따라 매장의 정의는 조금씩 달라진다.

일반 위상수학에서 매장은 그 이미지 위로의 위상 동형이다.^[3] 좀 더 구체적으로, 위상 공간 사이의 단사 연속 사상 : → 가 와 사이의 위상 동형을 제공한다면 (여기서 는 로부터 상속된 부분 공간 위상을 갖는다) '''위상 매장'''이다.
미분 위상수학에서, 과 을 매끄러운 다양체라고 하고, : → 을 매끄러운 사상이라고 할 때, 의 도함수가 모든 곳에서 단사이면 를 침입이라고 한다. '''임베딩''' 또는 '''매끄러운 임베딩'''은 위상적 의미에서 임베딩인 침입으로 정의된다.^[4]
리만 기하학과 의사 리만 기하학에서, 과 를 리만 다양체 또는 더 일반적으로 의사 리만 다양체라고 할 때, '''등거리 매장'''은 (의사)계량을 보존하는 매끄러운 매장 : → 이며, 즉 는 에 의한 의 당김과 같다. 즉, 이다. 구체적으로, 모든 두 접선 벡터 ∈ 에 대해 다음이 성립한다.

::

체론에서, 체 의 체 로의 '''임베딩'''은 환 준동형사상 : → 이다. 의 핵은 의 아이디얼이며, 조건을 만족하기 때문에 전체 체 가 될 수 없다. 또한, 임의의 체는 0 아이디얼과 전체 체 자신만을 아이디얼로 가진다. 따라서, 핵은 이며, 따라서 체의 임베딩은 모두 단사 사상이다.
순서론에서, 부분 순서 집합의 임베딩은 다음과 같은 함수 이다. 부분 순서 집합 와 사이에서:

::

거리 공간의 사상 : → 는 모든 , ∈ 에 대해

::

를 만족하는 상수 > 0가 존재할 때, ''임베딩'' (왜곡 > 0)이라고 부른다.

범주론에서 모든 범주에 적용할 수 있는 만족스럽고 일반적으로 받아들여지는 임베딩의 정의는 없다.

2. 1. 위상 공간의 매장

위상 공간

X

,

Y

사이의 '''매장'''

\iota\colon X\to Y

은

X

와 부분공간 위상을 부여한 상

\iota(X)

사이의 위상동형사상인 연속 함수이다.^[3]

좀 더 구체적으로, 위상 공간

X

와

Y

사이의 단사 연속 사상

f : X \to Y

가

f

가

X

와

f(X)

사이의 위상 동형을 제공한다면 (여기서

f(X)

는

Y

로부터 상속된 부분 공간 위상을 갖는다) '''위상 매장'''이다. 직관적으로, 매장

f : X \to Y

를 통해

X

를

Y

의 부분 공간으로 취급할 수 있다.

모든 매장은 단사이고 연속이다. 단사, 연속이고 열린 또는 닫힌 중 하나인 모든 사상은 매장이다. 그러나 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 매장도 있다. 후자의 경우는 이미지

f(X)

가

Y

에서 열린 집합도 아니고 닫힌 집합도 아닌 경우 발생한다.

주어진 공간

Y

에 대해, 매장

X \to Y

의 존재는

X

의 위상 불변량이다. 이를 통해 한 공간이 다른 공간에는 매장될 수 있지만, 다른 공간에는 매장될 수 없는 경우 두 공간을 구별할 수 있다.

함수

f : X \to Y

의 정의역이 위상 공간이면, 이 함수는 어떤 점에 대해 국소 단사라고 하며, 이 점의 어떤 근방

U

가 존재하여 제한

f\big\vert_U : U \to Y

가 단사 함수가 된다. 이는 정의역의 모든 점 주변에서 국소적으로 단사일 경우 국소 단사 함수라고 불린다. 마찬가지로, 국소 (위상, 각각 매끄러운) 매장은 정의역의 모든 점이 제한이 (위상, 각각 매끄러운) 매장인 근방을 갖는 함수이다.

모든 단사 함수는 국소 단사 함수이지만 그 역은 성립하지 않는다. 국소 미분 동형 사상, 국소 동형 사상, 매끄러운 매장은 모두 반드시 단사 함수는 아닌 국소 단사 함수이다. 역함수 정리는 연속적으로 미분 가능한 함수가 (무엇보다도) 국소 단사 함수가 되기 위한 충분 조건을 제공한다. 국소 단사 함수

f : X \to Y

의 모든 올은 반드시 정의역

X

의 이산 부분 공간이다.

위상 공간론에서, 매립은 상으로의 동상사상을 말한다.^[8] 즉, 위상 공간 ''X''와 ''Y'' 사이의 단사 연속 사상 ''f'': ''X'' → ''Y''이며, (''f''(''X'')에는 ''Y''의 상대 위상을 넣어서) ''f''가 ''X''와 ''f''(''X'') 사이의 동상사상인 것을 말한다.

주어진 공간 ''X''에 대해, 매립 ''X'' → ''Y''의 존재는 ''X''의 위상적 성질이다. 이를 통해 두 위상 공간을, 한쪽은 어떤 공간에 매립할 수 있지만 다른 한쪽은 매립할 수 없는 경우, 구별할 수 있다.

2. 2. 매끄러운 매장

매끄러운 다양체

M

과

N

사이의 '''매끄러운 매장'''은 위상 공간 사이의 매장이면서 몰입인 함수

\iota\colon M\to N

이다.^[4]

다시 말해, 매끄러운 매장의 정의역은 그 치역과 미분동형이며, 특히 매끄러운 매장의 치역은 부분 다양체가 된다. 몰입은 정확히 '''국소 매끄러운 매장'''이다. 즉, 모든 점

x\in M

에 대해

f:U\to N

이 매끄러운 매장이 되도록 하는 근방

x\in U\subset M

이 존재한다.^[9]

정의역 다양체가 콤팩트일 때, 매끄러운 매장의 개념은 단사 몰입의 개념과 같다.

N = \mathbb{R}^n

인 경우는 중요한 경우이다. 여기서 관심은

M

의 차원

m

에 관하여, 매끄러운 매장에 대해

n

이 얼마나 커야 하는가이다. 휘트니 매장 정리^[5]에 따르면

n = 2m

이면 충분하며, 이것이 최상의 선형 경계이다. 예를 들어, 차원

m

인 실수 사영 공간

\mathbb{R}\mathrm{P}^m

의 경우,

m

이 2의 거듭제곱일 때 매끄러운 매장을 위해

n = 2m

이 필요하다.

2. 3. 등거리 매장

리만 다양체

(M,g_M)

과

(N,g_N)

사이의 '''등거리 매장'''(等거리埋藏, isometric embedding^영어)은 다음 조건을 만족하는 함수

\iota\colon M\to N

이다.

$\iota$ 는 매끄러운 매장이다.
$\iota^*g_N=g_M$ 이다. 여기서 $\iota^*$ 는 당김이다.

리만 기하학에서, 등거리 매장은 곡선의 길이를 보존하는 매끄러운 매장이다.^[6] 즉, 계량을 보존하여 거리와 각도를 보존하면서 한 다양체를 다른 다양체에 집어넣는 것을 의미한다.

(M,g)

와

(N,h)

를 리만 다양체 또는 의사 리만 다양체라고 할 때, 등거리 매장은 (의사) 리만 계량을 보존하는 매끄러운 매장

f:M\rightarrow N

이며, 이는

g

가

f

에 의한

h

의 당김과 같다는 것을 의미한다. 즉,

g=f^{*}h

이다.

구체적으로, 모든 두 접선 벡터

v,w\in T_x(M)

에 대해 다음이 성립한다.

:

g(v,w)=h(df(v),df(w)).

2. 4. 대수적 구조에서의 매장

체론에서, 체

E

의 체

F

로의 매장은 환 준동형사상이다.

\sigma

의 핵은

E

의 아이디얼이며,

1=\sigma(1)=1

조건을 만족하기 때문에 전체 체

E

가 될 수 없다. 또한, 임의의 체는 0 아이디얼과 전체 체 자신만을 아이디얼로 가진다. 따라서 핵은

0

이며, 체의 매장은 모두 단사 사상이다.^[3] 결과적으로

E

는

F

의 부분체

\sigma(E)

와 동형이다.

보편 대수학과 모형 이론에서 매장은 구조를 보존하는 단사 함수이다.

\sigma

가 시그니처이고

A,B

가

\sigma

-구조 (보편 대수학에서는

\sigma

-대수, 모형 이론에서는 모형이라고도 함)라면, 사상

h:A \to B

가

\sigma

-매립이기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

$h$ 는 단사 함수이다.
모든 $n$ 항 함수 기호 $f \in\sigma$ 와 $a_1,\ldots,a_n \in A^n$ 에 대해, $h(f^A(a_1,\ldots,a_n))=f^B(h(a_1),\ldots,h(a_n))$ 이 성립한다.
모든 $n$ 항 관계 기호 $R \in\sigma$ 와 $a_1,\ldots,a_n \in A^n$ 에 대해, $A \models R(a_1,\ldots,a_n)$ iff $B \models R(h(a_1),\ldots,h(a_n))$ 이 성립한다.

2. 5. 순서 관계에서의 매장

순서론에서, 부분 순서 집합의 매장은 부분 순서 집합

X

와

Y

사이에서 다음 조건을 만족하는 함수

F

이다.

:

\forall x_1,x_2\in X: x_1\leq x_2 \iff F(x_1)\leq F(x_2).

이 정의에서 함수

F

의 단사성은 자연스럽게 도출된다. 도메인 이론에서는 다음의 추가 조건이 필요하다.

:

\forall y\in Y:\{x \mid F(x) \leq y\}

가 방향 집합이다.

2. 6. 거리 공간에서의 매장

거리 공간 사이의 사상

\phi: X \to Y

가 다음 조건을 만족하는 상수

L>0

와

C>0

가 존재할 때, ''매장''이라고 한다.

:

L d_X(x, y) \leq d_Y(\phi(x), \phi(y)) \leq CLd_X(x,y)

즉, 거리 공간에서의 매장은 거리의 비율을 일정 범위 안에서 유지하는 함수이다.

2. 7. 범주론에서의 매장

범주론에서는 모든 범주에 적용할 수 있는 만족스럽고 일반적으로 받아들여지는 매장의 정의는 없다. 모든 동형 사상과 모든 매장의 합성은 매장이며, 모든 매장은 단사 사상이어야 한다. 다른 전형적인 요구 사항은 다음과 같다. 모든 극단 단사 사상은 매장이며, 매장은 당김에 대해 안정적이다.

이상적으로는, 주어진 객체의 모든 매장된 부분 객체의 클래스는 동형 사상을 제외하고 작은 클래스여야 하며, 따라서 순서 집합이어야 한다. 이 경우, 범주는 매장 클래스에 대해 잘 덮여 있다고 한다. 이를 통해 범주에서 새로운 국소 구조(예: 폐포 연산자)를 정의할 수 있다.

구체적인 범주에서 '''매장'''은

f:A\rightarrow B

형태의 사상으로,

A

의 기본 집합에서

B

의 기본 집합으로의 단사 함수이며, 다음과 같은 의미에서 '''초기 사상'''이기도 하다. 만약

g

가 객체

C

의 기본 집합에서

A

의 기본 집합으로의 함수이고,

f

와의 합성이 사상

fg:C\rightarrow B

이면,

g

자체도 사상이다.

범주에 대한 인수분해 시스템은 또한 매장의 개념을 낳는다.

(E,M)

이 인수분해 시스템이면,

M

에 있는 사상들은 매장으로 간주될 수 있으며, 특히 범주가

M

에 대해 잘 덮여 있을 때 그렇다. 구체적인 이론은 종종 이전 의미에서의 매장으로 구성된

M

을 가진 인수분해 시스템을 가지고 있다. 이것은 이 기사에서 주어진 대부분의 예시에서 해당된다.

범주론에서 흔히 그렇듯이, 쌍대 개념이 있으며, 이는 몫으로 알려져 있다. 앞서 언급된 모든 속성은 쌍대화될 수 있다.

매장은 또한 매장 함자를 지칭할 수도 있다.

3. 성질

모든 $n$ 차원 다양체는 $2n$ 차원 유클리드 공간에 매끄럽게 매장할 수 있다. 이를 '''휘트니 매장 정리'''라고 한다.^[4]^[5] 실수 사영 공간과 같이, 차원에 따라서는 더 낮은 차원의 유클리드 공간에 매장할 수 없는 경우도 있다. 예를 들어 $m$ 차원 실수 사영 공간 $\mathbb{R}\mathrm{P}^m$ 의 경우, $m$ 이 2의 거듭제곱일 때 매장을 위해 $2m$ 차원이 필요하다. 그러나 $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ 는 보이의 곡면처럼 $\mathbb{R}^3$ 에 침입될 수 있다.^[5]

4. 관련 개념

침입은 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 사상 중에서, 그 도함수가 모든 점에서 단사인 함수이다.^[4] 침입은 국소적으로 매장과 유사하지만, 전체적으로는 자기 교차 등이 발생할 수 있다.

부분 다양체는 어떤 다양체의 부분집합이면서, 그 자체로도 다양체의 구조를 갖는 것이다. 매끄러운 매장의 상은 항상 부분 다양체가 된다.

기본적 매립은 모형 이론에서 사용되는 개념으로, 두 구조 사이의 관계를 더 강하게 보존하는 매장이다.

5. 응용

리만 기하학과 의사 리만 기하학에서, 등거리 매장은 곡선의 길이를 보존하는 매끄러운 매장이다. (cf. 내시 매장 정리)^[6]

유한 차원 노름 공간 $(X, \| \cdot \|)$ 에 대해 "힐베르트 공간 $\ell_2^k$ 가 상수 왜곡으로 $X$ 에 선형적으로 매장될 수 있는 최대 차원 $k$ 는 무엇인가?"라는 기본적인 질문을 할 수 있다. 이에 대한 답은 드보레츠키의 정리에 의해 주어진다.

참조

_[1] 서적
_[2] 웹사이트 Arrows – Unicode https://www.unicode.[...] 2017-02-07
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 논문 Differentiable manifolds
_[6] 논문 The embedding problem for Riemannian manifolds
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적

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