치터베베궁

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1. 개요
2. 이론
- 2.1. 자유 페르미온 (스핀-1/2 입자)
- 2.2. 치터베베궁의 해석
3. 실험적 검증 및 시뮬레이션
참조

1. 개요

치터베베궁은 슈뢰딩거 방정식에서 디랙 방정식을 따르는 전자의 위치 연산자를 하이젠베르크 묘사에서 시간에 대해 풀 때 나타나는 항이다. 이는 양의 에너지 파와 음의 에너지 파 사이의 간섭으로 발생하며, 양자전기역학에서는 전자와 양전자의 쌍생성 및 쌍소멸 과정과의 상호작용으로 설명된다. 치터베베궁은 자유 상대론적 입자에서는 직접 관측하기 어렵지만, 이온 트랩, 보즈-아인슈타인 응축물, 광학 트랩, 광격자, 양자 셀룰러 오토마타, 반도체 나노 구조체, 그래핀, 위상절연체 등 다양한 물리적 시스템을 이용하여 간접적으로 관찰하거나 시뮬레이션하는 연구가 진행되었다.

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치터베베궁
지터베베궁
개요
설명	입자 효과
독일어 표기	Zitterbewegung
IPA (독일어)	/ˈtsɪtɐ.bəˌveːɡʊŋ/
어원	zittern (떨다, 흔들다) Bewegung (운동)
영어 번역	떨림 운동 (jitter motion)
발견
최초 제안	그레고리 브라이트 (1928년)
슈뢰딩거	에르빈 슈뢰딩거 (1930년, 1931년)
이론적 배경
관련 이론	상대론적 양자역학
원리	디랙 방정식에서 비롯된 입자의 떨림 또는 진동 운동
주파수	}} ()
설명	전자와 같은 페르미온 입자가 빛의 속도에 가까운 속도로 이동할 때 관찰되는 떨림 운동 입자의 위치와 운동량이 동시에 정확하게 결정될 수 없다는 불확정성 원리와 관련됨
참고 문헌
브라이트 (1928)	https://www.pnas.org/doi/abs/10.1073/pnas.14.7.553
그라이너 (1995)	https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-88082-7
슈뢰딩거 (1930)	https://www.worldcat.org/ko/title/uber-die-kraftfreie-bewegung-in-der-relativistischen-quantenmechanik/oclc/881393652
슈뢰딩거 (1931)	Zur Quantendynamik des Elektrons
통 (2017)	https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/aqm/aqm.pdf
일본물리학회지 (2018)	https://doi.org/10.11316/butsuri.73.11_776
추가 정보	상대론적 파동 함수와 관련됨

2. 이론

슈뢰딩거 방정식에서 시작하여, 디랙 해밀토니안 연산자는 다음과 같다.

: $H = \left(\alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c\right)$

하이젠베르크 묘사에서 임의의 연산자 ''Q''는 다음 관계식을 따른다.

: $-i \hbar \frac{\partial Q}{\partial t} (t)= \left[ H , Q \right].$

이를 입자의 위치에 대해 적용하면,

: $\hbar \frac{\partial x_k}{\partial t} (t)= i\left[ H , x_k \right] = c\alpha_k \,\!$

여기서 $\alpha_k \equiv \gamma_0 \gamma_k$ 이며, 이는 속도로 해석할 수 있다.

시간에 따라 해를 구하면

: $\hbar \frac{\partial \alpha_k}{\partial t} (t)= i\left[ H , \alpha_k \right] = 2[i \gamma_k m - \sigma_{kl}p^l] = 2i[p_k-\alpha_kH]$

( $\sigma_{kl} \equiv \frac{i}{2}[\gamma_k,\gamma_l]$ 이다.)

$p_k$ 와 $H$ 는 시간에 따라 일정하므로, 위 식들을 정리하면 다음과 같다.

: $\alpha_k (t) = \alpha_k (0) e^{-2 i H t / \hbar} + c p_k H^{-1}$

: $x_k(t) = x_k(0) + c^2 p_k H^{-1} t + {1 \over 2 } i \hbar c H^{-1} ( \alpha_k (0) - c p_k H^{-1} ) ( e^{-2 i H t / \hbar } - 1 ) \,\!$

( $x_k(t)$ 는 위치) 여기서 세 번째 항이 치터베베궁을 나타낸다.

치터베베궁은 양의 에너지 파와 음의 에너지 파의 간섭으로 인해 발생한다.

2. 1. 자유 페르미온 (스핀-1/2 입자)

디랙 방정식에 따르면, 스핀-1/2을 갖는 페르미온 입자의 파동 함수(비스피너)

\psi(\mathbf{x},t)

는 다음 방정식을 만족한다.

:

H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t)

여기서

\hbar

는 환산 플랑크 상수이며,

H

는 자유 입자의 디랙 해밀토니안이다.

:

H = \beta mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j c

$m$ : 입자의 질량
$c$ : 광속
$p_j$ : 운동량 연산자
$\beta$ , $\alpha_j$ : 감마 행렬 $\gamma_\mu$ 와 관련된 행렬 ( $\beta=\gamma_0$ , $\alpha_j=\gamma_0\gamma_j$ )

하이젠베르크 그림에서 임의의 관측 가능량

Q

의 시간 의존성은 다음 방정식을 따른다.

:

-i \hbar \frac{d Q}{d t} = \left[ H , Q \right] .

특히, 위치 연산자의 시간 의존성은 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{d x_k(t)}{d t} = \frac{i}{\hbar}\left[ H , x_k \right] = c\alpha_k

.

여기서

x_k(t)

는 시간

t

에서의 위치 연산자이다. 위 방정식은

\alpha_k

연산자를 "속도 연산자"의

k

번째 성분으로 해석할 수 있음을 보여준다.

\alpha_k

에 시간 의존성을 추가하면 다음과 같다.

:

\alpha_k (t) = e^\frac{i H t}{\hbar}\alpha_k e^{-\frac{i H t}{\hbar}}

.

속도 연산자의 시간 의존성은 다음과 같이 주어진다.

:

\hbar \frac{d \alpha_k(t)}{d t} = i\left[ H , \alpha_k \right] = 2\left(i \gamma_k m - \sigma_{kl}p^l\right) = 2i\left(cp_k-\alpha_k(t)H\right)

,

여기서

:

\sigma_{kl} \equiv \frac{i}{2}\left[\gamma_k,\gamma_l\right] .

p_k

와

H

가 모두 시간에 무관하므로, 위 방정식을 두 번 적분하여 위치 연산자의 명시적인 시간 의존성을 찾을 수 있다.

먼저:

:

\alpha_k (t) = \left(\alpha_k (0) - c p_k H^{-1}\right) e^{-\frac{2 i H t}{\hbar}} + c p_k H^{-1}

,

그리고:

:

x_k(t) = x_k(0) + c^2 p_k H^{-1} t + \tfrac12 i \hbar c H^{-1} \left( \alpha_k (0) - c p_k H^{-1} \right) \left( e^{-\frac{2 i H t}{\hbar}} - 1 \right)

.

결과적으로 얻어진 식은 초기 위치, 시간에 비례하는 운동, 그리고 진폭이 환산 콤프턴 파장과 같은 진동 항으로 구성된다. 이 진동 항이 치터베베궁이다.

2. 2. 치터베베궁의 해석

치터베베궁 항은 양의 에너지 파와 음의 에너지 파 사이의 간섭으로 인해 발생한다.^[6] 양자전기역학(QED)에서는 음의 에너지 상태를 양전자 상태로 대체하고, 치터베베궁을 전자와 양전자가 쌍을 생성하고 소멸하는 과정과의 상호작용으로 설명한다.^[7]^[21]

로저 펜로즈는 디랙 방정식을 재구성하여 치터베베궁을 질량이 없는 두 성분(왼손성과 오른손성)이 서로 변환하는 과정으로 해석하는 '지그재그 모형'을 제시하였다.^[9]

3. 실험적 검증 및 시뮬레이션

자유 상대론적 입자의 치터베베궁은 아직 직접 관측된 적이 없지만, 일부 연구자들은 그 존재를 뒷받침하는 증거를 발견했다고 믿고 있다.^[10] 2008년에는 광격자(optical lattices)에서 초저온 원자의 치터베베궁과 같은 진동이 예측되었다.^[13]

디랙 방정식과 유사한 형태를 가지는 다른 물리적 시스템을 이용하여 치터베베궁 현상을 간접적으로 관찰하거나 시뮬레이션하는 연구들이 진행되었다. 응축 물질 유사체에 대한 제안으로는 반도체 나노 구조체, 그래핀 및 위상절연체가 있다.^[16]^[17]^[18]^[19]

3. 1. 이온 트랩

2010년, 포획된 이온을 이용한 실험에서 디랙 방정식과 동일한 수학적 형태를 갖는 환경을 조성하여 치터베베궁 현상을 시뮬레이션하는 데 성공했다.^[11]^[12] 이 실험에서는 이온에 대한 비상대론적 슈뢰딩거 방정식이 디랙 방정식과 같은 수학적 형태를 갖도록 환경을 조성했지만, 물리적 상황은 달랐다.^[23]^[24]

2013년에는 광학 트랩에 가두어진 50,000개의 ⁸⁷Rb 원자로 이루어진 보즈-아인슈타인 응축물에서 치터베베궁을 시뮬레이션했다.^[14]^[25]

3. 2. 보즈-아인슈타인 응축 (BEC)

2013년, 광학 트랩에 갇힌 50,000개의 루비듐(⁸⁷Rb) 원자로 이루어진 보즈-아인슈타인 응축물을 이용한 실험에서 치터베베궁 현상이 시뮬레이션되었다.^[14]^[25] 이는 자유 상대론적 입자의 치터베베궁이 직접 관측된 것은 아니지만, 응축 물질 환경에서 유사 현상을 구현하여 간접적으로 그 존재를 확인한 실험이다.^[22]

3. 3. 기타 응집물질 시스템

반도체 나노 구조, 그래핀, 위상절연체 등에서도 치터베베궁 현상과 유사한 현상이 나타날 수 있다는 이론적 예측이 제기되었다.^[16]^[17]^[18]^[19]

3. 4. 양자 셀룰러 오토마타

빛의 궤도 각운동량 상태를 이용한 양자 셀룰러 오토마타(quantum cellular automaton)에서 치터베베궁의 광학적 유사체가 시연되었다.^[15]

참조

_[1] 논문 An Interpretation of Dirac's Theory of the Electron 1928
_[2] 서적 Relativistic Quantum Mechanics https://link.springe[...] 1995
_[3] 서적 Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik 1930
_[4] 서적 Zur Quantendynamik des Elektrons 1931
_[5] 서적 Applications of Quantum Mechanics https://www.damtp.ca[...] University of Cambridge
_[6] 서적 Relativistic Quantum Mechanics https://link.springe[...] 1995
_[7] 논문 Zitterbewegung in quantum field theory 2008
_[8] 웹사이트 Dirac equation - is Zitterbewegung an artefact of single-particle theory? https://physics.stac[...]
_[9] 서적 The Road to Reality Alfred A. Knopf 2004
_[10] 논문 A Search for the de Broglie Particle Internal Clock by Means of Electron Channeling 2008-07-01
_[11] 논문 Quantum physics: Trapped ion set to quiver http://www.nature.co[...] 2010
_[12] 논문 Quantum simulation of the Dirac equation
_[13] 논문 Observing Zitterbewegung with Ultracold Atoms
_[14] 논문 Direct observation of zitterbewegung in a Bose–Einstein condensate
_[15] arXiv Photonic cellular automaton simulation of relativistic quantum fields: observation of Zitterbewegung
_[16] 논문 Zitterbewegung of Electronic Wave Packets in III-V Zinc-Blende Semiconductor Quantum Wells
_[17] 논문 Zitterbewegung, chirality, and minimal conductivity in graphene
_[18] 논문 Optically engineering the topological properties of a spin Hall insulator
_[19] 논문 Anomalous Electron Trajectory in Topological Insulators
_[20] 논문 最近の研究から—半導体の電気伝導におけるZitterbewegung（ジグザグ運動）
_[21] 논문 Zitterbewegung in quantum field theory
_[22] 논문 A Search for the de Broglie Particle Internal Clock by Means of Electron Channeling 2008-07-01
_[23] 논문 Quantum physics: Trapped ion set to quiver https://www.nature.c[...] 2010
_[24] 논문 Quantum simulation of the Dirac equation
_[25] 논문 Direct observation of zitterbewegung in a Bose–Einstein condensate
_[26] 논문 Zitterbewegung of Electronic Wave Packets in III-V Zinc-Blende Semiconductor Quantum Wells
_[27] 논문 Zitterbewegung, chirality, and minimal conductivity in graphene
_[28] 논문 Optically engineering the topological properties of a spin Hall insulator
_[29] 논문 Anomalous Electron Trajectory in Topological Insulators

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