카스틸리아노의 정리

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1. 개요
2. 카스틸리아노의 제1정리
3. 카스틸리아노의 제2정리
4. 최소 일의 정리 (참고)
5. 적용과 한계
참조

1. 개요

카스틸리아노의 정리는 탄성 구조물의 변형 에너지와 변위 또는 하중 간의 관계를 나타내는 두 가지 정리로 구성된다. 제1정리는 변형 에너지를 변위의 함수로 나타낼 때 변형 에너지를 변위에 대해 편미분한 값이 하중과 같다는 것을, 제2정리는 변형 에너지를 하중의 함수로 나타낼 때 변형 에너지를 하중에 대해 편미분한 값이 변위와 같다는 것을 의미한다. 이 정리는 외팔보와 같은 구조물의 처짐 계산에 적용될 수 있지만, 변형 에너지가 유한해야 하며, 2차원 및 3차원 문제에는 일반적으로 적용되지 않는다는 한계를 갖는다.

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카스틸리아노의 정리
개요
분야	구조역학
종류	정리
이름의 유래	카를로 알베르토 카스틸리아노
카스틸리아노의 제1 정리
내용	탄성 구조물의 변형 에너지를 일반화된 변위 qᵢ의 함수로 표현할 수 있다면, 일반화된 변위에 대한 변형 에너지의 편미분은 일반화된 힘 Qᵢ를 제공한다.
수식	Qᵢ = ∂U/∂qᵢ
비선형	힘-변위 곡선이 비선형인 경우, 변형 에너지 대신 상보 변형 에너지를 사용해야 함.
카스틸리아노의 제2 정리
내용	선형 탄성 구조물의 변형 에너지를 일반화된 힘 Qᵢ의 함수로 표현할 수 있다면, 일반화된 힘에 대한 변형 에너지의 편미분은 Qᵢ 방향의 일반화된 변위 qᵢ를 제공한다.
수식	qᵢ = ∂U/∂Qᵢ

2. 카스틸리아노의 제1정리

어떠한 탄성 구조물의 변형 에너지를 변위 $\delta _i$ 의 함수로 나타낼 수 있다면, 변형 에너지를 변위에 대해 편미분한 값은 하중 $P _i$ 와 같다.

즉, 변형 에너지를 $U$ 라고 하면,

: $P _i = \frac{\partial U}{\partial \delta _i} \quad \left( i=1, 2, 3, ..., n \right)$

이다.

변형 에너지 $U$ 를 변위 $\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_I$ 의 함수로 나타낼 때, $i$ 지점에서의 외력 $P_i$ 는,

: $P_i =\frac{\partial U}{\partial \delta_i}$

로 나타낸다. 이를 '''카스틸리아노의 제1정리'''라고 한다.

3. 카스틸리아노의 제2정리

어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 하중 $P _i$ 의 함수로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 하중에 대해 편미분한 값은 변위 $\delta _i$ 와 같다.

: $\delta _i = \frac{\partial U}{\partial P _i} \quad \left( i=1, 2, 3, ..., n \right)$

변위와 외력이 선형 관계에 있을 것이 보장되는 계에서는, 변형 에너지 $U$ 를 외력 $P_1, P_2, \cdots, P_i$ 의 함수로 나타낼 때, $i$ 점에서의 변위 $\delta_i$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\delta_i =\frac{\partial U}{\partial P_i}$

이를 '''카스틸리아노의 제2정리'''라고 한다.

4. 최소 일의 정리 (참고)

부정정 구조에서 부정정력( $X_1, X_2, \cdots, X_i$ )은 변형 에너지가 최소가 되도록 작용한다. 즉,

: $\frac{\partial U}{\partial X_i}=0$

으로 나타낼 수 있다. 이것을 '''최소 일의 정리'''라고 한다.

5. 적용과 한계

카스틸리아노의 정리는 부정정 구조 해석에 유용하게 적용될 수 있지만, 몇 가지 한계점도 가지고 있다.
적용 조건 (변형 에너지의 유한성)카스틸리아노의 정리는 변형 에너지가 유한할 때 적용 가능하다. 이는 다음 조건을 만족해야 한다.^[2]

: $m - i > \frac{n}{2}$

$m$ : 에너지 차수 (에너지에서 가장 높은 미분)
$i$ : 디랙 델타의 지수 (단일 힘의 경우 $i = 0$ )
$n$ : 공간의 차원

2차 방정식의 경우

m = 1

이며, 힘(

i = 0

)과 변위(

i = 1

)의 두 디랙 델타가 있다. 4차 방정식의 경우

m = 2

이며, 힘(

i = 0

), 모멘트(

i = 1

), 굽힘(

i = 2

), 변위(

i = 3

)의 네 디랙 델타가 있다.

예를 들어 판의 경우,

m = 1, n = 2

이고, 단일 힘(

i = 0

)으로 하중을 받으면 부등식이 성립하지 않는다.(

1 - 0 \ngtr \frac{2}{2}

) 3차원에서도 마찬가지로

m = 1, n = 3, 1 - 0 \ngtr \frac{3}{2}

이다.

일반적으로 카스틸리아노의 정리는 2차원 및 3차원 문제에 적용되지 않는다. 예외는 Kirchhoff 판이며,

m = 2, n = 2, i = 0

이므로

2 -0 > \frac{2}{2}

이다. 그러나 모멘트(

i = 1

)는 Kirchhoff 판의 에너지를 초과시키므로,

2 - 1 \ngtr \frac{2}{2}

가 된다. 1차원 문제에서 변형 에너지는

m - i > \frac{1}{2}

이면 유한하다.

Menabrea의 정리도 동일한 제한을 받는다. 즉,

:

m - i > \frac{n}{2}

가 성립해야 한다. 여기서

i

는 지지 반력의 차수이며, 단일 힘의 경우

i = 0

, 모멘트의 경우

i = 1

이다. Kirchhoff 판과

i = 0

(지지 반력으로서의 단일 힘)을 제외하고는, 점 지지의 존재로 인해 무한히 큰 에너지가 발생하므로, 일반적으로 2차원 및 3차원에서 유효하지 않다.
한계카스틸리아노의 정리는 구조물 지점의 침하나 온도 변화 등에 따른 처짐 계산에는 사용될 수 없다.^[2]

5. 1. 적용 예 (외팔보)

길이 L, 휨강성이 EI인 외팔보의 자유단에 연직 중력방향으로 하중

P _1

만이 작용할 때, 하중 작용점에서의 처짐

\delta _1

을 구하기 위해 구조물의 변형에너지를 하중

P _1

의 함수로 나타내면 다음과 같다. (휨 변형만 고려)^[2]

:

U = \frac{1}{2EI} \int ^L _0 {\left( -P_1 x \right)}^2 dx = \frac{P_1 ^2 L^3}{6EI}

카스틸리아노의 제2정리에 의해

:

\delta_1 = \frac{\partial U}{\partial P_1} = \frac{P_1 L^3 }{3EI}

이것은 끝단 하중을 받는 외팔보에 대해 주어지는 표준 공식과 일치한다.^[2]

5. 2. 적용 조건 (변형 에너지의 유한성)

카스틸리아노의 정리는 변형 에너지가 유한할 때 적용된다. 이는 다음 조건에 해당한다.^[2]

:

m - i > n/2

$m$ : 에너지 차수 (에너지에서 가장 높은 미분)
$i$ : 디랙 델타의 지수 (단일 힘의 경우 $i = 0$ )
$n$ : 공간의 차원

2차 방정식의 경우

m = 1

이며, 힘(

i = 0

)과 변위(

i = 1

)의 두 디랙 델타가 있다. 4차 방정식의 경우

m = 2

이며, 힘(

i = 0

), 모멘트(

i = 1

), 굽힘(

i = 2

), 변위(

i = 3

)의 네 디랙 델타가 있다.

예를 들어 판의 경우,

m = 1, n = 2

이고, 단일 힘(

i = 0

)으로 하중을 받으면 부등식이 성립하지 않는다.(

1 - 0 \ngtr 2/2

) 3차원에서도 마찬가지로

m = 1, n = 3, 1 - 0 \ngtr 3/2

이다.

일반적으로 카스틸리아노의 정리는 2차원 및 3차원 문제에 적용되지 않는다. 예외는 Kirchhoff 판이며,

m = 2, n = 2, i = 0

이므로

2 -0 > 2/2

이다. 그러나 모멘트(

i = 1

)는 Kirchhoff 판의 에너지를 초과시키므로,

2 - 1 \ngtr 2/2

가 된다. 1차원 문제에서 변형 에너지는

m - i > 1/2

이면 유한하다.

Menabrea의 정리도 동일한 제한을 받는다. 즉,

:

m - i > n/2

가 성립해야 한다. 여기서

i

는 지지 반력의 차수이며, 단일 힘의 경우

i = 0

, 모멘트의 경우

i = 1

이다. Kirchhoff 판과

i = 0

(지지 반력으로서의 단일 힘)을 제외하고는, 점 지지의 존재로 인해 무한히 큰 에너지가 발생하므로, 일반적으로 2차원 및 3차원에서 유효하지 않다.

5. 3. 적용의 한계

카스틸리아노의 정리는 구조물 지점의 침하나 온도 변화 등에 따른 처짐 계산에는 사용될 수 없다.^[2]

카스틸리아노의 정리는 변형 에너지가 유한할 때 적용된다. 이는 $ m - i > n/2 $일 경우에 해당한다.^[2] 여기서,

$ m $ : 에너지의 차수 (에너지에서 가장 높은 미분)
$ i $ : 디랙 델타의 지수 (단일 힘의 경우 $ i = 0 $)
$ n $ : 공간의 차원

2차 방정식의 경우 $ m = 1 $이며, 힘($ i = 0 $)과 변위($ i = 1 $)의 두 디랙 델타가 있다. 4차 방정식의 경우 $ m = 2 $이며, 힘($ i = 0 $), 모멘트($ i = 1 $), 굽힘($ i = 2 $), 변위($ i = 3 $)의 네 디랙 델타가 있다.

판의 경우, $ m = 1, n = 2 $이고, 단일 힘($ i = 0 $)으로 하중을 받으면, 부등식은 $ 1 - 0 \ngtr 2/2 $ 이므로 유효하지 않다. 3차원에서도 마찬가지로 $ m = 1, n = 3, 1 - 0 \ngtr 3/2 $ 이다.

또한, 카스틸리아노의 정리는 막(라플라스) ($ m = 1, n = 2, i = 0 $)이나 Reissner-Mindlin 판 ($ m = 1, n = 2, i = 0 $)에도 적용되지 않는다. 일반적으로 2차원 및 3차원 문제에는 적용되지 않는다. 예외는 Kirchhoff 판이며, 이 경우 $ m = 2, n = 2, i = 0 $ 이므로 $ 2 - 0 > 2/2 $ 가 성립한다. 그러나, 모멘트($ i = 1 $)는 Kirchhoff 판의 에너지를 초과시키므로, $ 2 - 1 \ngtr 2/2 $가 된다. 1차원 문제에서 변형 에너지는 $ m - i > 1/2 $ 이면 유한하다.

Menabrea의 정리도 동일한 제한을 받는다. $ m - i > n/2 $ 가 유효해야 한다. 여기서 $ i $는 지지 반력의 차수이며, 단일 힘($ i = 0 $), 모멘트($ i = 1 $)이다. Kirchhoff 판과 $ i = 0 $ (지지 반력으로서의 단일 힘)을 제외하고는, 점 지지의 존재로 인해 무한히 큰 에너지가 발생하므로, 일반적으로 2차원 및 3차원에서 유효하지 않다.

참조

_[1] 서적 History of Strength of Materials Dover Publications 1993
_[2] 서적 Statics and Influence Functions from a Modern Perspective, Hartmann, Jahn, Chapter 1.35 Sobolev's Embedding Theorem Springer 2021
_[3] 서적 仮想仕事の原理と応用鹿島出版会 2013

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