코시 함수 방정식

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1. 개요
2. 코시 함수 방정식의 기본 형태와 해
3. 유리수 해
- 3.1. 증명
4. 실수 해
- 4.1. 연속 해
- 4.2. 비선형 해의 존재성
  - 4.2.1. 비선형 해의 구성 (선택 공리 이용)
5. 관련 방정식
참조

1. 개요

코시 함수 방정식은 함수 f(x+y) = f(x) + f(y)를 만족하는 함수를 다루며, 가법적, 지수적, 로그적, 멱 함수 방정식 등 다양한 형태로 나타난다. 이러한 방정식들은 코시의 『해석 강의』에서 다루어졌으며, 가법적 함수 방정식의 해는 Q-선형이며, 지수적, 로그적, 멱 함수 방정식은 각각 지수 함수, 로그 함수, 멱 함수 형태로 표현된다. 실수 해의 경우, 연속성이나 단조성과 같은 추가 조건이 없으면 복잡한 형태의 해가 존재할 수 있으며, 선택 공리를 가정하면 비선형 해가 존재한다.

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코시 함수 방정식
개요
이름	코시 함수 방정식
분야	함수 방정식
유형	함수 방정식
정의	임의의 x와 y에 대해 f(x + y) = f(x) + f(y)를 만족하는 함수 f
해	f: x ↦ cx, 여기서 c는 ℚ에 속한다. (ℚ에서 정의된 함수) f: x ↦ cx, 여기서 c는 ℝ에 속한다. (ℝ에서 정의된 함수)
일반해	ℝ에서 정의된 함수 f: ℝ → ℝ 중에서 코시 함수 방정식을 만족하는 모든 함수
발견자	오귀스탱 루이 코시(1821)
상세 정보
해의 형태	ℚ에 대한 해: f(x) = cx (c는 상수) ℝ에 대한 해: 연속 함수, 단조 함수, 국소적으로 유계인 함수, 가측 함수 등은 f(x) = cx 형태를 가진다.
비선형 해의 존재	하멜 기저를 사용하여 ℝ을 ℚ-벡터 공간으로 취급하면 비선형 해를 구성할 수 있다. 비선형 해는 매우 병적인(pathological) 성질을 가지며, 일반적으로 직접 구성하기 어렵다.
일반화	f(x + y) = f(x) + f(y) 형태 외에도, f(x + y) = f(x)f(y), f(xy) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y) 형태의 함수 방정식도 코시 함수 방정식의 변형으로 간주된다.
관련 문제	힐베르트의 다섯 번째 문제와 관련이 있다.
주의사항	ℝ에서 f(cx) ≠ cf(x)인 함수 f가 존재할 수 있다.
응용	힐베르트의 세 번째 문제 해결에 응용될 수 있다.

2. 코시 함수 방정식의 기본 형태와 해

임의의 실수 $a$ , $b$ 에 대해 구간 $[a,b]$ 에서 유계인 함수 $f(x)$ 가 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 를 만족하면, $f(nx)=nf(x)$ 가 성립한다. (n은 정수)^[8] 이는 $f(nx+x)=f(nx)+f(x)$ 식을 이용해 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.^[8]

$f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 아래로 유계이고 $b-a=d$ 라 가정하고, 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=f(x)-(f(d)/d)x$ 로 정의하면, $g(x+y)=g(x)+g(y)$ 가 성립한다. $y$ 에 $d$ 를 대입하면 $g(x+d)=g(x)$ 를 얻어 $g(x)$ 가 주기가 $d$ 인 주기함수임을 알 수 있다.

$f(x)$ 와 $-(f(d)/d)x$ 가 일정구간 안에서 아래로 유계이므로 $g(x)$ 또한 유계이다. $g(x)$ 는 주기함수이므로 실수전체에서 유계이다.

0이 아닌 실수 m이 존재한다고 가정하면, g(x)도 f(x)와 동일한 함수방정식을 만족하므로 자연수 n에 대해 g(nm)=ng(m)이다. n을 충분히 크거나 작은 수로 설정하면 무한히 크거나 작은 수를 만들 수 있고, 이는 g(x)가 실수전체에서 유계라는 가정에 모순된다. 따라서 모든 실수에 대해 g(x)=0이고, f(x)=(f(d)/d)x가 성립한다. f(d)/d=k라고 설정하면 f(x)=kx가 성립한다.

선택 공리가 참이라면 상수배함수가 아닌 해가 존재한다.^[8] 단순 논증을 통해, $V, W$ 가 $\Q$ 의 확장체 위의 벡터 공간일 때, 덧셈 사상 $f \colon V \to W$ 의 집합이 $V$ 에서 $W$ 로의 $\Q$ -선형 사상의 집합과 동일함을 보일 수 있다.

'''정리:''' '' $f \colon V \to W$ 를 덧셈 함수라고 하자. 그러면 $f$ 는 $\Q$ -선형이다.''

'''증명:''' 코시 함수 방정식 $f(x+y) = f(x) + f(y)$ 의 모든 해 $f \colon V \to W$ 가 모든 $q \in \Q$ 와 $v \in V$ 에 대해 $f(q v) = q f(v)$ 를 만족한다는 것을 증명하고자 한다. (증명 과정은 원문 소스 참조)

다른 해는 매우 병적인 함수이며, 그 그래프 $\{(x, f(x)) \vert x \in \R\}$ 가 $\R^2$ 에서 조밀하다는 속성을 가진다. (보조정리 및 증명은 원문 소스 참조)

위에 제시된 선형성 증명은 $f \colon \alpha \Q\to\R$ 에도 적용되며, 여기서 $\alpha\Q$ 는 유리수의 크기 조정 복사본이다. 이는 $f$ 의 정의역이 그러한 집합으로 제한될 때 선형 해만 허용됨을 보여준다.

실수 $f \colon \R \to \R$ 에 대한 매우 병적인 해를 찾기 위해, 실수를 유리수의 체에 대한 벡터 공간으로 보고, (하멜) 기저의 존재에 의존하는 비구성적 방법을 사용한다. 모든 실수 집합이 측정 가능한 모델이 있으며 ZF + DC와 일치하며, 여기서 모든 해는 선형이다.^[3]^[4]

$f(x)=f(1)x$ 로 정의된 것 이외의 해가 존재함을 보이기 위해, 먼저 모든 벡터 공간에는 기저가 있으므로, 체 $\Q$ 에 대한 $\R$ 에 대한 기저가 존재함을 이용한다. (자세한 설명은 원문 소스 참조)

2. 1. 가법적 함수 방정식

가법적 함수(Additive function)란, f(x + y) = f(x) + f(y)라는 방정식을 만족하는 함수를 의미한다. 이 방정식을 코시 함수 방정식이라고도 부른다. 이 방정식을 만족하는 함수는 모든 유리수 q와 실수 x에 대해 f(qx) = qf(x)가 성립한다.^[8]

이를 증명하기 위해 먼저 f(0) = 0 임을 보일 수 있다. f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) 이므로 f(0) = 0 이다.

또한, f(-x) = -f(x) 가 성립한다. 0 = f(0) = f(x + (-x)) = f(x) + f(-x) 이므로 f(-x) = -f(x) 이다.

수학적 귀납법을 통해, 모든 자연수 m에 대해 f(mx) = mf(x) 가 성립함을 보일 수 있다.

음의 정수 m에 대해서도 f(mx) = mf(x) 가 성립한다. -m은 자연수 이므로 f(mx) = f((-m)(-x)) = (-m)f(-x) = (-m)(-f(x)) = mf(x) 이다.

따라서, 모든 정수 m에 대해 f(mx) = mf(x) 가 성립한다.

n이 자연수 일때, f(x) = f(n*(x/n)) = nf(x/n) 이므로 f(x/n) = (1/n)f(x) 이다.

따라서, 모든 유리수 q = m/n (m은 정수, n은 자연수)에 대해 f(qx) = f((m/n)x) = f(m * (x/n)) = m f(x/n) = (m/n)f(x) = qf(x) 가 성립한다.

결론적으로, 모든 유리수 q와 실수 x에 대해 f(qx) = qf(x)가 성립한다.

2. 2. 지수적 함수 방정식

코시의 『해석 강의』 제5장에서는 함수 방정식

f(x+y) = f(x)f(y)

를 만족하는 연속 함수를 찾는 문제를 다룬다.^[1] 이 방정식의 해는 지수 함수

f(x) = A^x

형태를 가진다.^[1]

이 방정식의 해를 구하는 방법은 다음과 같다. 우선,

f(x) = f(x/2 + x/2) = f(x/2)^2 > 0

이므로, 양변에 로그를 취하면

\log f(x+y) = \log f(x) + \log f(y)

를 얻는다.^[1] 이는 코시 함수 방정식의 첫 번째 형태(

f(x+y) = f(x) + f(y)

)와 유사하며, 해는

\log f(x) = ax

형태가 된다.^[1] 따라서,

f(x) = e^{ax}

를 얻는다.^[1] 여기서

e^a

를 다시

A

로 쓰면, 최종적으로

f(x) = A^x

형태의 해를 얻게 된다.^[1]

2. 3. 로그적 함수 방정식

f(xy) = f(x) + f(y)^영어 이 방정식을 만족하는 함수를 로그적 함수라고 한다. f(x) = log_ax^영어 (a > 0, a ≠ 1) 형태의 해를 갖는다.

코시의 『해석 강의』에 따르면, 이 방정식의 비자명한 연속 해는 다음과 같이 구할 수 있다.

u^영어 Log(x)^영어, v^영어 Log(y)^영어에 의해 x^영어 A^u^영어, y^영어 A^v^영어 (여기서 A^영어는 Log^영어의 밑)라고 쓰면, Φ(A^u+v) = Φ(A^u) + Φ(A^v)^영어가 되어 Φ∘A^영어에 관해 코시 함수 방정식의 형태가 된다. 따라서 Φ(A^u) = au^영어이고, Φ(x) = aLog(x)^영어를 얻는다.

2. 4. 멱 함수 방정식

코시의 『해석 강의』 제5장 "어떤 조건을 만족하는 일변수 연속 함수를 결정하는 것"의 §1에는 다음과 같은 방정식이 나온다:^[1]

#Φ(''xy'') = Φ(''x'') × Φ(''y''): 해는 멱 함수 Φ(''x'') = ''x''^''a''이다. (여기서 ''x'', ''y''는 양의 실수이다.)

영 함수는 이 방정식의 자명한 해이다. 코시의 저서에 따르면, 이 방정식의 자명하지 않은 연속해는 3번 방정식, 즉 Φ(''xy'') = Φ(''x'') + Φ(''y'')으로 변환하여 얻을 수 있다. 3번 식에서 ''u'' Log(''x''), ''v'' Log(''y'')에 의해 ''x'' = ''A''^''u'', ''y'' = ''A''^''v'' (즉, 이 ''A''는 Log의 밑)라고 쓰면, Φ(''A''^''u''+''v'') = Φ(''A''^''u'') + Φ(''A''^''v'')가 되어 Φ∘''A''에 관해 2번 방정식, 즉 Φ(''x'' + ''y'') = Φ(''x'') × Φ(''y'')의 형태가 된다. 2번 방정식의 해는 지수 함수 Φ(''x'') = ''A''^''x''이다. 이 해를 다시 정리하면 Φ(''A''^''u'') = ''A''^''au''가 되고, 변수를 되돌리면 Φ(''x'') = ''x''^''a''가 된다.

3. 유리수 해

가법적 함수 방정식의 경우, 초등 대수만을 사용하여 f(x) = kx (k는 상수) 형태의 해를 얻을 수 있다.

모든 정수 n에 대해 f(nx) = nf(x)가 성립한다. 이는 f(nx + x) = f(nx) + f(x)라는 식을 이용하여 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

유리수 변수, 유리수 값의 덧셈 함수는 $\mathbb{Q}$ 상의 $\mathbb{Q}$ -선형 사상과 동일하다. 즉, 함수 $f \colon \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ 가 가법적이라면, $f$ 는 $\mathbb{Q}$ -선형이다.

(자세한 증명은 하위 섹션 "증명" 참조)

3. 1. 증명

우선, 모든 정수 n에 대해 f(nx) = nf(x)가 성립함을 수학적 귀납법으로 보일 수 있다. f(nx + x) = f(nx) + f(x)라는 식을 이용한다.

f(x)가 특정 구간 [a, b]에서 유계라고 가정하고, g(x) = f(x) - (f(d)/d)x (여기서 d = b - a)라는 새로운 함수를 정의한다. 그러면 g(x + y) = g(x) + g(y)가 성립한다. y에 d를 대입하면 g(x + d) = g(x)를 얻어, g(x)가 주기가 d인 주기 함수임을 알 수 있다.

f(x)와 -(f(d)/d)x가 일정 구간 안에서 유계이므로 g(x) 또한 유계이다. g(x)는 주기 함수이므로 실수 전체에서 유계이다.

만약 0이 아닌 실수 m에 대해 g(m) ≠ 0 이라면, g(nm) = ng(m) (n은 자연수)에서 n을 충분히 크게 하거나 작게 하여 무한히 크거나 작은 수를 만들 수 있다. 이는 g(x)가 실수 전체에서 유계라는 가정에 모순된다. 따라서 모든 실수 x에 대해 g(x) = 0 이다. 즉, f(x) = (f(d)/d)x 이고, f(d)/d = k (상수)로 놓으면 f(x) = kx 가 성립한다.

f \colon V \to W

를 덧셈 함수라고 할 때,

f

는

\Q

-선형이다. 이를 증명하기 위해 코시 함수 방정식

f(x+y) = f(x) + f(y)

의 모든 해

f \colon V \to W

가 모든

q \in \Q

와

v \in V

에 대해

f(q v) = q f(v)

를 만족한다는 것을 보인다.

먼저, f(0) = 0 이고 f(-v) = -f(v)이다. 수학적 귀납법을 통해 모든

m \in \N \cup \{0\}

에 대해

f(m v) = m f(v)

임을 보일 수 있다.

음의 정수 m에 대해서도 f(mv) = mf(v)가 성립한다.

n \in \N

에 대해, f(v) = f(n n^{-1} v) = n f(n^{-1} v) 이므로,

f(n^{-1} v) = n^{-1} f(v)

이다.

마지막으로, 모든

q \in \Q

는

q = \frac{m}{n}

(

m \in \Z

,

n \in \N

)으로 표현 가능하므로,

f(q v) = f\left( \frac{m}{n} \, v \right) =  \frac{m}{n} \, f(v) = q f(v)

가 성립한다.

유리수 변수, 유리수 값의 덧셈 함수는

\mathbb{Q}

상의

\mathbb{Q}

-선형 사상과 동일하다. 가법성으로부터 f(0) = 0 이고, 자연수 n에 대해 f(nx) = n⋅f(x)임을 알 수 있다. 이를 통해 f((-1)⋅x) = (-1)⋅f(x) 및 f((1/d)⋅x) = (1/d)⋅f(x) (d는 자연수)를 유도할 수 있다. 따라서 임의의 유리수 q = ±n/d (n, d는 자연수)에 대해 f(qx) = q⋅f(x)가 성립한다.

실수체

\mathbb{R}

을 유리수체

\mathbb{Q}

상의 벡터 공간으로 보면,

\mathbb{Q}

-선형해에 기반하여 병적인 해

f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

를 찾을 수 있다.

4. 실수 해

코시 함수 방정식의 실수 해는 추가적인 조건(연속성, 단조성 등)이 없을 경우 매우 복잡한 형태를 가질 수 있다.

일반적인 함수 형태: $f(x)$가 임의의 실수 $a$, $b$에 대해 구간 $[a,b]$에서 유계일 때, $f(nx)=nf(x)$가 성립한다. (n은 정수)^[8] 이는 $f(nx+x)=f(nx)+f(x)$(n은 정수) 식을 이용한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.
새로운 함수 g(x) 정의: $f(x)$가 $[a,b]$에서 아래로 유계이고 $b-a=d$ 라 가정하고, $g(x)=f(x)-(f(d)/d)x$로 정의한다. 원 식을 이용하면 $g(x+y)=g(x)+g(y)$임을 알 수 있다. $y=d$를 대입하면, $g(x+d)=g(x)$를 얻어, $g(x)$가 주기가 $d$인 주기함수임을 알 수 있다.
g(x)의 유계성: $f(x)$와 $ -(f(d)/d)x $가 일정 구간 안에서 아래로 유계이므로 $g(x)$ 또한 유계이다. $g(x)$는 주기함수이므로 실수 전체에서 유계이다.
모순 유도: 0이 아닌 실수 m이 존재한다고 가정하면, g(x)도 f(x)와 동일한 함수 방정식을 만족하므로 자연수 n에 대해 $g(nm)=ng(m)$이다. n을 충분히 크거나 작은 수로 설정하면 무한히 크거나 작은 수를 만들 수 있어, $g(x)$가 실수 전체에서 유계라는 가정에 모순이 발생한다.
결론: 따라서 $g(m)$이 0이 아닌 m은 존재할 수 없고 모든 실수에 대해 $g(x)=0$이다. 결론적으로, $f(x)=(f(d)/d)x$가 성립하며, $f(d)/d=k$ (k는 상수)로 설정하면 $f(x)=kx$가 성립한다.
선택 공리와 비선형 해: 선택 공리가 참이라면 상수배 함수가 아닌, 매우 병적인 해가 존재한다.^[3]^[4]
병적인 해의 특징: 이 해들의 그래프 $\{(x, f(x)) \vert x \in \R\}$는 $\R^2$에서 조밀하다. 즉, 평면의 아무리 작은 원판이라도 그 그래프의 점을 포함한다.
선형성 증명과 일반화: 위에 제시된 선형성 증명은 $f \colon \alpha \Q\to\R$에도 적용된다. 여기서 $\alpha\Q$는 유리수를 $\alpha$배 한 집합이다. 이는 $f$의 정의역이 그러한 집합으로 제한될 때 선형 해만 허용됨을 보여준다. 따라서 일반적으로 모든 $\alpha \in \R$ 및 $q \in \Q$에 대해 $f(\alpha q)=f(\alpha)q$가 성립한다.

4. 1. 연속 해

함수 f(x)가 연속 함수인 경우, 유리수 해와 동일한 형태의 해를 가지며, 이는 f(x) = kx (k는 상수) 형태로만 표현된다.

f(x)

가 임의의 실수

a

,

b

에 대해 구간

[a,b]

에서 유계라고 가정하면,

f(nx)=nf(x)

가 성립한다. (n은 정수) 이는

f(nx+x)=f(nx)+f(x)

(n은 정수) 식을 이용한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

f(x)

가

[a,b]

에서 아래로 유계이고

b-a=d

라 가정하고,

g(x)=f(x)-(f(d)/d)x

로 정의하면,

g(x+y)=g(x)+g(y)

가 성립한다. 여기에 y=d를 대입하면,

g(x+d)=g(x)

를 얻어,

g(x)

가 주기가

d

인 주기함수임을 알 수 있다.

f(x)

와

-(f(d)/d)x

가 일정 구간 안에서 아래로 유계이므로

g(x)

또한 유계이다.

g(x)

는 주기함수이므로 실수 전체에서 유계이다.

0이 아닌 실수 m이 존재한다고 가정하면, g(x)도 f(x)와 동일한 함수방정식을 만족하므로 자연수 n에 대해 g(nm)=ng(m)이다. n을 충분히 크거나 작은 수로 설정하면 무한히 크거나 작은 수를 만들 수 있어, g(x)가 실수 전체에서 유계라는 가정에 모순이 발생한다. 따라서 g(m)이 0이 아닌 m은 존재할 수 없고 모든 실수에 대해 g(x)=0이다. 결론적으로, f(x)=(f(d)/d)x가 성립하며, f(d)/d=k (k는 상수)로 설정하면 f(x)=kx가 성립한다.

코시의 『해석 강의』 제5장에는 다음 방정식 및 그 실연속 함수해가 고찰되고 있다.^[8]

# 해는 선형 함수이다.

# 해는 지수 함수이다.

# 해는 로그 함수이다.

# 해는 멱 함수이다.

4. 2. 비선형 해의 존재성

선택 공리가 참이라면 상수배 함수가 아닌 해, 즉 비선형 해가 존재한다. 이러한 비선형 해는 매우 병적인 함수 형태를 띤다. 특히, 이 해들의 그래프 $\{(x, f(x)) \vert x \in \R\}$는 $\R^2$에서 조밀하다. 즉, 평면의 아무리 작은 원판이라도 그 그래프의 점을 포함한다.

위에 제시된 선형성 증명은 $f \colon \alpha \Q\to\R$에도 적용된다. 여기서 $\alpha\Q$는 유리수를 $\alpha$배 한 집합이다. 이는 $f$의 정의역이 이러한 집합으로 제한될 때 선형 해만 허용됨을 보여준다. 따라서 일반적으로 모든 $\alpha \in \R$ 및 $q \in \Q$에 대해 $f(\alpha q)=f(\alpha)q$가 성립한다.

4. 2. 1. 비선형 해의 구성 (선택 공리 이용)

선택 공리가 참이면 코시 함수 방정식에는 상수배 함수가 아닌 해, 즉 비선형 해가 존재한다. 이러한 비선형 해는 매우 병적인 함수 형태를 띤다.

실수 집합을 유리수체 $\mathbb{Q}$ 위의 벡터 공간으로 간주하면, 선택 공리에 의해 하멜 기저 $\mathcal{B} \sub \R$가 존재한다. 이는 모든 실수 $x$를 $\mathcal{B}$의 유한 부분집합 $\{x_i\}_{i \in I}$에 속하는 원소들의 선형 결합으로 유일하게 표현할 수 있음을 의미한다. 즉, $x = \sum_{i \in I} \lambda_i x_i$로 표현되며, 여기서 $\lambda_i$는 $\mathbb{Q}$의 원소이다.

이러한 하멜 기저는 명시적으로 구성할 수 없기 때문에, 이 기저를 이용하여 구성되는 비선형 해도 명시적으로 표현하는 것은 불가능하다.

함수 $f$를 하멜 기저의 각 원소 $x_i$에 대해 $x_i\mathbb{Q}$로 제한하면, 이는 $\mathbb{Q}$-선형 사상이 된다. 즉, $f(x_i q) = f(x_i)q$ ($q \in \mathbb{Q}$)가 성립한다. 따라서, $f(x_i)/x_i$는 비례 상수가 되며, $f : x_i\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$은 $\xi \mapsto [f(x_i)/x_i]\xi$ 형태의 사상으로 정의된다.

모든 실수 $x$는 하멜 기저 원소들의 유일한 유한 선형 결합으로 표현될 수 있고, $f$는 가법적이므로, $f(x)$는 다음과 같이 잘 정의된다.

$ f(x) = f\Big(\sum_{i \in I} \lambda_i x_i\Big) = \sum_{i \in I} f(x_i\lambda_i) = \sum_{i \in I} f(x_i) \lambda_i $

이와 같이 정의된 $f$는 코시 함수 방정식의 해가 되며, 모든 해는 이러한 형태로 표현될 수 있다. 특히, $f(x_i) / x_i$가 모든 $x_i \in \mathcal{B}$에 대해 상수일 때, 그리고 그때에만 해는 선형이 된다.

비록 비선형 해를 명시적으로 표현할 수는 없지만, 코시 함수 방정식의 해는 "대부분" (기수의 의미에서) 비선형적이고 병적이다.^[5]

5. 관련 방정식

코시의 『해석 강의』에서는 위에 제시된 네 가지 방정식 외에도 다음과 같은 함수 방정식이 다루어졌다.^:103

'''옌센 방정식'''(Jensen's equation^영어):

: f((x+y)/2) = (f(x) + f(y))/2

'''다르부 방정식''':

: f(x+y) + f(0) = f(x) + f(y)

참조

_[1] 서적 2009
_[2] 서적 "Hilbert's third problem" Halsted Press 1978
_[3] 논문 A Model of Set-Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable https://www.jstor.or[...] 1970
_[4] 웹사이트 Are there any non-linear solutions of Cauchy's equation $f(x+y)=f(x)+f(y)$ without assuming the Axiom of Choice? https://mathoverflow[...] 2024-02-21
_[5] 문서
_[6] 웹사이트 Hamel Basis
_[7] 서적 "Hilbert's third problem" Halsted Press 1978
_[8] 서적 한국수학올림피아드 모의고사 및 풀이집 2007

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