유계 함수

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1. 개요

유계 함수는 함수 f의 치역이 유계 집합인 함수를 의미한다. 유계 함수 외에도 콤팩트 지지 함수, 무한대에서 0이 되는 함수 등의 개념이 존재하며, 이들은 함수 공간 사이의 포함 관계를 형성한다. 유계 함수는 균등 노름, 리스 표현 정리 등과 관련되며, 사인 함수, 아크탄젠트 함수 등은 유계 함수의 예시이며, x, 탄젠트 함수 등은 무계 함수의 예시이다.

유계 함수

개요

정의	수학에서, 함수 값이 유계인 함수
상한	함수의 모든 값보다 크거나 같은 수
하한	함수의 모든 값보다 작거나 같은 수
유계 함수 조건	상한과 하한이 모두 존재하는 함수
예시	사인 함수 코사인 함수

형식적 정의

함수 f: X → R이 유계 함수일 조건	R 안의 어떤 실수 M이 존재하여 모든 x ∈ X에 대해 \|f(x)\| ≤ M인 경우
위로 유계 함수	R 안의 어떤 실수 M이 존재하여 모든 x ∈ X에 대해 f(x) ≤ M인 경우
아래로 유계 함수	R 안의 어떤 실수 M이 존재하여 모든 x ∈ X에 대해 f(x) ≥ M인 경우

유계 집합	상한과 하한이 모두 존재하는 집합
유계 수열	모든 항의 절댓값이 특정 숫자보다 작은 수열
유계 연산자	연산자의 노름이 유한한 연산자
유계 변동	함수의 변동이 유한한 함수

2. 정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 위상 공간 $X$
* 체 $K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$
* $K$ -위상 벡터 공간 $V$
* 연속 함수 $f\colon X\to V$

2.1. 유계 함수

$f$ 의 치역이 유계 집합이면, $f$ 를 유계 함수라고 한다. 즉, $0\in V$ 의 임의의 근방 $N\ni0$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 수 $\delta\in K\setminus\{0\}$ 가 존재하여야 한다.

: $\delta f(x)\in N\qquad\forall x\in X$

유계 함수가 아닌 함수를 무계 함수(unbounded function^영어)라고 한다. 유계 연속 함수 $X\to V$ 의 벡터 공간을 $\mathcal C_{\text{bd}}(X;V)$ 로 표기하며, 이 위에는 균등 수렴 위상을 부여한다.

유계보다 약한 개념은 국소 유계이다. 유계 함수의 집합은 균등하게 유계일 수 있다.

유계 작용소 $T: X \rightarrow Y$ 는 이 페이지의 정의에서 유계 함수는 아니지만 ( $T=0$ 인 경우를 제외하면) '유계성을 보존'하는 더 약한 성질을 갖는다. 유계 집합 $M \subseteq X$ 는 유계 집합 $T(M) \subseteq Y$ 로 매핑된다. 이 정의는 $X$ 와 $Y$ 가 유계 집합의 개념을 허용하는 경우 모든 함수 $f: X \rightarrow Y$ 로 확장될 수 있다. 유계성은 그래프를 살펴봄으로써 결정될 수도 있다.

* 사인 함수 $\sin: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ 는 모든 $x \in \mathbb{R}$ 에 대해 $|\sin (x)| \le 1$ 이므로 유계 함수이다.
* −1과 1을 제외한 모든 실수 $x$ 에 대해 정의된 함수 $f(x)=(x^2-1)^{-1}$ 는 무계 함수이다. $x$ 가 −1 또는 1에 가까워질수록 이 함수의 값은 크기가 커진다. 이 함수는 정의역을 예를 들어 $[2, \infty)$ 또는 $(-\infty, -2]$ 로 제한하면 유계 함수로 만들 수 있다.
* 모든 실수 $x$ 에 대해 정의된 함수 $f(x)= (x^2+1)^{-1}$ 는 모든 $x$ 에 대해 $|f(x)| \le 1$ 이므로 유계 함수이다.
* $y= \arctan (x)$ 또는 $x = \tan (y)$ 로 정의되는 역삼각 함수 아크탄젠트는 모든 실수 $x$ 에 대해 단조 함수이며, $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ 라디안으로 유계이다.
* 유계성 정리에 의해, $f: [0, 1] \rightarrow \mathbb R$ 과 같은 닫힌 구간에서의 모든 연속 함수는 유계 함수이다. 더 일반적으로, 콤팩트 공간에서 거리 공간으로의 모든 연속 함수는 유계 함수이다.
* 리우빌의 정리의 결과로, 모든 복소수 값을 갖는 함수 $f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ 는 전체 함수이거나 상수 함수이거나, 무계 함수이다. 특히, 복소 $\sin: \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ 는 전체 함수이므로 무계 함수여야 한다.
* $x$ 가 유리수일 때 값 0을, $x$ 가 무리수일 때 값 1을 갖는 함수 $f$ (디리클레 함수)는 유계 함수이다. 따라서, 유계 함수가 되기 위해 함수가 "좋을 필요"는 없다. $[0, 1]$ 에서 정의된 모든 유계 함수의 집합은 해당 구간에서의 연속 함수의 집합보다 훨씬 크다. 더욱이, 연속 함수가 유계 함수일 필요는 없다; 예를 들어, $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ 와 $h: (0, 1)^2\to\mathbb{R}$ 가 $g(x, y) := x + y$ 및 $h(x, y) := \frac{1}{x+y}$ 로 정의되면, 둘 다 연속이지만, 둘 다 유계 함수가 아니다. (그러나, 연속 함수는 그 정의역이 닫혀 있고 유계일 경우 반드시 유계 함수여야 한다.)

2.2. 콤팩트 지지 함수

가 추가로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. compactly supported continuous map^영어라고 한다.

* 인 콤팩트 집합 가 존재한다. (여기서 는 영벡터 상수 함수이다.)
* 지지 집합 이 콤팩트 집합이다. (여기서 은 폐포를 뜻한다.)

콤팩트 지지 연속 함수 들의 집합을 로 표기한다.

2.3. 무한에서 0이 되는 함수

$X$ 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 때, 함수 $f$ 가 다음 조건을 만족하면 continuous map vanishing at infinity^영어라고 한다.

* $0\in V$ 의 임의의 근방 $N\ni 0$ 에 대하여, $\operatorname{im}(f|_{X\setminus K})\subseteq N$ 이 되는 콤팩트 집합 $K$ 가 존재한다. (여기서 $\operatorname{im}$ 은 치역을 의미한다.)

무한에서 0이 되는 연속 함수 $X\to V$ 들의 집합을 $\mathcal C_0(X,V)$ 로 표기한다. 만약 $V$ 가 노름 공간이라면, $\mathcal C_0(X,V)$ 에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.

: $\|f\|=\sup_{x\in X}f(x)$

만약 $V$ 가 바나흐 공간이라면, $\mathcal C_0(X,V)$ 역시 바나흐 공간이다.

3. 성질

$X$ 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 때, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: $\mathcal C_{\text{comp}}(X;V)\subseteq\mathcal C_0(X;V)\subseteq\mathcal C_{\text{bd}}(X;V)\subseteq\mathcal C(X;V)$

여기서 $\mathcal C(X;V)$ 는 모든 연속 함수 $X\to V$ 들의 공간이다. $\mathcal C_{\text{comp}}(X;V)$ 는 콤팩트 지지 연속 함수, $\mathcal C_0(X;V)$ 는 무한에서 0이 되는 연속 함수, $\mathcal C_{\text{bd}}(X;V)$ 는 유계 함수들의 공간을 나타낸다.

만약 $X$ 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 하이네-보렐 정리에 의하여 이 네 함수 공간들은 모두 일치한다.

또한, 모든 유계 변동 함수는 유계 함수이다.

3.1. 노름

V가 노름 공간이면, C_bd(X;V) 위에 균등 노름 ‖f‖ = max_x∈X‖f(x)‖ (f ∈ C_bd(X;V))을 정의할 수 있다. V가 바나흐 공간이면, C_bd(X;V) 역시 바나흐 공간이다. C₀(X;V) 역시 균등 노름에 의하여 바나흐 공간을 이룬다. C_comp(X;V)는 노름 공간이지만 일반적으로 바나흐 공간이 아니며, 그 완비화는 C₀(X;V)이다.

3.2. 리스 표현 정리

리스 표현 정리에 따르면, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X에 대하여, C₀(X;ℝ) 및 C_comp(X;ℝ)의 위상 쌍대 공간인 바나흐 공간은 X 위의 측정 측도들의 바나흐 공간과 동형이다.

4. 관련 개념

유계보다 약한 개념은 국소 유계이다. 유계 함수의 집합은 균등하게 유계일 수 있다. 유계 작용소는 유계 집합을 유계 집합으로 보내는 함수를 말하며, 유계 함수의 개념을 일반화한 것이다.

5. 예시

다음은 정의역과 공역이 모두 표준적인 거리 함수를 갖춘 실수 집합 $\mathbb R$ 인 함수들이다.

* 함수 $x\mapsto x$ 는 치역이 $\mathbb R$ 전체이므로 유계 함수가 아니다.
* 삼각함수 $\tan x$ 는 치역이 실수 전체이므로 유계 함수가 아니다.

반면 다음 함수들은 유계함수이다.
* 함수 $x\mapsto1/(x^2+1)$ 는 치역이 구간 $(0,1]$ 이다.
* 삼각함수 $\sin x$ 와 $\cos x$ 는 치역이 닫힌구간 $[0,1]$ 이다.

5.1. 유계 함수의 예

* 사인 함수 $\sin: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ 는 모든 $x \in \mathbb{R}$ 에 대해 $|\sin (x)| \le 1$ 이므로 유계 함수이다.
* 함수 $f(x)=(x^2+1)^{-1}$ 는 모든 $x$ 에 대해 $|f(x)| \le 1$ 이므로 유계 함수이다.
* 역삼각 함수 아크탄젠트 $y= \arctan (x)$ 는 단조 함수이며, $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ 라디안으로 유계이다.
* 유리수 집합의 지시 함수(디리클레 함수)는 연속 함수가 아니지만 치역이 $\{0,1\}$ 이므로 유계 함수이다.
* 정규 분포 확률 밀도 함수 $f_1\colon x\mapsto\exp(-x^2/2)$ 는 무한에서 0이 되는 매끄러운 함수이지만, 콤팩트 지지 함수는 아니다.

* 함수

f_2\colon x\mapsto\begin{cases}\exp(-1/(1-x^2))&|x|<1\\0&|x|\ge1\end{cases}

는 콤팩트 지지 매끄러운 함수이다.

5.2. 무계 함수의 예

함수 $x\mapsto x$ 는 치역이 $\mathbb R$ 전체이므로 유계 함수가 아니다. tan x는 치역이 실수 전체이므로 유계 함수가 아니다.

-1과 1을 제외한 모든 실수 $x$ 에 대해 정의된 함수 $f(x)=(x^2-1)^{-1}$ 는 무계 함수이다. $x$ 가 -1 또는 1에 가까워질수록 이 함수의 값은 커진다.

5.3. 복소 함수

리우빌 정리에 따르면, 복소수 값을 갖는 함수 f^영어: ℂ^영어 → ℂ^영어가 전해석 함수이려면 상수 함수이거나 무계 함수이어야 한다. 특히, 복소 사인 함수 sin^영어: ℂ^영어 → ℂ^영어는 전해석 함수이므로 무계 함수이다.

6. 추가 정보

디리클레 함수 f는 x가 유리수일 때 0, 무리수일 때 1의 값을 갖는데, 이는 유계 함수의 예시이다. 따라서 함수가 유계 함수이기 위해 꼭 "좋을 필요"는 없다. 닫힌 구간 [0, 1]에서 정의된 모든 유계 함수의 집합은 해당 구간에서의 연속 함수의 집합보다 훨씬 크다. 연속 함수는 그 정의역이 닫혀 있고 유계일 경우 반드시 유계 함수여야 한다.