탁월한 가환환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 상기해야 할 정의
- 2.2. (준)탁월환의 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
6. 특이점 해소
- 6.1. 준우수환과 특이점 해소
참조

1. 개요

탁월한 가환환은 가환대수학 및 대수기하학에서 사용되는 환의 한 종류이다. 네이터 환 A가 주어졌을 때, A의 모든 소 아이디얼 p에 대해 국소화 Ap가 정칙환이면 A를 준탁월환이라 하고, A의 모든 유한 생성 A-대수 B의 모든 소 아이디얼 p에 대해 B의 국소화 Bp가 정칙환일 필요충분조건이 p가 정칙점일 필요충분조건이면 A를 탁월환이라고 정의한다. 탁월환은 특이점 해소 문제와 관련이 있으며, 대수기하학에서 중요한 역할을 한다.

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탁월한 가환환
개요
종류	환 (대수학)
성질	뇌터 환 정역 정칙환
정의
조건	모든 유한 생성 대수에 대해 정칙환이 되는 환
예시
포함	체 정수환 완비체 위의 형식멱급수환
관련 개념
연관	해석적 정규환

2. 정의

환 $A$ 가 네이터 환이며, 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 국소화 $A_{\mathfrak{p}}$ 가 정칙환이면, $A$ 를 준탁월환이라고 부른다. 또한, $A$ 가 네이터 환이고, $A$ 의 모든 유한 생성 $A$ -대수 $B$ 의 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $B$ 의 국소화 $B_{\mathfrak{p}}$ 가 정칙환일 필요충분조건이 $\mathfrak{p}$ 가 정칙점일 필요충분조건이면, $A$ 를 탁월환이라고 한다.

스킴 $X$ 가 유한 차원 네이터 스킴이며, 모든 점 $x$ 에 대해 국소환 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ 가 준탁월환이면, $X$ 를 준탁월 스킴이라고 한다. 스킴 $X$ 가 유한 차원 네이터 스킴이며, 모든 점 $x$ 에 대해 국소환 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ 가 탁월환이면, $X$ 를 탁월 스킴이라고 부른다.

2. 1. 상기해야 할 정의

기하학적 정칙은 다음과 같이 정의된다.환 A에 대해, 다음 두 조건이 모두 성립할 때 A를 기하학적 정칙이라고 한다.

A는 가환환이다.
A의 스펙트럼 Spec A는 정칙 스킴이다.

정칙 준동형은 다음과 같이 정의된다.환 준동형 φ: A → B에 대해, 다음 두 조건이 모두 성립할 때 φ를 정칙 준동형이라고 한다.

A와 B는 가환환이다.
Spec B → Spec A는 정칙 사상이다.

G-환은 다음과 같이 정의된다.환 A에 대해, 유한군 G가 A에 작용하고 다음 조건을 만족할 때 A를 G-환이라고 한다.

A는 가환환이다.
G의 작용은 A의 환 구조와 호환된다. 즉, 모든 g ∈ G와 모든 a, b ∈ A에 대해 g(a + b) = g(a) + g(b)이고 g(ab) = g(a)g(b)이다.

J-2 환은 다음과 같이 정의된다.환 A에 대해, 다음 두 조건을 만족할 때 A를 J-2 환이라고 한다.

A는 가환환이다.
A의 모든 소 아이디얼 p에 대해, 국소화 Ap는 2차원 정칙 국소환이다.

2. 2. (준)탁월환의 정의

준탁월환 및 탁월환의 정의환

A

가 다음 조건을 만족하면,

A

를 준탁월환이라고 부른다:

$A$ 는 네이터 환이다.
모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해, 국소화 $A_{\mathfrak{p}}$ 는 정칙환이다.

환

A

가 다음 조건을 만족하면,

A

를 탁월환이라고 부른다:

$A$ 는 네이터 환이다.
$A$ 의 모든 유한 생성 $A$ -대수 $B$ 에 대하여, $B$ 의 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해, $B$ 의 국소화 $B_{\mathfrak{p}}$ 가 정칙환일 필요충분조건은 $\mathfrak{p}$ 가 정칙점일 필요충분조건이다.

스킴

X

가 다음 조건을 만족하면,

X

를 준탁월 스킴이라고 부른다:

$X$ 는 유한 차원 네이터 스킴이다.
$X$ 의 모든 점 $x$ 에 대하여, 국소환 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ 는 준탁월환이다.

스킴

X

가 다음 조건을 만족하면,

X

를 탁월 스킴이라고 부른다:

$X$ 는 유한 차원 네이터 스킴이다.
$X$ 의 모든 점 $x$ 에 대하여, 국소환 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ 는 탁월환이다.

3. 성질

탁월환은 가환환의 한 종류로, 여러 가지 특별한 성질을 가지고 있다. 탁월환은 곱셈, 덧셈, 뺄셈 연산에 대해 닫혀 있으며, 이러한 연산을 수행하면 결과 또한 그 환에 속한다. 구체적으로, 가환환 R이 다음 조건을 만족하면 준탁월환이라고 한다. R의 모든 소 아이디얼 p에 대하여, R_p는 탁월환이다. 여기서 R_p는 p에서의 국소화이다. 준탁월환은 노름환이며, 준탁월환의 완비화는 준탁월환이고, 연쇄환이다. 준탁월환은 대수기하학, 가환대수학 등 다양한 분야에서 응용된다. 준탁월환은 가환환의 중요한 부류이며, 그 성질과 응용은 연구자들에게 중요한 관심사이다.

3. 1. 스킴

우수한 스킴 X에 대해, 국소적으로 유한형인 사상 f:X'→X가 존재하여 X'가 우수하다면, X 역시 우수하다. 여기서 '우수하다'는 개념은 스킴의 여러 가지 좋은 성질을 포괄하는 것으로, 대수기하학에서 중요한 연구 대상이다. 이러한 성질은 종종 가환대수의 성질과 밀접하게 관련되어 있으며, 특히 국소환과 그 구조에 대한 연구를 통해 스킴의 전반적인 구조를 이해하는 데 기여한다. 스킴 X'는 스킴 X의 '덮개' 역할을 하며, f는 이 덮개를 정의하는 사상이다. 국소적으로 유한형이라는 조건은 f가 X'의 각 점 x'에 대해 f(x')의 근방에서 유한한 수의 조건을 가진다는 것을 의미한다. 이는 X'가 X보다 더 '좋은' 성질을 가질 수 있음을 나타낸다. 예를 들어, 특이점을 갖는 스킴 X가 있을 때, X'는 X의 특이점을 해소하는 스킴일 수 있다. 이러한 관계는 스킴의 기하학적 구조를 연구하는 데 중요한 도구이며, 특히 특이점 해소와 같은 문제에 적용된다.

3. 2. 준탁월환

준탁월환은 가환환의 일종으로, 여러 가지 특별한 성질을 가진다. 구체적으로, 준탁월환은 다음 조건을 만족하는 가환환이다.

정의: 가환환 R이 다음 조건을 만족하면 준탁월환이라고 한다. R의 모든 소 아이디얼 p에 대하여, R_p는 탁월환이다. 여기서 R_p는 p에서의 국소화이다.

준탁월환은 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

성질: 준탁월환은 다음과 같은 성질을 가진다.
준탁월환은 노름환이다.
준탁월환의 완비화는 준탁월환이다.
준탁월환은 연쇄환이다.
응용: 준탁월환은 대수기하학, 가환대수학 등 다양한 분야에서 응용된다.

준탁월환은 가환환의 중요한 부류이며, 그 성질과 응용은 연구자들에게 중요한 관심사이다.

3. 3. 연산에 대한 닫힘

탁월한 가환환은 곱셈, 덧셈, 뺄셈 연산에 대해 닫혀있다. 즉, 탁월한 가환환 내의 두 원소에 대해 이러한 연산을 수행하면 결과 또한 그 환에 속한다.

4. 예

사슬적이지만 강사슬적이 아닌 2차원 뇌터 국소환의 나가타의 예는 G-환이며 J-2 환이므로 준우수하지만 우수하지 않다. 표수 p > 0이고 차원이 1인 이산 값매김환 A는 J-2이지만 G-환이 아니므로 준우수환도 아니다.

G-환이지만 J-2 환이 아닌 준탁월환이 아닌 환의 예시를 살펴보자. 정수환 Z를 생각해보자. Z는 가환환이고, J-2 환의 조건을 만족하지 않는다. Z의 극대 아이디얼은 소수 아이디얼이므로, J(Z) = 0이다. Z/J(Z) = Z/0 ≅ Z는 영원소가 아닌 원소를 갖는다. 따라서 Z는 J-2 환이 아니다.

탁월환이 아닌 가환환의 반례는 다음과 같다.

체 K 위의 다항식환 K\[x]에서, x를 0으로 보내는 사상에 의해 K\[x]의 부분환이 아닌 K를 얻는다. 이 경우, K\[x]는 국소환이 아니므로 탁월환이 아니다. 정수환 Z는 탁월환이지만, Z\[x]는 탁월환이 아니다. 왜냐하면 Z\[x]는 국소환이 아니기 때문이다. 체 K 위의 n×n 행렬환 M_n(K)는 n ≥ 2일 때 탁월환이 아니다. 이는 M_n(K)가 가환환이 아니기 때문이다. 직접곱환 A × B가 탁월환이기 위해서는 A와 B가 모두 탁월환이어야 한다. 탁월환의 예로는, 체, 국소환, 정수환, 완비 국소환 등이 있다.

4. 1. 탁월환

수론과 대수기하학에서 자연스럽게 나타나는 대부분의 가환환은 탁월환이다.

4. 2. 탁월환이 아닌 준탁월환

사슬적이지만 강사슬적이 아닌 2차원 뇌터 국소환의 나가타의 예는 G환이며 J-2환이므로 준우수하지만 우수하지 않다.

4. 3. G-환이 아닌 J-2 환

표수 p > 0이고 차원이 1인 이산 값매김환 A는 J-2이지만 G-환이 아니므로 준우수환도 아니다.

4. 4. J-2 환이 아닌 G-환

G-환이지만 J-2 환이 아닌 준탁월환이 아닌 환의 예시를 살펴보자. 정수환 Z를 생각해보자. Z는 가환환이고, J-2 환의 조건을 만족하지 않는다. Z의 극대 아이디얼은 소수 아이디얼이므로, J(Z) = 0이다. Z/J(Z) = Z/0 ≅ Z는 영원소가 아닌 원소를 갖는다. 따라서 Z는 J-2 환이 아니다.

4. 5. 반례

탁월환이 아닌 가환환의 반례는 다음과 같다.

체 K 위의 다항식환 K\[x]에서, x를 0으로 보내는 사상에 의해 K\[x]의 부분환이 아닌 K를 얻는다. 이 경우, K\[x]는 국소환이 아니므로 탁월환이 아니다.
정수환 Z는 탁월환이지만, Z\[x]는 탁월환이 아니다. 왜냐하면 Z\[x]는 국소환이 아니기 때문이다.
체 K 위의 n×n 행렬환 M_n(K)는 n ≥ 2일 때 탁월환이 아니다. 이는 M_n(K)가 가환환이 아니기 때문이다.
직접곱환 A × B가 탁월환이기 위해서는 A와 B가 모두 탁월환이어야 한다.
탁월환의 예로는, 체, 국소환, 정수환, 완비 국소환 등이 있다.

5. 역사

준우수환은 특이점 해소 문제와 밀접하게 관련되어 있다. 알렉산더 그로텐디크는 1965년에, 정수 완비 뇌터 국소환의 특이점을 해소하는 것이 가능하다면, 축소된 준우수환의 특이점을 해소하는 것도 가능하다는 것을 관찰했다.

6. 특이점 해소

특이점 해소는 대수기하학의 중요한 문제 중 하나이다. 탁월한 가환환은 준탁월환이며, 준탁월환은 특이점 해소와 밀접한 관련이 있다. 구체적으로, 준탁월환은 특이점 해소 이론에서 중요한 역할을 한다. 특이점 해소는 특이점을 갖는 대수다양체를 비특이 대수다양체로 변환하는 과정인데, 이 과정에서 준탁월환의 성질이 활용된다. 탁월한 가환환은 이러한 특이점 해소 문제에 대한 연구의 중요한 출발점을 제공한다. 특이점 해소는 대수기하학의 난제 중 하나이며, 특히 고차원에서는 해결이 매우 어렵다. 그러나 탁월한 가환환과 준탁월환의 연구는 이러한 문제에 대한 이해를 높이는 데 기여한다. 준탁월환은 특이점 해소 문제뿐만 아니라, 다른 대수기하학적 문제에도 응용될 수 있으며, 대수기하학 연구의 중요한 도구로 자리 잡고 있다.

6. 1. 준우수환과 특이점 해소

준우수환은 특이점 해소 문제와 밀접하게 관련되어 있다. 알렉산더 그로텐디크는 1965년에, 정수 완비 뇌터 국소환의 특이점을 해소하는 것이 가능하다면, 축소된 준우수환의 특이점을 해소하는 것도 가능하다는 것을 관찰했다.

참조

_[1] 웹사이트 Section 15.49 (07GG): G-rings—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-07-24
_[2] 웹사이트 Section 15.46 (07P6): The singular locus—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-07-24
_[3] 논문 Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie http://www.numdam.or[...] 1965
_[4] 웹사이트 Section 108.14 (02JC): A Noetherian ring of infinite dimension—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-07-24
_[5] 웹사이트 Section 15.49 (07GG): G-rings—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-07-24
_[6] 웹사이트 Section 15.46 (07P6): The singular locus—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-07-24
_[7] 간행물 Stacks Project, Tag 07QT https://stacks.math.[...]
_[8] 논문 Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie http://www.numdam.or[...] 1965
_[9] 웹사이트 Section 108.14 (02JC): A Noetherian ring of infinite dimension—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-07-24
_[10] 간행물 Stacks Project, Tag 07QV https://stacks.math.[...]
_[11] 간행물 Stacks Project, Tag 0C23 https://stacks.math.[...]
_[12] 간행물 Stacks Project, Tag 07QW https://stacks.math.[...]
_[13] 문서 EGA IV2, p. 217 に「収束冪級数環が優秀であることを§18で見る」とある。ただし、§18に該当する記述は見当たらなかった。
_[14] 간행물 Stacks Project, Tag 07QU https://stacks.math.[...]
_[15] 문서 EGA IV2, Proposition 7.9.5.
_[16] 저널 Excellent rings, Henselian rings, and the approximation property 1997

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