가환대수학

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1. 개요
2. 전개
3. 역사
4. 주요 도구 및 결과
5. 대수기하학과의 연관성
참조

1. 개요

가환대수학은 대수적 정수론과 대수기하학에서 등장하는 환들을 연구하는 학문이다. 이 학문은 소 아이디얼이라는 공통 개념을 가지며, 국소화와 완비화 등의 연산을 통해 환을 분석한다. 가환대수학은 대수적 정수론과 대수기하학의 발전에 기여했으며, 데데킨트 환, 정수 확장, valuation 환 등의 개념을 포함한다. 다항식환의 소 아이디얼은 아핀 대수다양체에 대응되며, 자리스키 위상은 모든 가환환의 소 아이디얼 집합으로 확장된다. 가환대수학은 아이디얼 이론에서 시작되어, 뇌터 환, 준소 분해, 국소화, 완비화 등의 주요 도구와 결과를 통해 발전해왔다. 특히, 뇌터 환은 아이디얼이 유한 생성되는 환으로, 많은 중요한 정리들이 뇌터 환을 전제로 한다. 또한 가환대수학은 대수적 다양체의 스킴 개념을 통해 대수기하학과 밀접하게 연관되어 있다.

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가환대수학
개요
분야	가환대수학
연구 대상	가환환
관련 분야	대수기하학, 정수론
주요 개념
환	가환환, 정역, 유일 인수 분해 정역, 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, 뇌터 환, 아르틴 환
아이디얼	아이디얼, 소 아이디얼, 극대 아이디얼, 준소 아이디얼, 근 아이디얼, 분수 아이디얼
가군	가군, 자유 가군, 사영 가군, 단사 가군, 평탄 가군, 뇌터 가군, 아르틴 가군
확대	환의 확대, 정수적 확대, 갈루아 확대
국소화	환의 국소화, 완비화
주요 정리
환	힐베르트 기저 정리, 뇌터 정규화 정리, 크룰 높이 정리, 중국인의 나머지 정리
아이디얼	뇌터 환의 아이디얼의 표현 정리, 크룰 교차 정리
가군	구불구불 보조정리, 5-보조정리, 뇌터-레스 정리, 아르틴-웨더번 정리, 구분 보조정리
역사
주요 인물	에미 뇌터, 볼프강 크룰, 오스카 자리스키, 이르빙 시걸, 알렉산더 그로텐디크, 장피에르 세르

2. 전개

가환대수학은 대수적 정수론과 대수기하학에서 등장하는 환들을 연구한다. 대수적 수론에서 등장하는 환은 대수적 수체의 대수적 정수환이다. 대수기하학에서 등장하는 환은 대수다양체 위의 정칙함수들의 환이다. 이 두 종류의 환은 '''소 아이디얼'''이라는 공통 개념을 갖는다. 소 아이디얼은 수론적 관점에서 소수를 일반화한 개념이며, 기하학적 관점에서는 (기약) 부분 대수다양체를 일반화한 개념이다.

국소화는 소 아이디얼을 기하학적으로 부분다양체로 해석하여 부분다양체 근처의 정보만을 추출하는 연산이다. 완비화는 국소화와 함께 "형식적" 원소를 추가하여 환을 다루기 쉽게 만드는 연산이다. 예를 들어, 원점에서의 다항식환을 완비화하면 형식적 거듭제곱 급수 환을 얻는다. 하세 원리(Hasse principle)는 수론에서 국소화와 완비화를 통해 문제를 해결하는 방법이다.

가환환 위의 가군은 가환대수학의 주요 연구 대상이다. 고전적 환론에서 환에서만 정의되었던 많은 개념들은 환 위의 가군에 대하여 일반화할 수 있다.

3. 역사

가환대수학은 아이디얼 이론으로 시작되었으며, 리하르트 데데킨트의 아이디얼에 관한 연구가 그 시초였다. 이는 에른스트 쿠머와 레오폴트 크로네커의 초기 연구에 기반을 두고 있다. 다비트 힐베르트는 "환"이라는 용어를 도입하여 이전의 "수 환"을 일반화했다. 힐베르트는 에미 뇌터에게 큰 영향을 주었으며, 뇌터는 상승 사슬 조건(현재 뇌터 조건)을 사용하여 많은 결과들을 재구성했다. 에마누엘 라스커는 프라이머리 아이디얼을 도입하고 라스커-뇌터 정리의 첫 번째 버전을 증명했다.

볼프강 크룰은 국소화, 완비화, 정칙 국소환 등의 개념을 도입하여 가환대수학을 발전시켰다. 그는 뇌터 환의 크룰 차원 개념을 확립하고, 부치 환과 크룰 환으로 이론을 확장했다. 크룰의 주 아이디얼 정리는 오늘날까지도 가환대수학의 중요한 기초 정리로 여겨진다.

소노다 쇼조는 가환환론의 추상화와 데데킨트 환의 공리적 특징화에 기여했다. 아키즈키 야스오는 정폐포가 유한 가군이 되지 않는 뇌터 정역의 예를 구성했다. 클로드 슈발레, 오스카 자리스키 등은 크룰의 이론을 대수기하학에 활용했고, 어빙 코언은 완비 국소환의 구조 정리를 확립했다. 나가타 마사요시는 힐베르트의 14번 문제의 반례, 비사슬상 뇌터 환의 예를 구성했다.

장 피에르 세르는 국소환의 정칙성과 전역 차원의 유한성의 동치성을 증명했다. 알렉산더 그로텐디크는 국소 코호몰로지를 고안하고 고렌슈타인 환 이론을 전개했다.

4. 주요 도구 및 결과

가환대수학은 아이디얼 이론으로 시작되었으며, 리하르트 데데킨트의 아이디얼 연구가 그 시초였다. 이는 에른스트 쿠머와 레오폴트 크로네커의 초기 연구에 기반을 두고 있다. 다비트 힐베르트는 "수 환"을 일반화하기 위해 "환"이라는 용어를 도입했고, 복소해석학 및 고전 불변식론과 같은 계산 지향적인 방법론을 대체하는 추상적인 접근 방식을 도입했다. 힐베르트는 에미 뇌터에게 큰 영향을 주었으며, 뇌터는 상승 사슬 조건(현재 뇌터 조건)의 관점에서 많은 결과를 재구성했다. 에마누엘 라스커는 프라이머리 아이디얼을 도입하고 라스커-뇌터 정리의 첫 번째 버전을 증명했다.

볼프강 크룰은 국소화 및 완비화의 기본 개념과 정칙 국소환의 개념을 도입했다. 그는 환의 크룰 차원 개념을 처음에는 뇌터 환에 대해 확립한 후, 일반적인 부치 환과 크룰 환을 포괄하도록 확장했다. 크룰의 주 아이디얼 정리는 가환대수학의 가장 중요한 기초 정리로 여겨진다. 이러한 결과들은 가환대수학을 대수기하학에 도입하는 길을 열었다.

가환대수학의 현대적인 발전은 가군을 강조한다. 환 ''R''의 아이디얼과 ''R''-대수는 모두 ''R''-가군의 특수한 경우이므로, 가군 이론은 아이디얼 이론과 환 확대 이론을 모두 포함한다. 가군 이론을 사용하는 현대적인 접근 방식은 볼프강 크룰과 에미 뇌터의 공로로 여겨진다.

4. 1. 뇌터 환

에미 뇌터의 이름을 딴 것으로, 모든 아이디얼이 유한 생성되는 환이다. 즉, 모든 아이디얼의 모든 원소는 환의 계수를 가진 유한 개의 원소의 선형 결합으로 표현될 수 있다.

많이 고려되는 가환환은 뇌터 환이며, 특히 모든 체, 정수 환, 그리고 체 위의 하나 또는 여러 개의 변수에 대한 모든 다항식 환이 그렇다. 체 위의 다항식 환이 뇌터 환이라는 사실은 힐베르트 기저 정리라고 불린다.

게다가, 많은 환 구성은 뇌터 성질을 보존한다. 특히, 가환환이 뇌터 환이면, 그 위의 모든 다항식 환, 그리고 환의 모든 몫환, 국소화 또는 완비화도 마찬가지이다.

뇌터 성질의 중요성은 그 보편성과 더불어, 가환대수의 많은 중요한 정리들이 관련 환이 뇌터 환일 것을 요구한다는 사실에 있다. 특히 라스커-뇌터 정리, 크룰 교차 정리, 그리고 나카야마 보조정리가 그렇다.

더욱이, 환이 뇌터 환이면, 소 아이디얼에 대한 하강 연쇄 조건을 만족하며, 이는 모든 뇌터 국소환이 유한한 크룰 차원을 갖는다는 것을 의미한다.

4. 2. 준소 분해 (Primary decomposition)

환의 아이디얼 ''Q''가 primary 이상이라는 것은 ''Q''가 진부분집합이고, ''xy'' ∈ ''Q''일 때, ''x'' ∈ ''Q''이거나 어떤 양의 정수 ''n''에 대해 ''yⁿ'' ∈ ''Q''인 경우를 말한다. '''Z'''에서 primary ideal은 정확히 (''p^e'') 형태의 아이디얼이며, 여기서 ''p''는 소수이고 ''e''는 양의 정수이다. 따라서 (''n'')의 primary 분해는 (''n'')을 유한 개의 primary ideal의 교집합으로 표현하는 것이다.

Lasker–Noether 정리는 산술의 기본 정리를 일반화한 것이다.

Lasker-Noether 정리
R을 가환 노에터 환으로 하고, I를 R의 아이디얼이라고 하자. 그러면 I는 서로 다른 radical을 가진 유한 개의 primary ideal의 교집합으로 표현될 수 있다. 즉,

''I''의 임의의 primary 분해에 대해, 모든 radical의 집합, 즉 {Rad(''Q''₁), ..., Rad(''Q_t'')}는 Lasker–Noether 정리에 의해 동일하게 유지된다. 사실, (노에터 환의 경우) 이 집합은 정확히 모듈 ''R''/''I''의 assassinator임이 밝혀졌다. 즉, 소수인 ''R''/''I'' (''R'' 위의 모듈로 간주)의 모든 annihilator의 집합이다.

4. 3. 국소화 (Localization)

국소화는 주어진 환 또는 가군에 "분모"를 도입하는 형식적인 방법이다. 즉, 기존의 환/가군으로부터 새로운 환/가군을 도입하여 분수

\frac{m}{s}

로 구성되도록 한다. 여기서 분모 ''s''는 ''R''의 주어진 부분집합 ''S''에 속한다. 전형적인 예는 정수환 '''Z'''로부터 유리수 환 '''Q'''를 구성하는 것이다.

4. 4. 완비화 (Completion)

완비화는 완전한 위상환과 모듈을 생성하는 환과 모듈에 대한 함자이다. 국소화와 함께 가환환을 분석하는 가장 기본적인 도구 중 하나이다. 완전 가환환은 일반적인 가환환보다 구조가 더 단순하며 헨젤의 보조정리가 적용된다.

4. 5. 소 아이디얼 위의 자리스키 위상 (Zariski topology on prime ideals)

자리스키 위상은 환의 스펙트럼(소 아이디얼의 집합) 위에 위상을 정의한다.^[2] 자리스키 닫힌 집합은 다음과 같이 정의된다.

:

V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}

여기서 ''A''는 고정된 가환환이고 ''I''는 아이디얼이다. 이는 아핀 공간에서 다항식 방정식에 의해 정의된 닫힌 집합을 갖는 고전적인 자리스키 위상과 유사하게 정의된다. 고전적인 그림과의 연결을 보기 위해, 대수적으로 닫힌 체 위의 다항식 집합 ''S''에 대해 힐베르트 영점 정리에 의해 ''V''(''S'')의 점(구식 의미에서)은 정확히 아이디얼 (''x₁'' - ''a₁'', ..., ''x_n'' - ''a_n'')이 ''S''를 포함하는 튜플 (''a₁'', ..., ''a_n'')이다. 또한, 이들은 극대 아이디얼이며 "약한" 영점 정리에 의해, 아핀 좌표환의 아이디얼은 이 형태일 때에만 극대 아이디얼이다. 따라서 ''V''(''S'')는 ''S''를 포함하는 극대 아이디얼과 "동일하다". 그로텐디크의 Spec을 정의하는 혁신은 극대 아이디얼을 모든 소 아이디얼로 대체하는 것이었다. 이 공식에서 이 관찰을 환의 스펙트럼에서 닫힌 집합의 정의로 일반화하는 것은 자연스럽다.

5. 대수기하학과의 연관성

가환대수학(다항식환과 그 몫의 형태로, 대수적 다양체의 정의에 사용됨)은 항상 대수기하학의 일부였다. 1950년대 후반, 대수적 다양체는 알렉산더 그로텐디크의 스킴 개념에 포함되었다. 스킴의 국소 객체는 아핀 스킴 또는 소 스펙트럼으로, 국소 환 달린 공간이며 가환 단위 환의 범주와 반대 동치(쌍대)를 이루는 범주를 형성하여, 체 ''k'' 위의 아핀 대수적 다양체의 범주와 유한 생성된 축소된 ''k''-대수의 범주 사이의 쌍대성을 확장한다. 접착은 자리스키 위상을 따라 이루어진다. 국소 환 달린 공간의 범주뿐만 아니라 요네다 임베딩을 사용하여 아핀 스킴의 범주에 대한 집합의 사전층의 더 추상적인 범주 내에서도 접착할 수 있다. 집합론적 자리스키 위상은 그로텐디크 위상의 자리스키 위상으로 대체된다. 그로텐디크는 에탈 위상, 두 개의 평탄한 그로텐디크 위상(fppf, fpqc), 니스네비치 위상 등 조잡한 자리스키 위상보다 기하학적으로 더 미세하고 민감한 예를 염두에 두고 그로텐디크 위상을 도입했다. 층은 일반적으로 아르틴 스택과 더 미세한 델리뉴-멈포드 스택(대수적 스택)을 생성하는, 그로텐디크의 의미에서 스택으로 더 일반화될 수 있다.

참조

_[1] 서적 Atiyah and Macdonald, 1969, Chapter 1
_[2] 서적 Abstract Algebra https://archive.org/[...] Wiley

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