탄젠트 법칙

3. 증명

탄젠트 법칙은 사인 법칙에서 시작한다. 즉,

:$\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\backslash beta\}$

로부터

:$\backslash frac\{a\}\{b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\backslash alpha\}\{\backslash sin\backslash beta\}$

를 얻고, 여기에 비례식의 가비의 리를 적용하면,

:$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; \backslash alpha\; -\; \backslash sin\backslash beta\}\{\backslash sin\backslash alpha\; +\; \backslash sin\backslash beta\}$

가 성립한다.

여기서, 다음의 합차 공식을 사용한다.

:$\backslash sin\{\backslash alpha\}\; \backslash pm\; \backslash sin\{\backslash beta\}\; =\; 2\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash alpha\; \backslash pm\; \backslash beta\}\{2\}\; \backslash cos\; \backslash frac\{\backslash alpha\; \backslash mp\; \backslash beta\}\{2\}$

최종적으로 다음이 된다.

:$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash sin\backslash dfrac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\backslash cos\backslash dfrac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\}\{2\backslash sin\backslash dfrac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\backslash cos\backslash dfrac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash tan\backslash dfrac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\}\{\backslash tan\backslash dfrac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\}.\; \backslash qquad\backslash blacksquare$

3. 1. 다른 증명 (영어 위키백과)

4. 활용

탄젠트 법칙은 삼각형의 두 변 ''a''와 ''b'', 그리고 그 끼인각 ''γ''가 주어졌을 때 나머지 각을 계산하는 데 사용된다. 공식은 다음과 같다.

:$\backslash tan\backslash tfrac12(\backslash alpha-\backslash beta)\; =\; \backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; \backslash tan\backslash tfrac12(\backslash alpha+\backslash beta)\; =\; \backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; \backslash cot\backslash tfrac12\backslash gamma$

먼저 위 식을 이용하여 각의 차이 ''α'' − ''β'' = ''Δ''를 구한다. 그 후, ''β'' = (180° − ''γ'' − ''Δ'')/2 를 통해 ''β''를 계산하고, ''α'' = ''β'' + ''Δ''를 계산하여 ''α''를 구한다.

알려진 변에 대응하는 각을 구했다면, 사인 법칙을 사용하여 나머지 변 ''c''를 계산할 수 있다.

과거에는 전자 계산기가 없었기 때문에 코사인 법칙 ($c\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; -\; 2ab\; \backslash cos\; \backslash gamma\}$) 대신 탄젠트 법칙을 사용하는 것이 더 효율적이었다. 코사인 법칙은 제곱근 계산을 위해 로그 표를 추가로 찾아봐야 했지만, 탄젠트 법칙은 그렇지 않았기 때문이다. 현대에는 탄젠트 법칙이 코사인 법칙보다 수치 해석적으로 더 안정적인 결과를 제공하기도 한다. 특히, ''γ''가 작고 ''a''와 ''b''가 비슷할 때 코사인 법칙을 사용하면 재앙적 상쇄가 발생할 수 있지만, 탄젠트 법칙은 이러한 문제를 완화한다.

5. 구면 삼각법

단위 반지름의 구에서 삼각형의 변은 대원의 호이다. 따라서 변의 길이는 라디안 또는 다른 각도 단위로 표현할 수 있다. 삼각형의 세 꼭짓점에서의 각을 ''A'', ''B'', ''C''라고 하고, 마주보는 변의 길이를 각각 ''a'', ''b'', ''c''라고 할 때, 구면 탄젠트 법칙은 다음과 같다.^[2]

:$$

\frac{\tan\tfrac12(A-B)}{\tan\tfrac12(A+B)}

= \frac{\tan\tfrac12(a-b)}

{\tan\tfrac12(a+b)}.

6. 역사

아부 알와파가 10세기에 탄젠트 법칙을 발견했다.^[3]

이븐 무아드 알자야니 역시 11세기에 평면 삼각형에 대한 탄젠트 법칙을 설명했다.^[4]

13세기 페르시아 수학자 나시르 알딘 알투시는 5권으로 된 저서 《사변형에 관한 논고》에서 구면 삼각형과 평면 삼각형에 대한 탄젠트 법칙을 설명하고, 평면 삼각형에 대한 사인 법칙도 제시했다.^[4][5][7][8]

7. 원에 내접하는 사각형

원주 사각형 ABCD에서, 변의 길이를 |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |DA| = d라 하고, 각의 크기를 ∠DAB = α, ∠ABC = β라 할 때, 다음 공식이 성립한다.^[6]

:(a - c)(b - d) / (a + c)(b + d) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2)^영어

이 공식은 c=0일 때 삼각형에 대한 탄젠트 법칙으로 축소된다.

참조

_[1] 서적 Trigonometric Delights Princeton University Press 2002
_[2] 서적 CRC Standard Mathematical Tables and Formulae CRC Press 2011
_[3] 서적 A History of Mathematics: An Introduction https://books.google[...] Pearson 2017-03-21
_[4] 서적 Encyclopedia of the history of Arabic science, Volume 2 Routledge
_[5] 서적 History of Civilizations of Central Asia, Volume 4, Part 2 Motilal Banarsidass
_[6] 간행물 A Generalization of the Law of Tangents https://www.tandfonl[...] 2024-05-01
_[7] 서적 Encyclopedia of the history of Arabic science, Volume 2 https://books.google[...] Routledge
_[8] 서적 History of Civilizations of Central Asia, Volume 4, Part 2 https://books.google[...] Motilal Banarsidass Publ.
_[9] 서적 Trigonometric Delights Princeton University Press 2002