코사인 법칙

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 역사
- 2.2. 증명
3. 활용
4. 비유클리드 기하학
- 4.1. 구면 코사인 법칙
- 4.2. 쌍곡 코사인 법칙
5. 일반화
6. 평면 코사인 법칙과의 관계
참조

1. 개요

코사인 법칙은 삼각형의 세 변과 각 사이의 관계를 나타내는 기본 공식이다. 삼각형의 한 각과 그 대변, 그리고 다른 두 변의 길이를 알 때, 코사인 법칙을 사용하여 나머지 변의 길이와 각도를 계산할 수 있다. 특히 두 변과 그 사이의 각도를 알면 나머지 한 변의 길이를, 세 변의 길이를 모두 알면 세 각의 크기를 구할 수 있다. 코사인 법칙은 피타고라스 정리의 일반화된 형태로, 유클리드 기하학뿐만 아니라 구면 기하학, 쌍곡 기하학 등 비유클리드 기하학에서도 유사한 형태를 갖는다.

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코사인 법칙
개요
종류	삼각법
분야	수학, 기하학, 삼각법
설명	삼각형의 변의 길이와 각 사이의 관계를 나타내는 정리
삼각형 정보
변	a, b, c
각	α, β, γ (또는 A, B, C)
공식
공식	a² = b² + c² - 2bc cos(α)
다른 표현	b² = a² + c² - 2ac cos(β) c² = a² + b² - 2ab cos(γ)
활용
활용 분야	삼각형의 변의 길이 또는 각도 계산 측량 항해 공학
관련 법칙
관련 법칙	정현 법칙

2. 정의

삼각형 $ABC$ 에서 각 $A, B, C$ 의 대변(각이 마주보는 변)의 길이를 각각 $a, b, c$ 라 할 때, 다음의 코사인 법칙이 성립한다.^[18]

: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

여기서 $\cos$ 은 삼각 함수의 하나인 코사인을 의미한다.

코사인 법칙을 이용하면 삼각형의 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다. 또한, 삼각형의 세 변의 길이를 모두 알 때, 세 각의 크기를 다음과 같이 구할 수 있다.^[18]

: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

코사인 법칙에서 $C$ 가 직각인 경우, $\cos C=0$ 이 되므로, 다음과 같은 피타고라스의 정리를 얻을 수 있다.^[18]

: $c^2=a^2+b^2$

이처럼 코사인 법칙은 피타고라스의 정리를 일반화한 것이라고 할 수 있다.

코사인 법칙은 삼각형의 내각을 그 코사인으로 파악한다. 여기서 코사인이란 각의 여각에 대한 사인이며, 여각이란 자신의 크기와 합이 직각이 되는 각을 말한다. 코사인 값으로 내각을 유일하게 결정할 수 있는데, 삼각형의 내각은 (는 원주율) 범위를 가지며, 이 범위에서 코사인 함수 는 엄격하게 감소하는 전단사이기 때문이다. 이를 식으로 나타내면 역삼각 함수 가 되며, 수치 계산이 가능하다.

$\triangle ABC$ 에서, $a = BC$ , $b = CA$ , $c = AB$ , $\alpha = \angle CAB$ , $\beta = \angle ABC$ , $\gamma = \angle BCA$ 라고 하면, 다음과 같은 제2 코사인 법칙이 성립한다.

:

:

:

보통 코사인 법칙이라고 하면 제2 코사인 법칙을 가리킨다.

2. 1. 역사

유클리드의 《원론》 2권 명제 12와 명제 13은 코사인 법칙과 본질적으로 동일한 명제를 기하학적인 형태로 서술한다.^[19] 이 명제들은 둔각삼각형과 예각삼각형에 대해 각각 코사인 법칙과 유사한 관계를 설명한다.^[1]

예를 들어, 위 그림과 같은 둔각삼각형 ABC에서 유클리드의 명제 II.12는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2 (CA)(CH).

여기서

AB = c,

CA = b,

CB = a,

및

CH = a \cos(\pi - \gamma) = -a \cos \gamma.

를 대입하면 현대적인 코사인 법칙의 형태를 얻을 수 있다. 알렉산드리아의 헤론은 그의 해설에서 II.12와 II.13의 역에 대한 증명을 제공했다.^[2]

13세기 페르시아 수학자 나시르 알딘 알투시는 두 변과 그 끼인각이 주어진 삼각형의 세 번째 변을 찾는 방법을 제시했는데, 이는 현대 코사인 법칙으로 표현될 수 있다.^[5] 약 2세기 후, 자쉬드 알카시는 그의 저서에서 삼각형을 푸는 다양한 방법을 제시하고, 알투시의 방법을 더욱 명확하게 설명했다.^[6] 알카시의 방법은 현대 대수 표기법을 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

c = \sqrt{(b - a \cos \gamma)^2 + (a \sin \gamma)^2}

(

\gamma

가 예각)

:

c = \sqrt{\left(b + a \left|\cos \gamma\right| \right)^2 + \left(a \sin \gamma\right)^2}

(

\gamma

가 둔각)

이 식을 정리하면 현대적인 코사인 법칙을 얻을 수 있다.

:

\begin{align}c^2&= b^2 - 2ba\cos \gamma + a^2\cos^2 \gamma + a^2\sin^2\gamma \\&= a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma.\end{align}

프랑스에서는 코사인 법칙을 ''알카시의 정리''(théorème d'Al-Kashi)라고도 부른다.^[8]^[9]

이슬람 세계에서는 10세기 천문학자이자 수학자인 알 바타니가 구면 코사인 법칙을 발견하여 별 사이의 거리를 측정했다. 서양에서는 16세기 프랑수아 비에트가 코사인 법칙을 독자적으로 발견하였고, 19세기 초부터 현대와 같은 수식으로 표현되기 시작했다.^[10]

2. 2. 증명

코사인 법칙은 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다.

꼭짓점 를 지나는 수선은 변 에 수직이다. 수선의 발에서 꼭짓점 까지의 거리와 수선의 발에서 꼭짓점 까지의 거리를 더하면 변 의 길이와 같다(그림 5 참조). 이 거리는 각 각도의 코사인을 곱한 다른 변으로 나타낼 수 있다.^[12]

:

c=a\cos\beta+b\cos\alpha.

( 또는 가 둔각인 경우에도 수선은 삼각형 바깥에 존재한다.) 양변에 를 곱하면 다음과 같다.

:

c^2 = ac\cos\beta + bc\cos\alpha.

다른 변을 삼각형의 밑변으로 하면, 동일한 방법으로 다음을 얻는다.

:

\begin{align}a^2 &= ac\cos\beta + ab\cos\gamma, \\[3mu]b^2 &= bc\cos\alpha + ab\cos\gamma.\end{align}

에 대한 식에서 와 에 대한 식을 빼면 다음과 같다.

:

\begin{align}c^2 - a^2 - b^2 &= ac\cos\beta + bc\cos\alpha - ac\cos\beta - bc\cos\alpha - 2ab\cos\gamma \\c^2 &= a^2 + b^2- 2ab\cos\gamma.\end{align}

이 증명은 피타고라스 정리를 사용하지 않고, 직각삼각형에 대한 코사인의 정의만을 이용한다.^[12]

제2코사인 법칙은 삼제곱의 정리를 이용하면, 삼각법의 정리(사인 법칙이나 제1코사인 법칙 등)를 사용하지 않고도 유도할 수 있다. 단, 수선을 긋기 때문에 의 1개의 내각과 90도의 대소 관계에 따라 경우를 나누어야 한다.

에서 의 경우, 에서 직선에 내린 수선의 발을 라고 하면, 이며, 에 삼제곱의 정리를 사용하면

:

\begin{align}c^2 &= \left( b-a \cos \gamma\right)^2 + \left( a \sin \gamma \right)^2 \\&= b^2 - 2ab \cos \gamma + a^2 \left( \cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma \right) \\&= a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\end{align}

가 된다.

가 둔각인 경우에는, 가 되지만, 가 되는 것은 변함이 없으며, 이 경우에도 위의 식이 유도된다.

꼭짓점 C를 통과하는 수선을 내리면, 변 c의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[12]

:

c=a\cos\beta+b\cos\alpha.

양변에 c를 곱하면

:

c^2 = ac\cos\beta + bc\cos\alpha.

다른 변을 밑변으로 취급하여도 동일한 결과를 얻는다.

:

\begin{align}a^2 &= ac\cos\beta + ab\cos\gamma, \\[3mu]b^2 &= bc\cos\alpha + ab\cos\gamma.\end{align}

c^2

에 대한 식에서

a^2

와

b^2

에 대한 식을 빼면

:

\begin{align}c^2 - a^2 - b^2 &= ac\cos\beta + bc\cos\alpha - ac\cos\beta - bc\cos\alpha - 2ab\cos\gamma \\c^2 &= a^2 + b^2- 2ab\cos\gamma.\end{align}

이 증명은 피타고라스 정리를 사용하지 않고, 직각삼각형에 대한 코사인의 정의만을 기반으로 한다.^[12]

삼각 항등식

\cos^2\gamma + \sin^2\gamma = 1

을 이용하면, 피타고라스 정리를 한 번만 사용하여 코사인 법칙을 유도할 수도 있다.

:

\begin{align}c^2 &= (b-a\cos\gamma)^2 + (a\sin\gamma)^2 \\&= b^2 - 2ab\cos\gamma + a^2\cos^2\gamma + a^2\sin^2\gamma \\&= b^2 + a^2 - 2ab\cos\gamma,\end{align}

사인 법칙과 삼각함수의 항등식을 이용하여 대수적으로 증명할 수도 있다.^[14]

==== 벡터와 스칼라곱을 이용한 증명 ====

다음과 같이 세 벡터를 정의한다.

:

\mathbf a=\overrightarrow{CB},\;\mathbf b=\overrightarrow{CA},\;\mathbf c=\overrightarrow{AB}=\mathbf a-\mathbf b

벡터

\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c

의 길이는 각각

a,b,c

이며, 벡터

\mathbf a

와

\mathbf b

사이의 각도는

C

이다. 따라서, 코사인 법칙을 벡터의 스칼라곱의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.^[22]

:

\begin{align}c^2&=\mathbf c\cdot\mathbf c\\&=(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf a-\mathbf b)\\&=\mathbf a\cdot\mathbf a+\mathbf b\cdot\mathbf b-2\mathbf a\cdot\mathbf b\\&=a^2+b^2-2ab\cos C\end{align}

삼각형 변의 길이를 벡터의 내적으로 나타내 계산하면 제이 코사인 법칙은 자연스럽게 유도된다.

:

\begin{align}a^2 &= \lVert \overrightarrow{\text{BC}} \lVert^2 \\&= \lVert \overrightarrow{\text{AC}} -\overrightarrow{\text{AB}} \lVert^2 \\&= \lVert \overrightarrow{\text{AC}} \lVert^2 - 2 \overrightarrow \text{AC} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} + \lVert \overrightarrow{\text{AB}} \lVert^2 \\&= \text{AC}^2 - 2 \text{AC} \cdot \text{AB} \cos \angle\text{BAC} + \text{AB}^2 \\&= b^2 + c^2 -2bc \cos \alpha.\end{align}

==== 제1 코사인 법칙과의 동치성 ====

제2 코사인 법칙^한국어은 제1 코사인 법칙^한국어과 동치이며, 서로 유도 가능하다.

에서 밑변을 로 했을 때의 높이가

:

임에 주목한다.

:제1 코사인 법칙^한국어 의 제곱에서 를 꺼내도록 식을 변형하면 다음과 같다.

:

\begin{align}a^2 &= \left( b \cos \gamma + c \cos \beta \right)^2 \\&= b^2 \cos^2 \gamma + 2bc \cos \gamma \cos \beta + c^2 \cos^2 \beta \\&= b^2 (1- \sin^2 \gamma )+ 2bc \cos \gamma \cos \beta + c^2 (1- \sin^2 \beta ) \\&( \because \cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma = \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 ) \\&= -( b^2 \sin^2 \gamma + c^2 \sin^2 \beta ) + b^2 + c^2 + 2bc \cos \beta \cos \gamma \\&= -( b \sin \gamma - c \sin \beta )^2 - 2bc \sin \gamma \sin \beta + b^2 + c^2 + 2bc \cos \beta \cos \gamma \\&= - 0^2 + b^2 + c^2 + 2bc ( \cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma ) \\&= b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha. \\&( \because \cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma = \cos ( \beta + \gamma ) = \cos ( \pi - \alpha ) = - \cos \alpha )\end{align}

따라서 제2 코사인 법칙^한국어이 유도된다.

에 주의하여 역변형을 하면, 제2 코사인 법칙^한국어에서 제1 코사인 법칙^한국어을 얻는다.

제2 코사인 법칙^한국어은 제1 코사인 법칙^한국어의 3개의 식만으로 유도할 수 있다. 삼제곱의 정리나 사인 법칙과 같은 초등 기하의 주요 정리는 사용하지 않고, 실질적으로는 삼각형의 닮음만으로 유도하고 있다.

:

\begin{align}a^2 &= a \times a \\&= a \times (b \cos \gamma +c \cos \beta) \\&= b \times a \cos \gamma + c \times a \cos \beta \\&= b(b-c \cos \alpha)+c(c-b \cos \alpha) \\&(\text{first cosine theorem}) \\&= b^2 + c^2 -2bc \cos \alpha.\end{align}

2. 2. 1. 유클리드의 《원론》을 이용한 증명

유클리드는 《원론》에서 둔각삼각형과 예각삼각형의 경우를 나누어, 각 경우에 피타고라스 정리를 적용하여 코사인 법칙을 증명하였다.^[19]
둔각삼각형의 경우 (명제 12)그림과 같이,

C

를 둔각으로 하는 둔각 삼각형

ABC

의 높이선

BH

를 긋는다.

ABH

는

H

를 직각으로 하는 직각 삼각형이므로, 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립한다.

:

AB^2=AH^2+BH^2

AH=AC+CH

이므로, 다음이 성립한다.

:

AB^2=(AC+CH)^2+BH^2=AC^2+2(AC)(CH)+CH^2+BH^2

마지막 두 항을 직각 삼각형

BCH

에 대한 피타고라스 정리를 통해 정리하면 다음을 얻는다.

:

AB^2=AC^2+2(AC)(CH)+BC^2

이로써 유클리드의 《원론》 2권 명제12가 증명된다. 코사인의 정의에 따라

:

\cos C=-\cos(\pi-C)=-\frac{CH}{BC}

이므로, 코사인 법칙

:

AB^2=AC^2+BC^2-2(AC)(BC)\cos C

이

C

가 둔각일 경우 성립함을 알 수 있다.^[19]

유클리드는 와 의 두 직각 삼각형 각각에 피타고라스 정리를 적용하여 이 정리를 증명했다. 를 선분 로, 를 높이 로 사용하여 삼각형 는 다음을 제공한다.

:

c^2 = (b+d)^2 + h^2,

그리고 삼각형 는 다음을 제공한다.

:

d^2 + h^2 = a^2.

다항식 전개를 통해 첫 번째 식을 전개하면 다음과 같다.

:

c^2 = b^2 + 2bd + d^2 +h^2.

두 번째 식을 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

:

c^2 = a^2 + b^2 + 2bd.

이것은 ''원론'' 2권에 나오는 유클리드의 명제 12이다.^[11] 이를 코사인 법칙의 현대적 형태로 변환하려면, 다음을 참고해야 한다.

:

d = a\cos(\pi-\gamma)= -a\cos\gamma.

예각삼각형의 경우 (명제 13)유클리드의 명제 13에 대한 증명은 명제 12의 증명과 같은 방식으로 진행된다. 그는 각도를 둘러싼 변 중 하나에 수선을 내려서 형성된 두 개의 직각 삼각형에 피타고라스의 정리를 적용하고, 차의 제곱을 사용하여 식을 단순화한다.

유클리드 원론 제2권 명제 13에서는 예각 삼각형에 대한 제2 코사인 법칙이 제시되어 있다.

에서, 에서 에 내린 수선의 발을 라고 하고, 라고 한다.

제2권 명제 7에서 제시된

:

a^2 + p^2 = 2ap + q^2

라는 관계를 사용하여

:

a^2 + \left(p^2 + h^2\right) = 2ap + \left(q^2 + h^2\right)

와 에 피타고라스 정리를 적용하면

:

a^2 + c^2 = 2ap + b^2

가 된다.

코사인 함수를 사용한 표현으로는 이다.

2. 2. 2. 삼각법을 이용한 증명

삼각형의 한 꼭짓점에서 대변에 수선을 내려 만들어지는 두 직각삼각형에 삼각함수의 정의를 적용하여 코사인 법칙을 유도할 수 있다.

꼭짓점 C를 통과하는 수선을 내리면, 변 c의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[12]

:

c=a\cos\beta+b\cos\alpha.

양변에 c를 곱하면

:

c^2 = ac\cos\beta + bc\cos\alpha.

다른 변을 밑변으로 취급하여도 동일한 결과를 얻는다.

:

\begin{align}a^2 &= ac\cos\beta + ab\cos\gamma, \\[3mu]b^2 &= bc\cos\alpha + ab\cos\gamma.\end{align}

c^2

에 대한 식에서

a^2

와

b^2

에 대한 식을 빼면

:

\begin{align}c^2 - a^2 - b^2 &= ac\cos\beta + bc\cos\alpha - ac\cos\beta - bc\cos\alpha - 2ab\cos\gamma \\c^2 &= a^2 + b^2- 2ab\cos\gamma.\end{align}

이 증명은 피타고라스 정리를 사용하지 않고, 직각삼각형에 대한 코사인의 정의만을 기반으로 한다.^[12]

삼각 항등식

\cos^2\gamma + \sin^2\gamma = 1

을 이용하면, 피타고라스 정리를 한 번만 사용하여 코사인 법칙을 유도할 수도 있다.

:

\begin{align}c^2 &= (b-a\cos\gamma)^2 + (a\sin\gamma)^2 \\&= b^2 - 2ab\cos\gamma + a^2\cos^2\gamma + a^2\sin^2\gamma \\&= b^2 + a^2 - 2ab\cos\gamma,\end{align}

사인 법칙과 삼각함수의 항등식을 이용하여 대수적으로 증명할 수도 있다.^[14]

2. 2. 3. 벡터와 스칼라곱을 이용한 증명

다음과 같이 세 벡터를 정의한다.

:

\mathbf a=\overrightarrow{CB},\;\mathbf b=\overrightarrow{CA},\;\mathbf c=\overrightarrow{AB}=\mathbf a-\mathbf b

벡터

\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c

의 길이는 각각

a,b,c

이며, 벡터

\mathbf a

와

\mathbf b

사이의 각도는

C

이다. 따라서, 코사인 법칙을 벡터의 스칼라곱의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.^[22]

:

\begin{align}c^2&=\mathbf c\cdot\mathbf c\\&=(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf a-\mathbf b)\\&=\mathbf a\cdot\mathbf a+\mathbf b\cdot\mathbf b-2\mathbf a\cdot\mathbf b\\&=a^2+b^2-2ab\cos C\end{align}

삼각형 변의 길이를 벡터의 내적으로 나타내 계산하면 제이 코사인 법칙은 자연스럽게 유도된다.

:

\begin{align}a^2 &= \lVert \overrightarrow{\text{BC}} \lVert^2 \\&= \lVert \overrightarrow{\text{AC}} -\overrightarrow{\text{AB}} \lVert^2 \\&= \lVert \overrightarrow{\text{AC}} \lVert^2 - 2 \overrightarrow \text{AC} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} + \lVert \overrightarrow{\text{AB}} \lVert^2 \\&= \text{AC}^2 - 2 \text{AC} \cdot \text{AB} \cos \angle\text{BAC} + \text{AB}^2 \\&= b^2 + c^2 -2bc \cos \alpha.\end{align}

2. 2. 4. 제1 코사인 법칙과의 동치성

제2 코사인 법칙^한국어은 제1 코사인 법칙^한국어과 동치이며, 서로 유도 가능하다.

에서 밑변을 로 했을 때의 높이가

:

임에 주목한다.

:제1 코사인 법칙^한국어 의 제곱에서 를 꺼내도록 식을 변형하면 다음과 같다.

:

\begin{align}a^2 &= \left( b \cos \gamma + c \cos \beta \right)^2 \\&= b^2 \cos^2 \gamma + 2bc \cos \gamma \cos \beta + c^2 \cos^2 \beta \\&= b^2 (1- \sin^2 \gamma )+ 2bc \cos \gamma \cos \beta + c^2 (1- \sin^2 \beta ) \\&( \because \cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma = \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 ) \\&= -( b^2 \sin^2 \gamma + c^2 \sin^2 \beta ) + b^2 + c^2 + 2bc \cos \beta \cos \gamma \\&= -( b \sin \gamma - c \sin \beta )^2 - 2bc \sin \gamma \sin \beta + b^2 + c^2 + 2bc \cos \beta \cos \gamma \\&= - 0^2 + b^2 + c^2 + 2bc ( \cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma ) \\&= b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha. \\&( \because \cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma = \cos ( \beta + \gamma ) = \cos ( \pi - \alpha ) = - \cos \alpha )\end{align}

따라서 제2 코사인 법칙^한국어이 유도된다.

에 주의하여 역변형을 하면, 제2 코사인 법칙^한국어에서 제1 코사인 법칙^한국어을 얻는다.

제2 코사인 법칙^한국어은 제1 코사인 법칙^한국어의 3개의 식만으로 유도할 수 있다. 삼제곱의 정리나 사인 법칙과 같은 초등 기하의 주요 정리는 사용하지 않고, 실질적으로는 삼각형의 닮음만으로 유도하고 있다.

:

\begin{align}a^2 &= a \times a \\&= a \times (b \cos \gamma +c \cos \beta) \\&= b \times a \cos \gamma + c \times a \cos \beta \\&= b(b-c \cos \alpha)+c(c-b \cos \alpha) \\&(\text{first cosine theorem}) \\&= b^2 + c^2 -2bc \cos \alpha.\end{align}

3. 활용

코사인 법칙은 삼각형의 해법에 사용되는 정리이다. (그림 3 참조)

그림 3 – 코사인 법칙의 활용: 알려지지 않은 변과 알려지지 않은 각도.

코사인 법칙은 삼각형의 내각을 그 코사인으로 파악한다. 여기서 코사인이란 각의 여각에 대한 사인이며, 여각이란 자신의 크기와 합이 직각이 되는 각을 말한다.

코사인 값을 안다고 해서 바로 내각을 알 수 있는 것은 아니지만, 삼각형의 내각은 (는 원주율) 범위를 가지며, 이 범위에서 코사인 함수 는 엄격하게 감소하는 전단사 함수이므로 코사인 값에 대한 내각은 유일하게 결정된다. 이를 식으로 나타내면 역삼각 함수 가 되며, 수치 계산이 가능하다. 따라서 코사인 법칙을 이용하면 삼각형의 내각과 변의 관계를 파악할 수 있다.

에서, 라고 하면, 다음과 같은 식이 성립한다.

:

:

:

이러한 식이 성립한다는 명제를 '''코사인 법칙''' 또는 '''제2 코사인 법칙'''이라고 한다.

특히 인 경우, 이므로 피타고라스 정리

:

가 유도된다. 즉, 제2 코사인 법칙은 "'''일반적인 삼각형에 대한 피타고라스 정리'''"라고 할 수 있다.

3. 1. 두 변과 끼인각이 주어졌을 때

이 정리는 삼각형의 해법에서 사용된다. (그림 3 참조) 두 변과 그 사이의 각도를 알 때 삼각형의 세 번째 변을 구하는 공식은 다음과 같다.

:

c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}

삼각형이 매우 예각일 경우, 즉 ''c''가 ''a''와 ''b''에 비해 작거나 ''γ''가 1에 비해 작을 경우 부동 소수점 계산에서 높은 반올림 오차가 발생할 수 있다. 각의 코사인의 결과가 1보다 약간 클 수도 있다.

3. 2. 세 변의 길이가 주어졌을 때

삼각형의 세 변의 길이를 모두 알 때, 코사인 법칙을 이용해 각의 크기를 구할 수 있다(그림 3 참조).

:

\gamma = \arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\,;

이 공식은 삼각형이 매우 예각일 경우, 즉 가 와 에 비해 작거나 가 1에 비해 작을 경우 부동 소수점 계산에서 높은 반올림 오차를 발생시킨다. 각의 코사인의 결과가 1보다 약간 클 수도 있다.

3. 3. 두 변과 끼인각이 아닌 각이 주어졌을 때

두 변과 끼인각이 아닌 각이 주어졌을 때, 삼각형의 세 번째 변을 구하는 공식은 다음과 같다.

:

a=b\cos\gamma \pm \sqrt{c^2 -b^2\sin^2\gamma}\,.

이 공식은 이차 방정식 에서 ''a''에 대해 풀어서 얻은 결과이다. 이 방정식은 주어진 데이터에 따라 가능한 삼각형의 수에 해당하는 2개, 1개 또는 0개의 양수 해를 가질 수 있다.

이면 두 개의 양수 해를 가진다.
이면 하나의 양수 해만 가진다.
이면 해가 없다.

이러한 경우는 변-변-각 합동 모호성에 의해서도 설명된다.

4. 비유클리드 기하학

코사인 법칙은 평면 기하학뿐만 아니라 비유클리드 기하학에서도 성립한다. 구면 기하학과 쌍곡 기하학에서도 유사한 형태의 코사인 법칙이 존재한다.

유클리드 기하학에서와 마찬가지로, 코사인 법칙을 사용하여 변의 길이 $a$, $b$, $c$를 알 때 각 $A$, $B$, $C$를 결정할 수 있다. 비유클리드 기하학에서는 그 반대도 가능하다. 즉, 각 $A$, $B$, $C$가 변 $a$, $b$, $c$를 결정한다.

4. 1. 구면 코사인 법칙

구면 삼각형의 세 각 $A,B,C$ 와 이들이 마주하는 세 변 $a,b,c$

단위 구면 위의 구면 삼각형

ABC

에서 세 각

A,B,C

가 마주하는 세 변을 각각

a,b,c

라고 하면, 다음 식이 성립한다.

:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C

여기서

\cos,\sin

은 각각 코사인, 사인이다. 이를 '''(제1) 구면 코사인 법칙'''(第一球面cosine法則, (first) spherical law of cosines^영어)이라고 한다. 이 명제의 쌍대 명제는 다음과 같다.

:

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c

이를 '''제2 구면 코사인 법칙'''(第二球面cosine法則, second spherical law of cosines^영어)이라고 한다.

제1, 2 구면 코사인 법칙은 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\cos C=\frac{\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}

:

\cos c=\frac{\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}

구면 기하학에서 삼각형은 단위 구면상의 세 점

\mathbf{u}

,

\mathbf{v}

,

\mathbf{w}

와 이 점들을 연결하는 대원의 호로 정의된다. 이 대원들이 반대편 변

a

,

b

,

c

와 각

A

,

B

,

C

를 이룬다면, 구면 코사인 법칙은 다음 두 관계가 모두 성립한다고 주장한다.

:

\begin{align}\cos a &= \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos A\\\cos A &= -\cos B\cos C + \sin B\sin C\cos a.\end{align}

4. 2. 쌍곡 코사인 법칙

가우스 곡률 -1의 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형

ABC

의 세 각

A,B,C

이 마주하는 변이 각각

a,b,c

라고 하면, 다음이 성립한다.

:

\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C

여기서

\cosh,\sinh

는 각각 쌍곡 코사인, 쌍곡 사인이다. 이를 '''(제1) 쌍곡 코사인 법칙'''((first) hyperbolic law of cosines^영어)이라고 한다.

마찬가지로, 다음이 성립한다.

:

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c

이를 '''제2 쌍곡 코사인 법칙'''(second hyperbolic law of cosines^영어)이라고 한다.

이 두 법칙은 각각 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.^[23]

:

\cos C=\frac{\cosh a\cosh b-\cosh c}{\sinh a\sinh b}

:

\cosh c=\frac{\cos A\cos B+\cos C}{\sin A\sin B}

특히,

C

가 직각일 경우의 제1 쌍곡 코사인 법칙은 쌍곡 피타고라스 정리가 된다.^[23]

:

\cosh c=\cosh a\cosh b

쌍곡 기하학에서는 이 방정식들이 쌍곡 코사인 법칙으로 알려져 있다. 첫 번째는 다음과 같다.

:

\cosh a = \cosh b\cosh c - \sinh b \sinh c \cos A

여기서

\sinh

와

\cosh

는 쌍곡 함수이며, 두 번째는 다음과 같다.

:

\cos A = -\cos B \cos C + \sin B\sin C\cosh a.

유클리드 기하학에서와 마찬가지로, 코사인 법칙을 사용하여 변

a,b,c

를 알 때 각

A,B,C

를 결정할 수 있다. 비유클리드 기하학 모델에서는 그 반대도 가능하다. 즉, 각

A,B,C

가 변

a,b,c

를 결정한다.

5. 일반화

임의의 사면체가 주어졌을 때, 네 개의 면의 넓이가 A, B, C, D이고, 면 A와 B 사이의 이각형이 $\varphi_{ab}$ 일 때, 코사인 법칙의 고차원적 유사는 다음과 같다.^[15]

: $A^2 = B^2 + C^2 + D^2 - 2\left(BC \cos \varphi_{bc} + CD \cos\varphi_{cd} + DB\cos \varphi_{db}\right).$

코사인 법칙은 벡터 변을 갖는 임의의 다면체를 고려하고 발산 정리를 적용하여 모든 다면체로 일반화할 수 있다.^[16]

6. 평면 코사인 법칙과의 관계

평면 코사인 법칙은 제1 구면 코사인 법칙 및 제1 쌍곡 코사인 법칙의 극한이다. 예를 들어, 평면 코사인 법칙이 제1 쌍곡 코사인 법칙의 극한임을 보이는 방법은 다음과 같다. 푸앵카레 원판의 반지름이 $r$ 일 경우, 제1 쌍곡 코사인 법칙은 다음과 같다.^[23]

: $\cosh\frac{c_r}r=\cosh\frac{a_r}r\cosh\frac{b_r}r-\sinh\frac{a_r}r\sinh\frac{b_r}r\cos C_r$

이 경우, $r\to\infty$ 일 때 쌍곡 거리 $a_r,b_r,c_r$ 는 유클리드 거리의 2배 $2a_\infty,2b_\infty,2c_\infty$ 로 수렴하며, 쌍곡각 $A_r,B_r,C_r$ 은 유클리드 각 $A_\infty,B_\infty,C_\infty$ 로 수렴한다. 테일러 정리에 따라 다음이 성립한다.

: $\cosh\frac{a_r}r=1+\frac 12\left(\frac{a_r}r\right)^2+o\left(\frac 1{r^2}\right)\qquad(r\to\infty)$

: $\cosh\frac{b_r}r=1+\frac 12\left(\frac{b_r}r\right)^2+o\left(\frac 1{r^2}\right)\qquad(r\to\infty)$

: $\cosh\frac{c_r}r=1+\frac 12\left(\frac{c_r}r\right)^2+o\left(\frac 1{r^2}\right)\qquad(r\to\infty)$

이를 법칙에 대입하면 다음을 얻는다.

: $\frac{c_r^2}{r^2}=\frac{a_r^2}{r^2}+\frac{b_r^2}{r^2}-2\sinh\frac{a_r}r\sinh\frac{b_r}r\cos C_r+o\left(\frac 1{r^2}\right)\qquad(r\to\infty)$

다음에 주의하여, 양변에 $r^2$ 을 곱한 뒤 극한 $r\to\infty$ 을 취하고 다시 양변에 4를 나누면 평면 코사인 법칙을 얻는다.

: $\lim_{r\to\infty}r\sinh\frac{a_r}r=2a_\infty$

: $\lim_{r\to\infty}r\sinh\frac{b_r}r=2b_\infty$

: $\lim_{r\to\infty}r\sinh\frac{b_r}r=2c_\infty$

: $c_\infty^2=a_\infty^2+b_\infty^2-2a_\infty b_\infty\cos C_\infty$

제2 쌍곡 코사인 법칙

: $\cos C_r=-\cos A_r\cos B_r+\sin A_r\sin B_r\cosh\frac{c_r}r$

에 극한 $r\to\infty$ 을 취하면 다음과 같은 자명한 항등식이 된다.

: $\cos C_\infty=-\cos A_\infty\cos B_\infty+\sin A_\infty\sin B_\infty$

이는 $A_\infty+B_\infty+C_\infty=\pi$ 이므로 자명하다. 따라서 유클리드 기하학에는 제2 코사인 법칙이 존재하지 않는다.^[23]

참조

_[1] 웹사이트 Elements http://www.perseus.t[...] 2023-01-24
_[2] 서적 The Thirteen Books of Euclid's Elements
_[3] 간행물 Bīrūnī on the Solar Equation
_[4] 서적 Heavenly mathematics: The forgotten art of spherical trigonometry Princeton University Press
_[5] 서적 Traité du quadrilatère attribué a Nassiruddinel-Toussy Typographie et Lithographie Osmanié
_[6] 간행물 Meftab Al-Hesab: A Summary https://projecteucli[...]
_[7] 서적 Al-Kashi's Miftah al-Hisab, Volume II: Geometry Birkhäuser
_[8] 웹사이트 The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension https://books.google[...] Sterling Publishing Company, Inc. 2009
_[9] 서적 Programme de mathématiques de première générale Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse
_[10] 서적 Géométrie de position https://archive.org/[...] J.B.M Duprat
_[11] 웹사이트 Java applet version http://aleph0.clarku[...]
_[12] 웹인용 The Law of Cosines (Independent of the Pythagorean Theorem) http://www.cut-the-k[...] 2024-01-09
_[13] 서적 Plane Trigonometry https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[14] 간행물 The Laws of Sines and Cosines
_[15] 서적 A Treatise on Spherical Trigonometry: And Its Application to Geodesy and Astronomy with Numerous Examples Longmans, Green, & Company
_[16] 간행물 Law of Cosines Generalised for any Polygon and any Polyhedron
_[17] 웹사이트 余弦定理 https://w3e.kanazawa[...] 2022-05-20
_[18] 서적
_[19] 서적 http://farside.ph.ut[...] 2018-12-10
_[20] 서적
_[21] 서적 https://books.google[...]
_[22] 서적 https://archive.org/[...]
_[23] 서적

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