테이트 추측

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1. 개요
2. 테이트 추측의 진술
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 추측의 내용
3. 알려진 사례
4. 관련 추측
5. 한국의 관점 및 연구 현황
참조

1. 개요

테이트 추측은 대수 기하학 분야의 중요한 문제로, 체 위의 매끄러운 사영 대수다양체의 l-adic 코호몰로지와 갈루아 군의 관계를 설명한다. 이 추측은 갈루아 군에 의해 고정된 코호몰로지 부분 공간이 대수적 사이클로 생성된다는 것을 주장하며, 대수적 사이클의 존재와 관련된 문제이다. 테이트 추측은 아벨 다양체와 K3 곡면을 포함한 특정 경우에 증명되었지만, 일반적인 경우에는 아직 미해결 문제로 남아있다. 이와 관련된 추측으로는 반단순성 추측, 강한 테이트 추측, 그리고 그로텐디크의 표준 추측 등이 있다.

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테이트 추측
개요
1993년의 존 테이트
분야	대수기하학 및 수론
추측 제안자	존 테이트
추측 제안일	1963년
알려진 사례	아벨 다양체 위의 약수
결과	대수적 주기에 대한 표준 추측

2. 테이트 추측의 진술

테이트 추측은 대수기하학의 중요한 추측 중 하나로, 대수적 순환(algebraic cycle)과 l-진 코호몰로지(l-adic cohomology) 사이의 관계를 설명한다. 이 추측은 복잡한 수학적 개념들을 포함하고 있지만, 핵심적인 내용은 다음과 같이 요약할 수 있다.

'''대수적 순환'''은 어떤 대수다양체의 부분다양체들의 유한한 선형 결합으로 정의된다. 테이트 추측은 이러한 대수적 순환들이 특정한 코호몰로지 군의 원소들과 어떻게 관련되는지를 밝히는 것을 목표로 한다.

좀 더 구체적으로, $V$ 를 어떤 체 ''k'' 위에서 정의된 매끄러운 사영 대수다양체라고 하자. ''k''의 분리 가능한 폐포 ''k''_s를 고정하고, ''k''의 절대 갈루아 군 ''G'' = Gal(''k''_s/''k'')를 생각한다. ''k''에서 가역적인 소수 ℓ을 선택하고, ''V''의 ℓ-진 코호몰로지 군을 고려한다. 이 군들은 ''G''의 표현(representation)을 이룬다.

이때, ''V''의 여차원이 ''i''인 부분다양체는 ℓ-진 코호몰로지 군

: $H^{2i}(V_{k_s},\mathbf{Q}_{\ell}(i)) = W$

의 한 원소를 결정하며, 이 원소는 ''G''에 의해 고정된다. 여기서 '''Q'''_ℓ(''i'')는 ''i''번째 테이트 꼬임을 나타낸다.

테이트 추측의 핵심은, 갈루아 군 ''G''에 의해 고정되는 ''W''의 부분 공간 ''W''^''G''가 ''V''의 여차원 ''i''인 부분다양체들의 클래스에 의해 생성된다는 것이다. 즉, ''W''^''G''의 모든 원소는 '''Q'''_ℓ 계수를 갖는 ''V'' 위의 대수적 순환의 클래스로 나타낼 수 있다는 것이다.

이 추측은 대수적 순환과 코호몰로지 사이의 깊은 관계를 제시하며, 대수기하학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다.

2. 1. 기본 정의

V

를 소체에서 유한 생성된 체 ''k''에 대한 매끄러운 사영 다양체라고 가정한다. ''k_s''를 분리 가능한 대수적 폐포라고 하고, ''G''를 ''k''의 절대 갈루아 군

\mathrm{Gal}(k_s/k)

라고 둔다. ''k''에서 단원인 소수 ℓ를 고정한다. ''V''에서 ''k_s''로의 기본 확장의 ℓ-진 코호몰로지 군(ℓ-진 정수

\Z_\ell

계수, 스칼라는 ℓ-진 수

\Q_\ell

로 확장됨)을 고려하면, 이 군들은 ''G''의 표현들이다.

임의의 ''i\geq0''인 경우,

V

의 여차원 ''i''인 부분 다형체(''k''에 대해 정의되는 것으로 이해됨)는 다음 코호몰로지 군의 원소를 결정한다.

:

H^{2i}(V_{k_s},\mathbf{Q}_{\ell}(i)) = W

이 원소는 ''G''에 의해 고정된다. 여기서

\Q_\ell(i)

은 ''i''번째 테이트 꼬임을 나타내며, 이는 갈루아 군 ''G''의 표현이 원분 지표의 ''i''번째 거듭제곱으로 텐서곱됨을 의미한다.

테이트 추측은 갈루아 군 ''G''에 의해 고정된 ''W''의 부분공간 ''W^G''가

\Q_\ell

-벡터 공간으로서

V

의 여차원 ''i''부분 다형체 클래스에 걸쳐 있음을 나타낸다. 대수적 순환은 부분 다형체의 유한 선형 조합을 의미한다. 따라서 동등한 진술은 ''W^G''의 모든 원소가

\Q_\ell

계수를 갖는

V

에 대한 대수적 순환의 클래스라는 것이다.

2. 2. 추측의 내용

V

를 소체에서 유한 생성된 체 ''k''에 대한 매끄러운 사영 다형체라고 가정한다. ''

k_s

''를 분리 가능한 대수적 폐포라고 하고, ''

G

''를 ''k''의 절대 갈루아 군

\mathrm{Gal}(k_s:k)

이라고 둔다. ''k''에서 단원인 소수 ℓ를 고정한다.

V

에서 ''

k_s

''로의 기본 확장의 ℓ-진 코호몰로지 군(ℓ-진 정수 ''

\Z_\ell

'' 계수, 스칼라는 ℓ-진 수 ''

\Q_\ell

''로 확장됨)을 고려하면, 이 군들은 ''

G

''의 표현들이다.

''

i\geq0

''인 임의의 경우,

V

의 여차원 ''i''인 부분 다형체(''k''에 대해 정의되는 것으로 이해됨)는 코호몰로지 군의 원소를 결정한다.

:

H^{2i}(V_{k_s},\mathbf{Q}_{\ell}(i)) = W

이는 ''

G

''에 의해 고정된다. 여기서 ''

\Q_\ell(i)

''은 ''

i

''번째 테이트 꼬임을 나타내며, 이는 갈루아 군 ''

G

''의 표현이 원분 지표의 ''

i

''번째 거듭제곱으로 텐서링됨을 의미한다.

'''테이트 추측'''은 갈루아 군 ''

G

''에 의해 고정된 ''

W

''의 부분공간 ''

W^G

''가 ''

\Q_\ell

''-벡터 공간으로서

V

의 여차원 ''

i

''부분 다형체 클래스에 걸쳐 있음을 나타낸다. '''대수적 순환'''은 부분 다형체의 유한 선형 조합을 의미한다. 따라서 동등한 진술은 ''

W^G

''의 모든 원소가 ''

\Q_\ell

'' 계수를 갖는

V

에 대한 대수적 순환의 클래스라는 것이다.

3. 알려진 사례

테이트 추측이 증명된 몇 가지 중요한 사례들이 있다.

'''아벨 다양체''': 아벨 다양체에 대한 테이트 추측은 유한체 위에서는 테이트, 수체 위에서는 팔팅스가 증명했으며, 자린이 유한 생성 기저체로 확장했다.^[12] 이는 아벨 다양체 사이의 준동형 사상에 대한 강력한 명제와 동치이다.^[13]
'''K3 곡면''': 표수가 2가 아닌 유한 생성 체 위에서 K3 곡면에 대한 테이트 추측이 성립한다.^[14] 표수 0인 경우에는 앙드레와 Tankeev, 표수가 2가 아닌 유한체 위에서는 니가드, 오거스, Charles, Madapusi Pera, Maulik 등이 증명했다.
'''곡선들의 곱''': 아벨 다양체에 대한 테이트 추측은 임의의 곡선들의 곱 $C_1\times\cdots\times C_n$ 에 대한 테이트 추측을 함의한다.^[12]

하지만 제수에 대한 테이트 추측은 여전히 풀리지 않은 주요 문제로 남아있다.^[11]

3. 1. 제수 (Divisor)

제수에 대한 테이트 추측은 여전히 주요 미해결 문제로 남아있다.^[11]^[1]^[6] 예를 들어 ''f'' : ''X'' → ''C''를 유한체 위에서 매끄러운 사영 곡면에서 매끄러운 사영 곡선으로의 사상이라고 할 때, 함수체 ''k''(''C'') 위에 있는 곡선인 ''f''의 일반 올(generic fiber) ''F''가 ''k''(''C'') 위에서 매끄럽다고 가정하면, ''X'' 위의 제수에 대한 테이트 추측은 ''F''의 야코비 다양체에 대한 버치-스위너턴다이어 추측과 동치이다.^[11]^[1]^[6]

하지만 몇몇 경우에는 테이트 추측이 참인 것으로 알려져 있다. 가장 중요한 예시는 아벨 다양체의 제수에 대한 경우인데, 이는 유한체 위의 아벨 다양체에 대한 테이트의 정리와 수체 위의 아벨 다양체에 대한 팔팅스의 정리로 증명되었다.^[12]^[2]^[7] 자린은 이 결과를 유한 생성 기저체로 확장했다. 아벨 다양체의 제수에 대한 테이트 추측은 임의의 곡선의 곱

C_1\times\cdots\times C_n

에 대한 제수에 대한 테이트 추측을 의미한다.^[12]^[2]^[7]

아벨 다양체의 제수에 대한 테이트 추측은 아벨 다양체 준동형사상에 대한 강력한 명제와 동치이다. 유한하게 생성된 체 ''k''에 대한 임의의 아벨 다양체 ''A'' 및 ''B''에 대해, 자연 사상

:

\text{Hom}(A,B)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Q}_{\ell} \to \text{Hom}_G \left (H_1 \left (A_{k_s},\mathbf{Q}_{\ell} \right), H_1 \left (B_{k_s},\mathbf{Q}_{\ell} \right) \right )

은 동형사상이다.^[13]^[3]^[8] 즉, 아벨 다양체 ''A''는 테이트 가군 ''H''₁(''A''_{''k''_s}, '''Z'''_''l'')의 갈루아 표현에 의해 동종 사상을 기준으로 유일하게 결정된다.

테이트 추측은 표수가 2가 아닌 유한 생성 체에 대한 K3 곡면에도 적용된다.^[14]^[4]^[9] 표수가 0인 체에서 K3 곡면에 대한 테이트 추측은 앙드레와 Tankeev에 의해 증명되었고, 표수가 2가 아닌 유한체 위의 K3 곡면에 대해서는 니가르드, 오거스, Charles, Madapusi Pera 및 Maulik이 테이트 추측을 증명했다.

3. 2. 아벨 다양체 (Abelian Variety)

아벨 다양체에 대한 테이트 추측은 유한체와 수체 위에서 모두 성립함이 증명되었다.^[12] 이는 팔팅스와 자린의 업적이다. 팔팅스의 정리는 모델 추측에 대한 팔팅스의 해의 일부이다. 자린은 이러한 결과를 유한 생성 기저 체로 확장했다.^[12]

아벨 다양체에 대한 테이트 추측은 아벨 다양체 사이의 준동형사상에 대한 다음과 같은 명제와 동치이다.^[13] 유한하게 생성된 체 ''k'' 위의 임의의 아벨 다양체 ''A'' 및 ''B''에 대해, 다음 자연 사상

:

\text{Hom}(A,B)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Q}_{\ell} \to \text{Hom}_G \left (H_1 \left (A_{k_s},\mathbf{Q}_{\ell} \right), H_1 \left (B_{k_s},\mathbf{Q}_{\ell} \right) \right )

은 동형사상이다.^[13]

특히, 아벨 다양체 ''A''는 테이트 가군 ''H''₁(''A''_{''k''_s}, '''Z'''_ℓ)의 갈루아 표현에 의해 동종 사상을 기준으로 유일하게 결정된다.

3. 3. K3 곡면 (K3 Surface)

테이트 추측은 표수가 2가 아닌 유한 생성 체 위에서 K3 곡면에 대해 성립한다.^[14] 곡면에서 추측의 중요한 부분은 제수에 관한 것이다. 표수가 0인 체에서 K3 곡면에 대한 테이트 추측은 앙드레와 탄키예프(Tankeev)에 의해 증명되었다. 표수가 2가 아닌 유한체 위의 K3 곡면에 대해서는 니가드, 오거스, 찰스(Charles), 마다푸시 페라(Madapusi Pera) 및 마울릭(Maulik)이 테이트 추측을 증명했다.

4. 관련 추측

테이트 추측은 대수기하학에서 중요한 미해결 문제들 중 일부인 다른 추측들과 밀접하게 연관되어 있다.

반단순성 추측: ''X''의 ℓ-진 코호몰로지에서 갈루아 군의 표현이 반단순(기약 표현의 직합)이라는 추측이다.
강한 테이트 추측: 테이트 추측과 반단순성 추측을 결합한 것으로, 제타 함수의 극의 차수와 대수적 순환 군의 랭크 사이의 관계를 나타낸다.^[15]^[5]^[10]
표준 추측: 그로텐디크의 대수적 순환에 대한 표준 추측의 대부분은 테이트 추측에서 유도된다.

4. 1. 반단순성 추측 (Semisimplicity Conjecture)

''X''를 유한하게 생성된 체 ''k''에 대한 매끄러운 사영 다양체라고 하자. '''반단순성 추측'''은 ''X''의 ℓ-진 코호몰로지에서 갈루아 군 ''G'' = Gal(''k''_s/''k'')의 표현이 반단순(즉, 기약 표현의 직합)이라고 예측한다. 표수가 0인 ''k''에 대해, 테이트 추측은 다음의 반단순성을 함의한다.^[15]

:

H^i \left (X \times_k \overline{k}, \mathbf{Q}_\ell(n) \right ).

위수 ''q''인 유한체 ''k''에 대해, 테이트는 테이트 추측에 반단순성 추측을 더하면 '''강한 테이트 추측'''이 된다는 것을 보였다. '''강한 테이트 추측'''이란, 제타 함수 ''Z''(''X'', ''t'')의 ''t'' = ''q''^−''j''에서 극의 차수는 수치적 동치를 법으로 여차원 ''j''인 대수적 순환 군의 랭크와 같다는 것이다.^[15]

4. 2. 강한 테이트 추측 (Strong Tate Conjecture)

''X''를 유한하게 생성된 체 ''k'' 위의 매끄러운 사영 다형체라고 할 때, '''반단순성 추측'''은 ''X''의 ℓ-진 코호몰로지에서의 갈루아 군

\mathrm{Gal}(k_s:k)

의 표현이 반단순(즉, 기약 표현의 직합)이라고 예측한다. ''k''가 위수 ''q''인 유한체일 때, 테이트는 테이트 추측과 반단순성 추측을 결합하면 '''강한 테이트 추측'''이 됨을 보였다.^[15] 강한 테이트 추측은 제타 함수

Z(X,t)

가

t=q^{-j}

에서 갖는 극점의 차수가 수치적 동치를 법으로 하는 여차원 ''j''인 대수적 순환 군의 랭크와 같다는 것이다.^[15]^[5]^[10]

4. 3. 표준 추측 (Standard Conjectures)

그로텐디크의 대수적 순환에 대한 표준 추측은 호지 추측과 마찬가지로 테이트 추측에서 대부분 나온다. 이는 레프셰츠 표준 추측(레프셰츠 동형의 역이 대수적 대응으로 정의됨), 대각선의 퀴네스 성분이 대수적이라는 것, 그리고 대수적 순환의 수치적 동치성과 호몰로지 동치성이 동일하다는 것을 의미한다.^[15]

5. 한국의 관점 및 연구 현황

테이트 추측과 관련하여 대한민국에서는 이렇다 할 연구나 논의가 진행되고 있지 않다.

참조

_[1] 논문 Arithmetic Geometry over Global Function Fields 2014
_[2] 논문 Motives 1994
_[3] 논문 Arithmetical Algebraic Geometry 1965
_[4] 논문 Inventiones Mathematicae
_[5] 논문 Motives 1994
_[6] 논문 Arithmetic Geometry over Global Function Fields 2014
_[7] 논문 Motives 1994
_[8] 논문 Arithmetical Algebraic Geometry 1965
_[9] 논문 Inventiones Mathematicae
_[10] 논문 Motives 1994
_[11] 논문 Arithmetic Geometry over Global Function Fields 2014
_[12] 논문 Motives 1994
_[13] 논문 Arithmetical Algebraic Geometry 1965
_[14] 논문 Inventiones Mathematicae
_[15] 논문 Motives 1994

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