절대 갈루아 군

1. 개요

절대 갈루아 군은 체 K의 분해 가능 폐포 K^sep의 K에 대한 갈루아 군으로 정의되며, K 위에서 항등인 K^sep의 자기 동형 사상들로 구성된 군이다. 절대 갈루아 군은 노이키르히-우치다 정리를 통해 대수적 수체의 구조를 결정하는 중요한 역할을 하며, 모든 사영 프로유한군은 의사 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군으로 실현될 수 있다. 절대 갈루아 군의 예시로는 대수적으로 닫힌 체의 자명군, 실수체의 위수 2 순환군, 유한체의 프로유한 완비화 등이 있으며, 유리수체의 절대 갈루아 군 구조는 아직 밝혀지지 않았다.

2. 정의

임의의 체 K에 대해, 그 분해 가능 폐포 K^sep는 K의 갈루아 확대를 이룬다. K가 완전체일 때, K^sep는 대수적 폐포 $\backslash bar\; K$와 같다. 이는 예를 들어 표수가 0인 체나 유한체에 대하여 성립한다. K의 절대 갈루아 군은 그 갈루아 군 Gal(K^sep/K) (즉, K 위에서 항등인 K^sep의 자기 동형 사상들이 함수의 합성에 따라 이루는 군)으로 정의된다.

체 K의 절대 갈루아 군은 K^sep의 선택에 의존하지만, 동형 아래 유일하다. 구체적으로, L/K와 σ(L)/σ(K)가 분해 가능 폐포이며, σ∈Isom(L/K, σ(L)/σ(K))가 그 사이의 K-대수 동형일 때, Gal(σ(L)/σ(K)) = σ∘Gal(L/K)∘σ^-1이다.

3. 성질

체 $K$의 절대 갈루아 군은 분해 가능 폐포 $K^\{\backslash operatorname\{sep\}\}$의 선택에 의존하지만, 동형 아래 유일하다. 구체적으로, $L/K$와 $\backslash sigma(L)/\backslash sigma(K)$가 분해 가능 폐포이고, $\backslash sigma\backslash in\backslash operatorname\{Isom\}(L/K,\backslash sigma(L)/\backslash sigma(K))$가 그 사이의 $K$-대수 동형일 때, 다음이 성립한다.
:$\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash sigma(L)/\backslash sigma(K))=\backslash sigma\backslash circ\backslash operatorname\{Gal\}(L/K)\backslash circ\backslash sigma^\{-1\}$

3.1. 노이키르히-우치다 정리

노이키르히-우치다 정리(Neukirch–Uchida theorem^영어)에 따르면, 임의의 두 대수적 수체 $K\_1$, $K\_2$ 및 절대 갈루아 군 사이의 위상군 동형 사상
:$\backslash phi\backslash colon\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\; K\_1/K\_1)\backslash xrightarrow\backslash cong\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\; K\_2/K\_2)$
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 체 동형 사상 $\backslash sigma\backslash colon\backslash bar\; K\_1\backslash xrightarrow\backslash cong\backslash bar\; K\_2$가 존재한다.
:$\backslash sigma(K\_1)=K\_2$
:$\backslash phi(g)=\backslash sigma\backslash circ\; g\backslash circ\backslash sigma^\{-1\}\backslash qquad\backslash forall\; g\backslash in\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\; K\_1/K\_1)$
이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.
:$\backslash begin\{matrix\}$
K_1 & \hookrightarrow & \bar{K_1} & \xrightarrow[\cong]g & \bar{K_1} \\
{\scriptstyle\sigma|_{K_1}}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle\sigma} & & \downarrow{\scriptstyle\sigma} \\
K_2 & \hookrightarrow & \bar{K_2} & \xrightarrow[\phi(g)]{\cong} & \bar{K_2}
\end{matrix}

특히, 임의의 두 대수적 수체 $K\_1$, $K\_2$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\{K\_1\}/K\_1)\backslash cong\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\{K\_2\}/K\_2)$
* $K\_1\backslash cong\; K\_2$
노이키르히-우치다 정리는 대수적 수체의 절대 갈루아 군의 모든 동형사상이 체 자기 동형사상에서 발생한다고 주장한다. 특히 수체의 두 절대 갈루아 군은 기저 체가 동형사상일 때에만 동형사상이다.

3.2. 역문제

모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이지만, 모든 사유한군이 어떤 절대 갈루아 군과 동형인 것은 아니다. 예를 들어, 아르틴-슈라이어 정리에 따르면, 유한 절대 갈루아 군은 자명군이거나 2차 순환군이다.

모든 사영 사유한군은 어떤 유사 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군과 동형이다. 이 결과는 알렉산데르 루보츠키(אלכסנדר לובוצקי^히브리어)와 라우 판덴드리스(Lou van den Dries^{네덜란드어})가 증명하였다.

4. 예

유한체의 절대 갈루아 군은 프로유한 정수 군과 동형이다. 이는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash hat\{\backslash mathbf\{Z\}\}\; =\; \backslash varprojlim\; \backslash mathbf\{Z\}/n\backslash mathbf\{Z\}.$

여기서 프로베니우스 자기동형사상 Fr은 G_K의 정규(위상적) 생성자이며, Fr(x) = x^q (여기서 x는 K^alg의 원소, q는 K의 원소 개수)로 정의된다.

p-진수 Q_p의 유한 확장 K에 대해, p ≠ 2인 경우 그 절대 갈루아 군은 [K:Q_p] + 3개의 원소에 의해 생성되며, 생성자와 관계에 대한 명시적인 설명이 존재한다. 이는 우베 얀센과 카이 윙버그의 결과이다. p = 2인 경우에도 일부 결과가 알려져 있지만, Q₂의 구조는 알려져 있지 않다.

절대 갈루아 군이 결정된 또 다른 경우는 대수적 수 체의 가장 큰 전체 실수 부분체이다.

4.1. 대수적으로 닫힌 체

대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군은 자명군이다.

4.2. 실수체

실수체의 절대 갈루아 군은 2차 순환군이며, 항등 함수와 복소켤레로 이루어진다. 이는 복소수체 C가 실수체 R의 분리 가능한 폐포이고 [C:R] = 2이기 때문이다.

4.3. 유한체

유한체 $\backslash mathbb\; F\_q$의 절대 갈루아 군은 정수환의 사유한 완비화와 동형이다.
:$\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\{\backslash mathbb\; F\_q\}/\backslash mathbb\; F\_q)\backslash cong\backslash hat\backslash mathbb\; Z=\backslash varprojlim\_n\backslash mathbb\; Z/n\backslash mathbb\; Z\backslash cong\backslash prod\_p\backslash mathbb\; Z\_p$
또한, 프로베니우스 사상
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{\backslash mathbb\; F\_q\}\backslash in\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\{\backslash mathbb\; F\_q\}/\backslash mathbb\; F\_q)$
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{\backslash mathbb\; F\_q\}\backslash colon\; x\backslash mapsto\; x^q$
은 그 위상 생성원(topological generator^영어)을 이룬다. 즉, 이를 생성원으로 하는 순환군은 절대 갈루아 군의 조밀 부분군이다.

4.4. 유리수체와 샤파레비치 추측

유리수체의 절대 갈루아 군 $\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\backslash mathbb\; Q/\backslash mathbb\; Q)$의 구조는 아직 알려지지 않았다. 예를 들어, 유리수체의 최대 아벨 확대 $\backslash mathbb\; Q^\{\backslash operatorname\{ab\}\}=\backslash mathbb\; Q(\backslash mu)$의 절대 갈루아 군 $\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\{\backslash mathbb\; Q\}/\backslash mathbb\; Q^\{\backslash operatorname\{ab\}\})$이 가산 계수 자유 사유한군인지 여부는 알려지지 않았다. 이를 샤파레비치 추측(Shafarevich's conjecture^영어)이라고 하며, 이고리 샤파레비치가 추측하였다. 만약 샤파레비치 추측이 참이라면, $\backslash mathbb\; Q^\{\backslash operatorname\{ab\}\}$의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다.

유리수체의 최대 아벨 확대 K의 절대 갈루아 군은 자유 부유한 군일 것이라고 예상되고 있다(샤파레비치 추측).

4.5. 유리 함수체

임의의 대수적으로 닫힌 체 $K$의 유리 함수체 $K(t)$의 절대 갈루아 군은 계수 $|K|$의 자유 사유한군이며, 따라서 $K(t)$의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. 이는 아드리앙 두아디(Adrien Douady^프랑스어)가 리만 존재 정리를 사용하여 표수 0에 대하여 증명하였다. 일반적인 경우는 데이비드 하베터(David Harbater^영어)와 플로리안 포프(Florian Pop^{루마니아어})가 증명하였으며, 댄 하란(Dan Haran^영어)과 모셰 자르덴(Moshe Jarden^영어)이 대수적으로 재증명하였다.

복소수체 위의 유리 함수체의 절대 갈루아 군은 자유 사유한군이다. 이는 리만 존재 정리에 기원을 둔 정리로, 아드리앙 두아디(Adrien Douady^프랑스어)에 의해 증명되었다.

보다 일반적으로, 임의의 대수적으로 닫힌 체 C에 대해, 유리 함수체 K = C(x)의 절대 갈루아 군은 자유이며 그 계수는 C의 농도와 같다는 것이 알려져 있다. 이는 데이비드 하베터(David Harbater^영어)와 플로리안 포프(Florian Pop^{루마니아어})에 의해 증명되었고, 이후 댄 하란과 모셰 자르덴에 의해 대수적인 방법으로 다른 증명이 주어졌다.

4.6. p진 국소체

p진수 $\backslash mathbb\; Q\_p$의 유한 확대 $K$의 절대 갈루아 군은 $p\; \backslash ne\; 2$인 경우 위상 유한 표시 사유한군이며, $[\backslash mathbb\; K:\backslash mathbb\; Q\_p]+3$개의 위상 생성원 및 2개의 관계에 의한 표시를 갖는다. 이는 de과 de가 증명하였다. $p=2$인 경우는 완전한 묘사가 알려져 있지 않다.

5. 대한민국 관점에서의 연구 동향

대한민국에서는 유리수체 및 유한체의 절대 갈루아 군에 대한 연구와 샤파레비치 추측과 관련된 연구가 활발하게 진행되고 있으며, 이는 정수론, 대수기하학, 암호학 등 다양한 분야에 응용될 가능성을 제시한다.