오일러-마스케로니 상수

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 성질
5. 알려진 자릿수
6. 일반화
참조

1. 개요

오일러-마스케로니 상수는 1734년 레온하르트 오일러가 처음 정의한 수학 상수이다. 이 상수는 조화 급수와 자연 로그의 차이의 극한으로 정의되며, 약 0.57721의 값을 갖는다. 오일러-마스케로니 상수는 감마 함수, 리만 제타 함수 등 다양한 수학적 개념과 관련이 있으며, 유리수인지 무리수인지 여부는 아직 밝혀지지 않았다. 이 상수는 슈틸티예스 상수, 오일러의 일반화된 상수 등으로 일반화될 수 있으며, 오일러-레머 상수와 마세르-그라맹 상수와 같은 관련 상수들도 존재한다. 현재까지 소수점 아래 수억 자리까지 계산되었다.

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오일러-마스케로니 상수
일반 정보
이름	오일러-마스케로니 상수
다른 이름	오일러 상수, 오일러 감마 상수
기호	γ
발견 연도	1734년
발견자	레온하르트 오일러
관련 분야	수론 해석학
값	0.5772156649...
영어 이름	Euler-Mascheroni constant, Euler's constant, Euler's gamma
정의
정의식	γ := lim (n → ∞) (∑(k=1 to n) 1/k - ln(n)) = ∫(1 to ∞) (1/⌊x⌋ - 1/x) dx
성질
종류	무리수인지 여부가 밝혀지지 않음
같이 보기
관련 항목	오일러 수

2. 역사

레온하르트 오일러가 1734년에 〈조화급수에 대한 고찰〉(De Progressionibus harmonicis observationes^la)이라는 논문에서 오늘날 오일러-마스케로니 상수로 불리는 수를 최초로 정의하였다. 오일러는 이 상수를 ''C'' 또는 ''O''로 표시했다. 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니(Lorenzo Mascheroni^it)도 1790년 이 수를 언급하였고, ''A'' 또는 ''a''라는 기호를 사용하였다.

오일러-마스케로니 상수는 보통 소문자 감마 ''γ''로 표기된다. 이 기호는 오일러나 마스케로니의 저서에는 등장하지 않으나, 이후 이 수가 대문자 감마로 표기되는 감마 함수와 깊은 관계를 가진다는 사실이 발견되면서 소문자 감마가 사용되게 되었다. 소문자 감마 기호가 사용된 최초의 논문은 1835년에 작성되었고, 1837년 출판되었다.^[106]

오일러는 처음 이 상수의 값을 소수점 6자리까지 계산했다. 1781년에는 소수점 16자리까지 계산했다. 이탈리아 수학자 로렌초 마스케로니는 이 상수를 소수점 32자리까지 계산하려 했지만, 20~22번째와 31~32번째 소수점에서 오류를 범했다. 그는 20번째 자리부터 ...'''181'''12090082'''39'''로 계산했지만, 실제 값은 ...'''065'''12090082'''40'''이다. 1809년에는 요한 게오르크 폰 졸트너가 소수점 아래 22자리까지 계산을 수행했으며, 기호 ''H''를 사용했다.

독일 수학자 카를 안톤 브레치나이더는 1835년에 기호 ''γ''를 사용했고,^[106] 오거스터스 드 모건은 1836년부터 1842년까지 부분적으로 출판된 교과서에서 이를 사용했다.

인도의 수학자 스리니바사 라마누잔도 오일러-마스케로니 상수에 관한 연구를 진행하여 1917년에 논문을 발표했다.^[1] 다비트 힐베르트는 ''γ''의 무리성을 "접근할 수 없는" 미해결 문제로 언급했고, 영국 수학자 고드프리 하디는 이를 증명하는 사람에게 옥스퍼드의 사빌 의장직을 넘겨주겠다고 제안했다고 한다.^[48]

3. 정의

Euler–Mascheroni constant^영어 $\gamma$(감마)는 다음과 같은 극한으로 정의된다.

:$\gamma = \lim_{n\to\infty } \left(\sum_{k=1}^n\frac1k - \ln n\right)=\int_1^\infty\left(\frac1{\lfloor x\rfloor}-\frac1x\right)\,dx$

그 값은 다음과 같다.

:0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

레온하르트 오일러는 유한항의 조화 급수의 근사식에 대한 관심에서 조화 급수의 증가가 극한에서 로그 함수와 같다는 것을 증명했다. 즉, 조화 급수와 로그 함수의 차이는 어떤 상수로 수렴하며, 그것이 나중에 오일러-마스케로니 상수로 불리게 되었다. 오일러는 이 값을 소수점 6자리까지 구했다. 그 후 로렌초 마스케로니가 32번째 자리까지 구했고 (단, 정확했던 것은 20번째 자리까지), $\gamma$ 기호로 나타냈다.^[102]

4. 성질

오일러-마스케로니 상수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다. 연분수 분석에 따르면, 만약 이 상수가 유리수라면 그 분모는 적어도 10²⁴²⁰⁸⁰ 이상이다.

4. 1. 감마 함수와의 관계

감마 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

:

\gamma = -\lim_{z\to 0} \left\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\}= -\lim_{z\to 0} \left\{\Psi(z)   + \frac1{z} \right\}.

디감마 함수

\Psi(z)

는 감마 함수의 로그 도함수이며,

z=1

에서

\Psi(1) = -\gamma

이다.^[102]

4. 2. 리만 제타 함수와의 관계

리만 제타 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

:

\begin{align}\gamma &= \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{m} \\&= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m} \\&= \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right )  = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right ) \end{align}

다음은 오일러-마스케로니 상수와 관련된 추가적인 관계들이다.

감마 함수와 바르네스 G-함수에 대한 바이어슈트라스 곱 공식.^[3]^[4]
$\Gamma(1/x)$ 의 점근 전개.
유리수 값에서의 디감마 함수의 값 평가.^[5]
리만 제타 함수의 로랑 급수 전개에서 슈틸체스 상수의 첫 번째 값.^[6]
리만 제타 함수의 미분 및 디리클레 베타 함수의 미분 값.^[26]^[49]
라플라스 변환 및 멜린 변환과의 관련성.^[7]^[8]
조화 급수를 유한 값으로 정규화/재정규화하는 데 사용.
지수 적분 및 로그 적분 함수를 포함하는 식.^[9]^[10]
코사인 적분의 정의.^[9]
베셀 함수와의 관련성.^[11]^[12]^[13]^[14]
수정된 스트루베 함수의 점근 전개.^[15]
다른 특수 함수와의 관련성.^[16]^[17]
오일러 피 함수에 대한 부등식.^[18]
약수 함수의 성장률.^[19]
리만 가설의 공식.^[29]^[20]
메르텐스 정리의 세 번째 정리.^[51]
마이셀-메르텐스 상수의 계산.^[21]
특정 소수 간격에 대한 하한.^[22]
1부터 주어진 ''n''까지의 모든 수의 평균 약수 개수에 대한 근사.^[28]
메르센 소수의 빈도에 관한 렌스트라-포머란스-와그스태프 추측.^[23]
유클리드 호제법의 효율성에 대한 추정.^[24]
뫼비우스 함수와 폰 망골트 함수를 포함하는 합.

4. 3. 적분 표현

다음 적분 식으로도 오일러-마스케로니 상수를 얻을 수 있다.^[3]^[4]^[5]^[6]^[26]^[49]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]

:

\begin{align}\gamma &= - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx \\&= -\int_0^1 \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right) dx \\&=  \int_0^\infty \left (\frac1{e^x-1}-\frac1{xe^x} \right)dx = \int_0^1\left(\frac 1{\ln x} + \frac 1{1-x}\right)dx\\&=  \int_0^\infty \left (\frac1{1+x^k}-e^{-x} \right)\frac{dx}{x},\quad k>0.\end{align}

:

\int_0^\infty {e^{-x^2} \ln x}\,dx = -\frac{(\gamma+2\ln 2)\sqrt{\pi}}{4}

:

\int_0^\infty {e^{-x} \ln^2 x}\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} .

오일러-마스케로니 상수의 값은 다음 정적분으로도 구할 수 있다.

:

\begin{align}\gamma&=-\Gamma'(1)\\&=-\int_{0}^{\infty}e^{-t}\log{t}dt\\&=-\int_{0}^{1}\log\log\frac{1}{u}du\qquad(u=e^{-t})\\&=-\int_{-\infty}^{\infty}ue^{u-e^u}du\qquad(u=\log{t})\\\end{align}

또는

:

\begin{align}\log{t}&=\int_{1}^{t}\frac{1}{s}ds\\&=\int_{1}^{t}\int_{0}^{\infty}e^{-su}duds\\&=\int_{0}^{\infty}\int_{1}^{t}e^{-su}dsdu\\&=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u}-e^{-tu}}{u}du\\\end{align}

를 사용하면

:

\begin{align}\gamma&=-\int_{0}^{\infty} e^{-t} \log{t}dt\\&=-\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u}-e^{-tu}}{u}du\;e^{-t}dt\\&=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-tu}-e^{-u}}{u}du\;e^{-t}dt\\&=\int_{0}^{\infty}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t(u+1)}}{u}dt-\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u}e^{-t}}{u}dt\right)du\\&=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{u(u+1)}-\frac{e^{-u}}{u}\right)du\\\end{align}

가 되고,

\delta\to+0

일 때

:

\begin{align}\left|\int_{\delta}^{e^\delta-1}\frac{1}{u(u+1)}du\right|&\le\left|\int_{\delta}^{e^\delta-1}\frac{1}{\delta}du\right|\\&=O(\delta)\\\end{align}

이므로

:

\begin{align}\gamma&=\lim_{\delta\to+0}\int_{\delta}^{\infty}\left(\frac{1}{u(u+1)}-\frac{e^{-u}}{u}\right)du\\&=\lim_{\delta\to+0}\int_{\delta}^{\infty}\frac{1}{u(u+1)}du-\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^{-s}}{s}ds\\&=\lim_{\delta\to+0}\int_{e^\delta-1}^{\infty}\frac{1}{u(u+1)}du-\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^{-s}}{s}ds\\&=\lim_{\delta\to+0}\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^t}{(e^t-1)e^t}dt-\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^{-s}}{s}ds\qquad(u=e^t-1)\\&=\lim_{\delta\to+0}\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}dt-\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^{-s}}{s}ds\\&=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}{t}\right)dt\end{align}

가 된다.

4. 4. 급수 표현

오일러 상수는 다음과 같은 급수 표현을 갖는다. 여기서

\zeta(s)

는 리만 제타 함수이다.

:

\gamma = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n\zeta(n)}{n}

:

\gamma = 1 - \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\zeta(n)-1}{n}

:

\gamma = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)(\zeta(n)-1)}{n}

:

\gamma = \ln 2 - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n+1)}{2^{2n}(2n+1)}

:

\gamma = \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n\zeta(n)}{m^{n-1}n}-m\ln\Gamma\left(\frac{m+1}{m}\right)

(여기서

m\in\mathbb{R}\setminus\left\{0,-1,-\dfrac{1}{k+1}\ (k\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\})\right\}

)

:

\gamma = \lim_{m\rightarrow0}\left(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n\zeta(n)}{m^{n-1}n}-m\ln\Gamma\left(\frac{m+1}{m}\right)\right)

^[103]

:

\gamma = \lim_{m\rightarrow -1}\left(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n\zeta(n)}{m^{n-1}n}-m\ln\Gamma\left(\frac{m+1}{m}\right)\right)

^[104]

:

\gamma = \lim_{m\rightarrow(-1)/(k+1)}\left(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n\zeta(n)}{m^{n-1}n}-m\ln\Gamma\left(\frac{m+1}{m}\right)\right)

(여기서

k\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\}

)^[105]

:

\gamma = \frac{3}{2} - \ln 2 - \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n (n - 1)(\zeta(n)-1)}{n}

:

\gamma = 1 - \ln 2 + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n(\zeta(n)-1)}{n}

5. 알려진 자릿수

레온하르트 오일러는 이 상수의 값을 소수점 아래 여섯 자리까지 처음으로 계산했다. 1781년, 오일러는 소수점 아래 16자리까지 계산했다. 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니는 소수점 아래 32자리까지 계산을 시도했지만, 20~22번째 자리와 31~32번째 자리에서 오류를 범했다. 마스케로니는 20번째 자리부터 ...'''181'''12090082'''39'''로 계산했으나, 올바른 값은 ...'''065'''12090082'''40'''이었다.^[107]

오일러-마스케로니 상수의 알려진 십진 자릿수
일자	십진 자릿수	발견자
1734년	5	레온하르트 오일러
1735년	15	레온하르트 오일러
1781년	16	레온하르트 오일러
1790년	32	로렌초 마스케로니
1809년	22	요한 게오르크 폰 졸트너
1811년	22	카를 프리드리히 가우스
1812년	40	프리드리히 베른하르트 고트프리드 니콜라이
1857년	34	크리스티안 프레드릭 린드만
1861년	41	루드윅 오팅거
1867년	49	윌리엄 샹크스
1871년	99	제임스 위트브레드 리 글레이셔
1871년	101	윌리엄 샹크스
1877년	262	존 쿠치 애덤스
1952년	328	존 렌치
1961년	1050	헬무트 피셔와 칼 롱인 젤러
1962년	1271	도널드 커누스
1962년	3566	듀라 W. 스위니
1973년	4879	윌리엄 A. 베이어와 마이클 워터먼
1977년	20700	리차드 P. 브렌트
1980년	30100	리차드 P. 브렌트와 에드윈 맥밀런
1993년	172000	조나단 보웨인
1999년	108000000	페르릭 데미첼과 하비에르 구르동
2009년 3월 13일	29844489545	알랙산더 J. 리와 래이먼드 찬
2013년 12월 22일	119,377,958,182	알랙산더 J. 리
2016년 3월 15일	160,000,000,000	페터 트뤼프
2016년 5월 18일	250,000,000,000	론 왓킨스
2017년 8월 23일	477,511,832,674	론 왓킨스
2020년 5월 26일	600,000,000,100	김승민과 이언 커트리스^[107]

6. 일반화

는 디감마 함수 와 관련이 있으며, 따라서 두 함수 모두 1에서 평가될 때 감마 함수 의 도함수와도 관련이 있다. 따라서 다음이 성립한다.

: $-\gamma = \Gamma'(1) = \Psi(1).$

이는 다음 극한과 같다.

: $\begin{align}-\gamma &= \lim_{z\to 0}\left(\Gamma(z) - \frac1{z}\right) \\&= \lim_{z\to 0}\left(\Psi(z) + \frac1{z}\right).\end{align}$

추가적인 극한 결과는 다음과 같다.^[6]

: $\begin{align} \lim_{z\to 0}\frac1{z}\left(\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)}\right) &= 2\gamma \\\lim_{z\to 0}\frac1{z}\left(\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)}\right) &= \frac{\pi^2}{3\gamma^2}. \end{align}$

베타 함수와 관련된 극한 (감마 함수로 표현됨)은 다음과 같다.

: $\begin{align} \gamma &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{ \Gamma\left(\frac1{n}\right) \Gamma(n+1)\, n^{1+\frac1{n}}}{\Gamma\left(2+n+\frac1{n}\right)} - \frac{n^2}{n+1}\right) \\&= \lim\limits_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\log\big(\Gamma(k+1)\big). \end{align}$

6. 1. 슈틸티예스 상수

오일러-마스케로니 상수(일반적으로 그냥 오일러 상수)는 슈틸티예스 상수로 일반화될 수 있다.^[6] 슈틸티예스 상수는 리만 제타 함수의 로랑 급수 전개에 나타난다.^[6]

''오일러의 일반화된 상수''는 다음과 같이 주어진다.

\gamma_\alpha = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n \frac1{k^\alpha} - \int_1^n \frac1{x^\alpha}\,dx\right)

0 < α < 1 에 대해, γ는 특수한 경우 α = 1이다. α > 1 에 대해 확장하면 다음과 같다.

\gamma_{\alpha} = \zeta(\alpha) - \frac1{\alpha-1}

극한은 다음과 같다.

\gamma = \lim_{a\to 1}\left(\zeta(a) - \frac1{a-1}\right)

이것은 다음과 같이 더 일반화될 수 있다.

c_f = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(x)\,dx\right)

임의의 감소 함수 f에 대해. 다음을 설정하면

f_n(x) = \frac{(\log x)^n}{x}

리만 제타 함수의 로랑 급수 전개에 나타나는 슈틸티예스 상수 γ_n이 발생한다.

:

\zeta(1+s)=\frac{1}{s}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n s^n.

γ₀ = γ = 0.577...

n	γ_n의 근사값	OEIS
0	+0.5772156649015
1	-0.0728158454836
2	-0.0096903631928
3	+0.0020538344203
4	+0.0023253700654
100	-4.2534015717080 × 10¹⁷
1000	-1.5709538442047 × 10⁴⁸⁶

6. 2. 오일러-레머 상수

Euler–Lehmer constant^영어인 오일러-레머 상수는 공통 합동식의 역수의 합으로 주어진다.^[48]

:

\gamma(a,q) = \lim_{x\to \infty}\left (\sum_{0

기본적인 성질은 다음과 같다.

:

\begin{align}&\gamma(0,q) = \frac{\gamma -\log q}{q}, \\&\sum_{a=0}^{q-1} \gamma(a,q)=\gamma, \\&q\gamma(a,q) = \gamma-\sum_{j=1}^{q-1}e^{-\frac{2\pi aij}{q}}\log\left(1-e^{\frac{2\pi ij}{q}}\right),\end{align}

만약 최대공약수 이면,

:

q\gamma(a,q) = \frac{q}{d}\gamma\left(\frac{a}{d},\frac{q}{d}\right)-\log d.

6. 3. 마세르-그라맹 상수

오일러 상수의 2차원 일반화는 마세르-그라맹 상수이다.^[61] 이는 복소 평면에서 최소 ''k''개의 가우스 정수를 포함하는 원반의 최소 반지름

r_k

를 이용하여 다음과 같은 극한 차이로 정의된다.

:

\delta = \lim_{n\to\infty} \left( -\log n + \sum_{k=2}^n \frac{1}{\pi r_k^2} \right)

현재까지 알려진 바로는,

1.819776 < \delta < 1.819833

이다.^[62]

참조

_[1] 논문 Ramanujan and Euler's Constant https://maths-people[...] 1994
_[2] 웹사이트 The Euler constant: γ http://numbers.compu[...] 2024-11-01
_[3] 논문 Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function http://mathdl.maa.or[...] 2016-12-03
_[4] 웹사이트 DLMF: §5.17 Barnes' 𝐺-Function (Double Gamma Function) ‣ Properties ‣ Chapter 5 Gamma Function https://dlmf.nist.go[...] 2024-11-01
_[5] 웹사이트 Digamma Function https://mathworld.wo[...] 2024-10-30
_[6] 웹사이트 Stieltjes Constants https://mathworld.wo[...] 2024-11-01
_[7] 서적 Laplace transforms Allen & Unwin 1973
_[8] 웹사이트 DLMF: §2.5 Mellin Transform Methods ‣ Areas ‣ Chapter 2 Asymptotic Approximations https://dlmf.nist.go[...] 2024-11-01
_[9] 웹사이트 DLMF: §6.6 Power Series ‣ Properties ‣ Chapter 6 Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals https://dlmf.nist.go[...] 2024-11-01
_[10] 웹사이트 Logarithmic Integral https://mathworld.wo[...] 2024-11-01
_[11] 웹사이트 DLMF: §10.32 Integral Representations ‣ Modified Bessel Functions ‣ Chapter 10 Bessel Functions https://dlmf.nist.go[...] 2024-11-01
_[12] 웹사이트 DLMF: §10.22 Integrals ‣ Bessel and Hankel Functions ‣ Chapter 10 Bessel Functions https://dlmf.nist.go[...] 2024-11-01
_[13] 웹사이트 DLMF: §10.8 Power Series ‣ Bessel Functions and Hankel Functions ‣ Chapter 10 Bessel Functions https://dlmf.nist.go[...] 2024-11-01
_[14] 웹사이트 DLMF: §10.24 Functions of Imaginary Order ‣ Bessel and Hankel Functions ‣ Chapter 10 Bessel Functions https://dlmf.nist.go[...] 2024-11-01
_[15] 웹사이트 DLMF: §11.6 Asymptotic Expansions ‣ Struve and Modified Struve Functions ‣ Chapter 11 Struve and Related Functions https://dlmf.nist.go[...] 2024-11-01
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