파르스발 항등식

2. 파르세발 항등식

함수 $f(x)$가 힐베르트 공간 $L^2([-\backslash pi,\; \backslash pi])$에 속하고, 정규 직교 기저 $\backslash \{e^\{inx\}\; :\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash \}$를 가질 때, $f(x)$의 푸리에 계수는 다음과 같이 정의된다.

:$c\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}\; f(x)\; e^\{-inx\}\; \backslash ,\; dx$

파르세발 항등식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash Vert\; f\; \backslash Vert^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\; \backslash int\_\{-\backslash pi\}^\backslash pi\; |f(x)|^2\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; |c\_n|^2$

즉, 함수 $f(x)$의 크기 제곱은 푸리에 계수들의 제곱 합과 같다.

이 항등식은 분리 가능한 힐베르트 공간에서 피타고라스 정리와 관련이 있다. $H$가 내적 $\backslash langle\; \backslash ,\backslash cdot\backslash ,,\; \backslash ,\backslash cdot\backslash ,\; \backslash rangle$를 갖는 힐베르트 공간이고, $\backslash left(e\_n\backslash right)$이 $H$의 정규 직교 기저일 때 (즉, $e\_n$의 선형 덮개는 $H$에서 조밀하고, $e\_n$은 서로 정규 직교한다), 파르세발 항등식에 따르면 모든 $x\; \backslash in\; H$에 대해 다음이 성립한다.

:$$\backslash sum\_n\; \backslash left|\backslash left\backslash langle\; x,\; e\_n\; \backslash right\backslash rangle\backslash right|^2\; =\; \backslash |x\backslash |^2.$$

이는 정규 직교 기저에서 벡터의 성분 제곱의 합은 벡터의 제곱 길이와 같다는 점에서 피타고라스 정리와 유사하다.

$H$를 힐베르트 공간 $L^2[-\backslash pi,\; \backslash pi]$로 놓고, $n\; \backslash in\; \backslash Z$에 대해 $e\_n\; =\; \backslash frac\{e^\{-i\; n\; x\}\}\{\backslash sqrt\{2\; \backslash pi\}\}$로 설정하면 파르세발 항등식의 푸리에 급수 버전을 얻을 수 있다.

더 일반적으로, 파르세발 항등식은 분리 가능한 힐베르트 공간뿐만 아니라 모든 내적 공간에서 성립한다. $H$가 내적 공간이고, $B$가 $H$의 정규 직교 기저 (즉, $B$의 선형 덮개가 $H$에서 조밀하다는 의미에서 전체(total)인 정규 직교 집합)이면, 다음과 같다.

:$$\backslash |x\backslash |^2\; =\; \backslash langle\; x,x\backslash rangle\; =\; \backslash sum\_\{v\backslash in\; B\}\backslash left|\backslash langle\; x,v\backslash rangle\backslash right|^2.$$

$B$가 전체 집합이라는 가정은 항등식이 유효하기 위해 필요하다. $B$가 전체 집합이 아니면, 파르세발 항등식의 등식은 $\backslash ,\; \backslash geq,$로 대체되어 베셀 부등식이 된다. 파르세발 항등식의 일반적인 형태는 리즈-피셔 정리를 사용하여 증명할 수 있다.