베셀 부등식

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1. 개요

베셀 부등식은 실수체 또는 복소수체 위의 내적 공간에서 정규 직교 집합에 대해 성립하는 부등식이다. 임의의 벡터 v에 대해, 정규 직교 집합의 원소 e와의 내적의 제곱의 합은 v의 노름 제곱보다 작거나 같다. 힐베르트 공간에서 베셀 부등식의 등호가 성립하는 경우는 정규 직교 기저일 때이며, 이를 파르스발 항등식이라고 한다. 이 부등식은 프리드리히 베셀의 이름을 따서 명명되었으며, 푸리에 급수 이론 발전에 기여했다.

베셀 부등식

정의

설명	힐베르트 공간에서 정규 직교 집합에 대한 부등식임.
내용	힐베르트 공간 H 에서 정규 직교 집합 {eₖ}ₖ이 주어졌을 때, H 안의 모든 벡터 x 에 대해 다음 부등식이 성립함: ∑ₖ \|⟨x, eₖ⟩\|² ≤ \|\|x\|\|².
의미	이 부등식은 벡터 x 를 정규 직교 기저에 투영했을 때, 그 투영된 성분들의 제곱의 합이 원래 벡터의 제곱의 크기를 넘지 않는다는 것을 의미함.

일반화

파르스발 항등식	만약 {eₖ}ₖ이 완전 정규 직교 집합 (즉, 정규 직교 기저)이라면, 베셀 부등식은 등식으로 성립하며, 이를 파르스발 항등식이라고 함.
푸리에 급수	베셀 부등식은 푸리에 급수의 수렴성을 분석하는 데 중요한 역할을 함.

활용

신호 처리	신호 처리 분야에서 신호의 에너지가 주파수 성분으로 어떻게 분산되는지 분석하는 데 사용됨.
양자 역학	양자 역학에서 상태 벡터를 기저 상태에 투영했을 때 확률의 합이 1을 넘지 않음을 나타냄.

추가 정보

관련 항목	정규 직교 기저 파르스발 항등식 푸리에 급수
참고 문헌	Bessel inequality - Encyclopedia of Mathematics Bessel inequality Beginning Functional Analysis (Karen Saxe, 2001) Mathematical Analysis II (Vladimir A. Zorich & R. Cooke, 2004) Foundations of Signal Processing (Martin Vetterli, Jelena Kovačević, Vivek K. Goyal, 2014)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 증명
3. 성질
- 3.1. 파르스발 항등식
4. 역사

2. 정의

실수체 또는 복소수체 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 위의 내적 공간 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 속의 정규 직교 집합 $B\subseteq V$ 가 주어졌다고 하자. 베셀 부등식에 따르면, 임의의 벡터 $v\in V$ 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

: $\sum_{e\in B}|\langle v,e\rangle|^2\le\Vert v\Vert^2$

(특히, $\langle v,e\rangle\ne 0$ 인 $e\in B$ 는 오직 가산 개만이 존재한다.)

만약 $V$ 가 힐베르트 공간일 경우, 베셀 부등식에서 항등식이 성립할 필요충분조건은 $B$ 가 $V$ 의 정규 직교 기저인 것이며, 이를 파르스발 항등식이라고 한다. 이 경우 항상
: $v=\sum_{e\in B}\langle v,e\rangle e$
이다. 반면, 만약 $B$ 가 정규 직교 기저가 아닐 경우 위 급수는 (베셀 부등식에 따라 부분합이 코시 열이므로) 수렴하지만, 합이 $v$ 가 아닐 수 있다.

2.1. 증명

실수체 또는 복소수체 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 위의 내적 공간 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 속의 정규 직교 집합 $B\subseteq V$ 가 주어졌다고 하자.

만약 $B$ 가 유한 집합이라면, 내적의 쌍선형성과 정규 직교 집합의 정의에 따라 자명하게 성립한다.

만약 $B$ 가 (가산 또는 비가산) 무한 집합이라면, 임의의 유한 집합 $B'\subseteq B$ 에 대하여, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\begin{align}0&\le\biggl\|v-\sum_{e\in B'}\langle v,e\rangle e\biggr\|^2\\&=\|v\|^2-2\Re\biggl(\biggl\langle v,\sum_{e\in B'}\langle v,e\rangle e\biggr\rangle\biggr)+\biggl\|\sum_{e\in B'}\langle v,e\rangle e\biggr\|^2\\&=\|v\|^2-2\Re\biggl(\sum_{e\in B'}|\langle v,e\rangle|^2\biggr)+\sum_{e\in B'}|\langle v,e\rangle|^2\\&=\|v\|^2-2\sum_{e\in B'}|\langle v,e\rangle|^2+\sum_{e\in B'}|\langle v,e\rangle|^2\\&=\|v\|^2-\sum_{e\in B'}|\langle v,e\rangle|^2\end{align}$

3. 성질

실수체 또는 복소수체 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 위의 내적 공간 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 속의 정규 직교 집합 $B\subseteq V$ 에 대해, 임의의 벡터 $v\in V$ 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

: $\sum_{e\in B}|\langle v,e\rangle|^2\le\Vert v\Vert^2$

(특히, $\langle v,e\rangle\ne 0$ 인 $e\in B$ 는 오직 가산 개만 존재한다.)

만약 $V$ 가 힐베르트 공간일 경우, 이 부등식에서 등식이 성립할 필요충분조건은 $B$ 가 $V$ 의 정규 직교 기저인 것이며, 이를 파르스발 항등식이라고 한다.

3.1. 파르스발 항등식

힐베르트 공간에서 베셀 부등식이 등식으로 성립할 필요충분조건은 $B$ 가 $V$ 의 정규 직교 기저인 것이며, 이를 파르스발 항등식이라고 한다. 이 경우 항상 다음이 성립한다.
: $v=\sum_{e\in B}\langle v,e\rangle e$
반면, $B$ 가 정규 직교 기저가 아닐 경우 위 급수는 (베셀 부등식에 따라 부분합이 코시 열이므로) 수렴하지만, 그 합이 $v$ 가 아닐 수 있다.

4. 역사

프리드리히 베셀의 이름을 땄다.