펜테이션

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1. 개요
2. 정의
3. 표기법
4. 계산 순서
5. 성질
6. 예시
7. 역사
8. 아커만 함수와의 관계
참조

1. 개요

펜테이션은 테트레이션 다음이자 헥세이션 이전의 초연산으로, 반복적인 테트레이션으로 정의된다. 펜테이션은 두 숫자 a와 b에 대해 a를 b-1번 자신에게 테트레이션하는 이항 연산이다. 초연산 표기법으로는 a[5]b로 나타낼 수 있으며, 크누스 윗 화살표 표기법(a ↑↑↑ b), 컨웨이 체인 화살표 표기법(a → b → 3) 등 다양한 표기법이 존재한다. 펜테이션은 결합 법칙이 성립하지 않아 계산 순서에 따라 결과가 달라지며, 일반적으로 오른쪽에서 왼쪽으로 계산한다. 펜테이션은 매우 빠르게 증가하는 숫자를 생성하며, 애커만 함수와 관련이 있다. "펜테이션"이라는 용어는 1947년 루벤 굿스타인이 만들었다.

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펜테이션
일반 정보
명칭	펜테이션 (pentation)
다른 명칭	하이퍼-5 (hyper-5)
정의
연산	a↑↑↑b 또는 a(5)b
설명	'테트레이션(tetration)을 반복하는 연산, 즉 거듭제곱을 반복하는 연산이다. 펜테이션은 초거듭제곱(superexponentiation) 또는 하이퍼-5 연산이라고도 불린다.'
특징	펜테이션은 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하지 않는다.
예시
계산 예시	2↑↑↑3 = 2↑↑(2↑↑2) = 2↑↑(2^2) = 2↑↑4 = 2^(2^(2^2)) = 2^16 = 65536
큰 수	펜테이션은 매우 빠르게 증가하는 함수이므로, 작은 값으로도 매우 큰 수를 만들 수 있다.
관련 연산
하이퍼 연산 계열	덧셈(addition) → 곱셈(multiplication) → 거듭제곱(exponentiation) → 테트레이션(tetration) → 펜테이션 → 헥세이션(hexation)
활용
용도	매우 큰 수를 간결하게 표현하는 데 사용될 수 있다.

2. 정의

펜테이션은 테트레이션 다음이자 헥세이션 이전의 초연산(매번 이전 연산을 기반으로 하는 무한 수열의 산술 연산)이다. 펜테이션은 반복적인(반복된) 테트레이션으로 정의된다(오른쪽 결합을 가정). 이는 테트레이션이 반복적인 오른쪽 결합 지수 연산인 것과 유사하다.^[1] 펜테이션은 두 숫자 ''a''와 ''b''로 정의되는 이항 연산이며, 여기서 ''a''는 ''b − 1''번 자신에게 테트레이션된다.

초연산의 유형은 일반적으로 대괄호 [] 안의 숫자로 표시된다. 예를 들어, 펜테이션과 테트레이션에 대한 초연산 표기법을 사용하여, $2[5]3$ 은 2를 두 번 자신에게 테트레이션하는 것을 의미하거나, $2[4](2[4]2)$ 를 의미한다. 이는 $2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65,536.$ 으로 축소될 수 있다.

3. 표기법

펜테이션은 표준적인 표기법이 아직 정해지지 않아 여러 방법으로 표기된다. 크누스 윗 화살표 표기법으로는 $a \uparrow \uparrow \uparrow b$ 또는 $a \uparrow^{3}b$ 로, 컨웨이 체인 화살표 표기법으로는 $a\rightarrow b\rightarrow 3$ 으로,^[5] 초연산 표기법으로는 $a[5]b$ 로 나타낸다.^[3]^[4] 이 밖에 ${_{b}a}$ 와 같은 표기법도 제안되었으나, 더 높은 초연산으로 확장할 수 없다는 단점이 있다.^[6]

다음은 펜테이션의 여러 가지 표기법을 정리한 표이다.

명칭	표기
크누스 윗 화살표 표기법	$a \uparrow\uparrow\uparrow n ,~ a \uparrow^3 n$
컨웨이 체인 화살표 표기법	$a \rightarrow n \rightarrow 3$
초연산 표기	$a [5] n ,~ H_5(a, n)$ $\operatorname{hyper}(a, 5, n) ,~ \operatorname{hyper5}(a, n)$
바우어스의 배열 표기법	$\lbrace a,b,3 \rbrace$
하이퍼 E 표기법^[10]	$E(a)1\#1\#n$

4. 계산 순서

테트레이션과 마찬가지로 펜테이션은 결합 법칙이 성립하지 않으므로, 계산 순서에 따라 결과값이 달라진다. 일반적으로 오른쪽에서 왼쪽으로 (위에서 아래로) 계산한다. 왼쪽에서 오른쪽으로 계산하는 경우는 5계 하이퍼 연산 $a {_{ (5) }} n$ 이 된다.

5. 성질

펜테이션 $a[5]b$ 는 현재 ''a'' > 0 및 ''b'' ≥ −2인 정수 ''a''와 ''b'' 값과 몇 가지 고유하게 정의될 수 있는 다른 정수 값에 대해서만 정의된다. 다음의 자명한 경우(항등식)를 갖는다.^[7]

$1[5]b = 1$
$a[5]1 = a$

또한, 다음과 같은 관계가 성립한다.^[7]

$a[5]2 = a[4]a$
$a[5]0 = 1$
$a[5](-1) = 0$
$a[5](-2) = -1$
$a[5](b+1) = a[4](a[5]b)$

위에 표시된 자명한 경우 외에, 펜테이션은 매우 빠르게 극도로 큰 숫자를 생성한다. 결과적으로, 기존 표기법으로 작성할 수 있는 숫자를 생성하는 비자명한 경우는 몇 개 없으며, 아래에 모두 나열되어 있다.^[7]

수식	값	설명
$2[5]2$	4	$2[4]2 = 2^2 = 4$
$2[5]3$	65,536	$2[4]4 = 2^{2^{2^2}} = 2^{16} = 65,536$
$2[5]4$	$\approx \exp_{10}^{65,533}(4.29508)$	높이가 65,536인 거듭제곱탑
$2[5]5$	$\approx \exp_{10}^{2[4]65,536-3}(4.29508)$	높이가 2[4]65,536인 거듭제곱탑
$3[5]2$	7,625,597,484,987	$3[4]3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987$
$3[5]3$	$\approx \exp_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$	높이가 7,625,597,484,987인 거듭제곱탑
$3[5]4$	$\approx \exp_{10}^{3[4]7,625,597,484,987-1}(1.09902)$	높이가 3[4]7,625,597,484,987인 거듭제곱탑
$4[5]2$	$\approx \exp_{10}^3(2.19)$	$4^{4^{4^4}} = 4^{4^{256}}$ (10¹⁵³개 이상의 자릿수를 가진 숫자)
$5[5]2$	$\approx \exp_{10}^4(3.33928)$	$5^{5^{5^{5^5}}} = 5^{5^{5^{3125}}}$ (10^10²¹⁸⁴개 이상의 자릿수를 가진 숫자)

6. 예시

펜테이션은 매우 빠르게 극도로 큰 숫자를 생성한다. 다음은 그 예시이다.^[7]

$x$	$x \uparrow^3 2$	$x \uparrow^3 3$	$x \uparrow^3 4$
1	1
2	4 (컨웨이의 연쇄 표기법에서 $\lim_{x\to 0}\left(2 \uparrow^{\frac{1}{x}} 2\right)=\lim_{x\to 0}\left(2 \rightarrow 2\rightarrow\frac{1}{x}\right)=4$ 이기 때문)	65,536	$\exp_{10}^{65533}(4.29508)$
3	7,625,597,484,987	$\exp_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$
4	$\exp_{10}^3(2.19)$ (10¹⁵³개 이상의 자릿수를 가진 숫자)
5	$\exp_{10}^4(3.33928)$ (10^10²¹⁸⁴개 이상의 자릿수를 가진 숫자)

7. 역사

"펜테이션"이라는 단어는 1947년 루벤 굿스타인이 penta- (5)와 반복 연산의 합성어에서 만들었다. 이는 그의 하이퍼 연산에 대한 일반적인 명명 체계의 일부이다.^[2]

8. 아커만 함수와의 관계

애커만 함수의 변형된 값의 표에서 네 번째 행의 값으로 펜테이션 함수의 값을 얻을 수 있다. $A(n,m)$ 이 초기 조건 $A(1,n)=an$ 및 $A(m,1)=a$ 로 애커만 재귀 $A(m-1,A(m,n-1))$ 로 정의된다면, $a[5]b=A(4,b)$ 이다.^[7]

참조

_[1] 간행물 Algorithm 93: General Order Arithmetic 1961-06
_[2] 간행물 Transfinite ordinals in recursive number theory
_[3] 간행물 Mathematics and computer science: Coping with finiteness
_[4] 간행물 Knuth's iterated powers
_[5] 서적 The Book of Numbers https://books.google[...] Springer
_[6] 웹사이트 Tetration.org - Tetration http://www.tetration[...] 2022-09-12
_[7] 간행물 Ackermann functions and transfinite ordinals
_[8] 간행물 Algorithm 93: General Order Arithmetic 1962-06
_[9] 간행물 Transfinite ordinals in recursive number theory
_[10] 웹사이트 One to Infinity: A Guide to the Finite https://sites.google[...]
_[11] 간행물 Ackermann functions and transfinite ordinals
_[12] 저널
_[13] 저널

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