펠 수

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1. 개요
2. 펠 수열의 정의와 생성
3. 펠 수열의 응용
4. 펠-루카스 수열
5. 펠 수열의 성질
참조

1. 개요

펠 수열은 재귀적 정의, 닫힌 형식, 행렬 형식을 통해 정의될 수 있는 수열로, 0과 1로 시작하여 각 항이 이전 두 항의 가중 합으로 결정된다. 펠 수열은 2의 제곱근 근사, 피타고라스 삼중쌍 생성, 제곱 삼각수 탐구 등 다양한 수학적 응용 분야에서 활용된다. 펠 수열과 밀접한 관련이 있는 펠-루카스 수열은 펠 수열의 성질을 공유하며, 소수 판별 및 제곱근 근사 등에 사용된다. 펠 소수는 소수인 펠 수이며, 펠 수열은 제곱수 및 완전제곱수와 관련하여 특수한 성질을 갖는다.

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펠 수
기본 정보
처음 몇 개의 펠 수의 막대 그래프
다른 이름	분모 수 래더 수 펠-루트 수 동반된 루카스 수
수열
수열 종류	정수열
수열 기호	P(n)
수열 시작	0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832...
OEIS 색인	A000129
공식	P(n) = ((1 + √2)^n − (1 − √2)^n) = (1 + √2)^n − (1 − √2)^n/2√2
생성 함수	x/(1 − 2x − x^2)
성질
재귀 관계	P(n) = 2P(n−1) + P(n−2)

2. 펠 수열의 정의와 생성

펠 수열은 펠 방정식의 해의 순서쌍에서 분모에 해당하는 수들로, $x^2 - 2 y^2 = \pm 1$ 에서 ${x \over y}$ 로 표현된다. 펠 수열의 처음 몇 개 항은 다음과 같다.

: $\frac11, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \cdots$

또한 펠 수는 다음과 같이 루카스 수열과 연관된다.

: $x_n=\frac{\left(1+\sqrt2\right)^n+\left(1-\sqrt2\right)^n}{2}$

: $y_n=}$

2. 1. 점화식을 통한 정의

펠 수는 다음과 같은 점화 관계로 정의된다.

:Pₙ = 0 (n=0); 1 (n=1); 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂ (n>1).

다시 말해, 펠 수열은 0과 1로 시작하며, 각 펠 수는 이전 펠 수의 두 배와 그 앞의 펠 수를 더한 값이다. 수열의 처음 몇 개 항은 다음과 같다.

:0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, …

비네 공식과 유사하게, 펠 수는 다음의 닫힌 형식의 공식으로 표현할 수도 있다.

:Pₙ = ( (1+√2)ⁿ - (1-√2)ⁿ ) / (2√2).

''n''이 큰 값일 경우, (1 + √2)ⁿ 항이 이 식을 지배하므로, 펠 수는 은비 (1 + √2)의 거듭제곱에 거의 비례하며, 이는 황금비의 거듭제곱과 같은 피보나치 수의 성장률과 유사하다.

세 번째 정의는 행렬 공식을 사용하여 가능하다.

:

Pₙ₊₁ Pₙ

Pₙ Pₙ₋₁ = ( 2 1 1 0 )ⁿ.

이러한 정의로부터 많은 항등식을 도출하거나 수학적 증명할 수 있다. 예를 들어, 피보나치 수에 대한 카시니 항등식과 유사한 항등식

:Pₙ₊₁Pₙ₋₁ - Pₙ² = (-1)ⁿ

은 행렬 공식의 왼쪽과 오른쪽 행렬의 행렬식을 고려함으로써 얻어지는 행렬 공식의 직접적인 결과이다.^[2]

2. 2. 닫힌 형식을 통한 정의

펠 수는 다음의 닫힌 형식으로 표현할 수 있다.

:

P_n=\frac{\left(1+\sqrt2\right)^n-\left(1-\sqrt2\right)^n}{2\sqrt2}.

''n''이 큰 값일 경우,

\left(1+\sqrt{2}\right)^n

항이 이 식을 지배하므로, 펠 수는 은비

1+\sqrt{2}

의 거듭제곱에 거의 비례하며, 이는 황금비의 거듭제곱과 같은 피보나치 수의 성장률과 유사하다.^[2]

2. 3. 행렬을 이용한 표현

펠 수열은 행렬을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n.

이러한 정의로부터 많은 항등식을 도출하거나 수학적 증명할 수 있다. 예를 들어, 피보나치 수에 대한 카시니 항등식과 유사한 항등식은 다음과 같다.

:

P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n,

위 항등식은 행렬 공식의 왼쪽과 오른쪽 행렬의 행렬식을 고려함으로써 얻어지는 행렬 공식의 직접적인 결과이다.^[2]

3. 펠 수열의 응용

펠 수는 유리수 근사에 사용된다. 두 정수 ''x''와 ''y''가 펠 방정식 $x^2-2y^2=\pm 1$을 만족하면, 그 비율 ''x/y''는 $\sqrt{2}$의 근사값을 제공한다. 이 근사값 시퀀스는 $\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots$ 와 같으며, 분모는 펠 수이고 분자는 펠 수와 그 이전 항의 합이다. 즉, 해는 $\frac{P_{n-1}+P_n}{P_n}$ 형태이다.

$\sqrt{2}\approx\frac{577}{408}$와 같은 근사값은 기원전 3세기 또는 4세기에 인도 수학자들에게 알려졌다.^[3] 기원전 5세기의 그리스 수학자들도 이 근사값 시퀀스를 알고 있었으며,^[4] 플라톤은 분자를 '유리 지름'이라고 언급했다.^[5] 서기 2세기에 스미르나의 테온은 '변과 지름 수'라는 용어를 사용했다.^[6]

이 근사값들은 $\sqrt{2}$ 의 연분수 전개에서 파생될 수 있다. 예를 들어, $\frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}$ 와 같이 연분수를 전개하여 특정 항에서 잘라내면 펠 수 기반의 근사값을 얻는다.

도널드 크누스는 펠 수가 $\sqrt{2}$에 근사한다는 사실을 이용하여 정팔각형에 대한 정확한 유리수 근사값을 구할 수 있다고 설명했다. 펠 수에서 파생된 좌표를 사용하여 정 팔각형의 유리수 근사값을 구할 수 있다.

직각 삼각형의 변의 길이가 ''a'', ''b'', ''c''인 피타고라스 수에서, 펠 수는 ''a''와 ''b''가 1단위 떨어져 있고, 거의 이등변 삼각형에 해당하는 피타고라스 수를 형성하는 데 사용될 수 있다. 이러한 각 삼중항은 $\left(2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1}\right)$ 형태를 가지며, 이 방식으로 형성된 피타고라스 수열은 (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), … 와 같다.

3. 1. 2의 제곱근 근사

펠 수열은 펠 방정식 $x^2 - 2y^2 = \pm 1$의 해 $(\frac{x}{y})$에서 유도되며, 이 해는 $\sqrt{2}$의 유리수 근삿값을 제공한다. 이 근삿값들은 $\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \cdots$ 와 같이 표현되며, 각 분수의 분모는 펠 수이고 분자는 펠 수와 그 이전 항의 합이다. 즉, 해는 $\frac{P_{n-1}+P_n}{P_n}$ 형태를 갖는다.^[2]

이러한 근사 방식은 기원전 3세기 또는 4세기의 인도 수학자들과^[3] 기원전 5세기의 그리스 수학자들에게도 알려져 있었다.^[4] 플라톤은 분자를 '유리 지름'이라고 불렀고,^[5] 서기 2세기에 스미르나의 테온은 이 수열의 분모와 분자를 설명하기 위해 '변과 지름 수'라는 용어를 사용했다.^[6]

펠 수열은 바빌로니아 법과 같은 근삿값을 구하는 방법을 통해서도 얻을 수 있다. $\sqrt{2}$의 경우, 바빌로니아 법을 적용하면 다음과 같은 펠 수열의 일부를 얻을 수 있다.

:

\begin{align}x_0 &=&           1 &               \\x_1 &=&           3 &/            2 \\x_2 &=&          17 &/           12 \\x_3 &=&         577 &/          408 \\x_4 &=&      665857 &/       470832 \\x_5 &=& 886731088897 &/ 627013566048 \\\vdots  & & \vdots  &  \\\end{align}

이 값들은 $\sqrt{2}$의 연분수 전개를 통해서도 얻을 수 있다. 예를 들어,

:

\frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}.

와 같이 연분수를 전개하여 특정 항에서 잘라내면 펠 수 기반의 근사값을 얻는다.

도널드 크누스는 펠 수가 $\sqrt{2}$에 근사한다는 사실을 이용하여 정팔각형에 대한 정확한 유리수 근사값을 구할 수 있다고 설명했다.^[2]

3. 2. 피타고라스 삼중쌍

펠 수열은 거의 이등변 직각삼각형에 해당하는 피타고라스 삼중쌍을 생성하는 데 사용될 수 있다. Martin(1875)이 설명한 것처럼, 펠 수를 이용하면 *a*와 *b*가 1만큼 차이가 나는, 즉 거의 이등변 직각삼각형에 가까운 피타고라스 삼중쌍을 만들 수 있다. 이러한 삼중쌍은 다음과 같은 형태를 가진다.^[3]

:

\left(2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1}\right).

이 식을 통해 얻을 수 있는 피타고라스 삼중쌍은 다음과 같다.

:(4, 3, 5), (20, 21, 29), (120, 119, 169), (696, 697, 985), …

3. 3. 제곱 삼각수

펠 수열은 제곱수인 동시에 삼각수인 제곱 삼각수를 찾는 문제와 관련이 있다. 이 문제는 다음 항등식을 통해 펠 수와 연결된다.^[1]

:((Pₖ₋₁+Pₖ)⋅Pₖ)² = ((Pₖ₋₁+Pₖ)²⋅((Pₖ₋₁+Pₖ)²-(-1)ᵏ))/2

4. 펠-루카스 수열

펠-루카스 수는 다음 점화 관계에 의해 정의된다.

: $Q_n=\begin{cases}2&\mbox{if }n=0;\\2&\mbox{if }n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&\mbox{otherwise.}\end{cases}$

이는 수열의 처음 두 수는 모두 2이고, 각 다음 수는 이전 펠-루카스 수의 두 배를 그 앞의 펠-루카스 수에 더하여 생성됨을 의미한다. 예를 들어 82는 29의 동반 수이며, 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12이다. 처음 몇 항은 다음과 같다. 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, …

피보나치 수와 루카스 수의 관계와 마찬가지로, 모든 자연수 ''n''에 대해 다음이 성립한다.

: $Q_n=\frac{P_{2n}}{P_n}$ (여기서 P는 펠 수열)

동반 펠 수는 다음과 같은 폐쇄 형식으로 표현될 수 있다.

: $Q_n=\left(1+\sqrt 2\right)^n+\left(1-\sqrt 2\right)^n.$

이 수들은 모두 짝수이며, 각 수는 $\sqrt 2$ 에 대한 유리 근사값 중 하나에서 분자의 두 배이다.

펠-루카스 수 ''Q_n''이 소수이면, ''n''은 소수이거나 2의 거듭제곱이어야 한다. 펠-루카스 소수는 다음과 같다.

:3, 7, 17, 41, 239, 577, …

이러한 ''n''은 다음과 같다.

:2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, …

5. 펠 수열의 성질

펠 수열은 다음과 같은 점화 관계를 갖는다.

: $P_n=\begin{cases}0&\mbox{if }n=0;\\1&\mbox{if }n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{otherwise.}\end{cases}$

즉, 0과 1로 시작하여, 다음 항은 이전 항의 두 배에 그 이전 항을 더한 값이다. 처음 몇 항은 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, … 이다.

펠 수는 다음의 닫힌 형식으로도 표현할 수 있다.

: $P_n=\frac{\left(1+\sqrt2\right)^n-\left(1-\sqrt2\right)^n}{2\sqrt2}.$

''n''이 커질수록, 펠 수는 은비 $1+\sqrt2$ 의 거듭제곱에 비례하여 증가하며, 이는 황금비의 거듭제곱에 비례하는 피보나치 수의 성장률과 유사하다.

또한, 펠 수는 다음과 같은 행렬 표현식을 갖는다.

: $\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n.$

펠 수는 $\sqrt 2$ 의 유리수 근사와 관련이 깊다. 펠 방정식 $x^2-2y^2=\pm 1$ 의 해 (''x'', ''y'')에서 ''x''/''y''는 $\sqrt 2$ 의 근사값을 제공한다. 이 근사값들은 다음과 같다.

: $\frac11, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots$

각 분수의 분모는 펠 수이고, 분자는 해당 펠 수와 그 이전 펠 수의 합이다. 이러한 근사값은 기원전 3~4세기 인도 수학자들과 기원전 5세기 그리스 수학자들도 알고 있었다.^[3]^[4] 플라톤은 분자를 '유리 지름'이라고 불렀고,^[5] 스미르나의 테온은 분모와 분자를 '변과 지름 수'라고 불렀다.^[6]

이 근사값들은 $\sqrt 2$ 의 연분수 전개에서 얻을 수 있다.

: $\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots\,}}}}}.$

이 전개를 특정 항까지 잘라내면 펠 수 기반 근사값이 나온다.

펠 수는 정팔각형의 유리수 근사값을 구하는 데에도 사용된다.^[1]

'''동반 펠 수'''(또는 '''펠-루카스 수''')는 다음 점화식으로 정의된다.

: $Q_n=\begin{cases}2&\mbox{if }n=0;\\2&\mbox{if }n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&\mbox{otherwise.}\end{cases}$

처음 몇 항은 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, … 이다.

모든 자연수 ''n''에 대해 $Q_n=\frac{P_{2n}}{P_n}$ 이 성립한다. 동반 펠 수는 다음의 닫힌 형식으로 표현될 수 있다.

: $Q_n=\left(1+\sqrt 2\right)^n+\left(1-\sqrt 2\right)^n.$

5. 1. 소수

소수인 펠 수를 펠 소수라고 한다. 처음 몇 개의 펠 소수는 다음과 같다.

: 2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ...

이 소수들의 펠 수열 내에서의 인덱스는 모두 소수이며, 다음과 같다.

: 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, ...

피보나치 수와 마찬가지로 펠 수 ''P''_''n''은 ''n'' 자체가 소수일 경우에만 소수일 수 있는데, ''d''가 ''n''의 약수이면 ''P''_''d''는 ''P''_''n''의 약수이기 때문이다. 펠 소수는 무한히 많이 존재하는 것으로 추측되지만, 아직 증명되지 않았다.

5. 2. 제곱수 및 완전제곱수

펠 수열에서 제곱수, 정육면체수, 또는 더 높은 완전 거듭제곱인 수는 0, 1, 그리고 169 (= 13²)뿐이다.^[7]

5. 3. 항등식

펠 수열은 카시니 항등식과 유사한 다음 항등식을 만족한다.^[2]

:

P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n

이는 행렬 공식의 양변의 행렬식을 계산하여 얻을 수 있다.

제곱 삼각수와 관련된 항등식도 존재한다.^[8]

:

\bigl(\left(P_{k-1}+P_k\right)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{\left(P_{k-1}+P_k\right)^2\cdot\left(\left(P_{k-1}+P_k\right)^2-(-1)^k\right)}{2}

이 항등식에서 왼쪽은 제곱수를, 오른쪽은 삼각수를 나타내므로, 결과는 제곱 삼각수가 된다.

또한, ''P''_{4''n'' + 1}까지의 펠 수의 합은 항상 제곱수라는 항등식도 있다.

:

\sum_{i=0}^{4n+1} P_i = \left(\sum_{r=0}^n 2^r{2n+1\choose 2r}\right)^{2} = \left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^2

예를 들어, ''P''₅까지의 펠 수의 합은 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49인데, 이는 ''P''₂ + ''P''₃ = 2 + 5 = 7의 제곱이다. 이러한 합의 제곱근을 이루는 수 ''P''_2''n'' + ''P''_{2''n'' + 1}는 뉴먼-생크스-윌리엄스 수로 알려져 있다.

참조

_[1] 논문 perfect matching Sellers 2002
_[2] 논문 Ercolano 1979
_[2] 논문 Kilic and Tasci 2005
_[2] 논문 Horadam 1971
_[2] 논문 Bicknell 1975
_[3] 서적 Dutka 1986
_[3] 서적 Thibaut 1875
_[4] 서적 Knorr 1976
_[4] 서적 Thompson 1929
_[4] 서적 Vedova 1951
_[4] 서적 Ridenhour 1986
_[4] 서적 Knorr 1998
_[4] 서적 Filep 1999
_[5] 기타 Plato's Republic
_[6] 서적 History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[7] 논문 Pethő 1992
_[7] 논문 Cohn 1996
_[8] 논문 Sesskin 1962

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