이심률

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1. 개요

이심률은 원뿔곡선의 기하학적 특징을 나타내는 값으로, 초점과 준선까지의 거리 비율로 정의된다. 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 등 원뿔 곡선의 종류를 구분하는 데 사용되며, 각 곡선은 이심률 값에 따라 정의된다. 타원의 경우 장반축과 선형 이심률의 비율로도 정의되며, 천체역학에서도 궤도의 모양을 나타내는 지표로 활용된다. 또한, 이차곡면 및 다양한 수학적 분류에도 이심률 개념이 적용된다.

이심률

개요

정의	원뿔 곡선의 이심률은 원뿔 곡선이 원에서 얼마나 벗어나는지를 나타내는 척도이다.
기호	e 또는 ε

값의 범위 및 종류

원	e = 0
타원	0 < e < 1
포물선	e = 1
쌍곡선	e > 1
직선	e = ∞

용어

이심률이 0인 경우	원
이심률이 0보다 크고 1보다 작은 경우	타원
이심률이 1인 경우	포물선
이심률이 1보다 큰 경우	쌍곡선

계산 방법

타원의 이심률	타원의 초점과 중심 사이의 거리(c)를 장반축 길이(a)로 나눈 값 (e = c/a)
쌍곡선의 이심률	쌍곡선의 초점과 중심 사이의 거리(c)를 주반축 길이(a)로 나눈 값 (e = c/a)

기타

다른 분야에서의 사용	천체역학: 행성의 궤도 모양을 설명하는 데 사용 그래프 이론: 그래프의 정점 이심률을 정의하는 데 사용

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1. 개요
2. 정의
3. 이심률과 이차곡선의 분류
4. 타원의 이심률
5. 쌍곡선의 이심률
6. 고차원 곡면의 이심률
7. 천체역학

2. 정의

원뿔곡선은 한 점(초점)과 한 직선(준선)까지의 거리 비가 일정한 점들의 자취로 정의할 수 있다. 이 비율을 이심률이라고 하며, 일반적으로 $e$ 로 표시한다.

이심률은 원뿔곡선과 관련된 이중 원뿔면의 평면과의 교점에 대한 용어로도 정의할 수 있다. 원뿔이 수직으로 향하고 있다면, 이심률은

:

e = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}, \ \ 0<\alpha<90^\circ, \ 0\le\beta\le90^\circ \ ,

여기서 β는 평면과 수평면 사이의 각이고, α는 원뿔의 모선과 수평면 사이의 각이다.

\beta=0

이면 평면 단면은 원이고,

\beta=\alpha

이면 포물선이다. (단, 평면이 원뿔의 꼭짓점과 만나서는 안 된다.)

타원 또는 쌍곡선의 선 이심률은

c

(또는 때때로

f

또는

e

)로 표시되며, 중심과 두 초점 중 하나 사이의 거리이다. 이심률은 선 이심률과 장반축

a

의 비율로 정의할 수 있다. 즉,

e = \frac{c}{a}

이다 (중심이 없으므로 포물선의 선 이심률은 정의되지 않는다). 포물선은 타원이나 쌍곡선으로 취급될 수 있지만, 하나의 초점이 무한대에 있다는 점에 유의할 만하다.

원뿔곡선, 즉 원, 타원, 포물선, 쌍곡선은 모두 초점 $F$ 로부터의 거리와 준선 $L$ 로부터의 거리의 비 $e$ 가 일정인 점들의 집합이다. 이 비

e

가 이심률이다. 즉, 원뿔곡선상의 임의의 점

P

에 대해, 초점

F

로부터의 거리를

FP

, 준선

L

로부터의 거리를

PP'

로 나타내면

:

e = \frac{FP}{PP'}

이 된다. 원의 경우는 타원에서 준선을 무한원점에 놓은 극한으로 간주하고, 이심률은

0

으로 한다.

3. 이심률과 이차곡선의 분류

원뿔곡선은 한 점(초점)과 한 직선(준선)까지의 거리의 비가 일정한 점들의 자취로 정의할 수 있다. 이 비율을 이심률이라고 하며, 보통 e로 나타낸다. 이심률은 다음과 같이 원뿔을 평면으로 잘랐을 때 생기는 곡선에 대한 용어로도 정의할 수 있다.

: $e = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}, \ \ 0<\alpha<90^\circ, \ 0\le\beta\le90^\circ \ ,$

여기서 α는 원뿔의 모선과 밑면의 사잇각이고, β는 자르는 평면과 밑면의 사잇각이다. β=0일 때 단면은 원이 되고, β=α일 때 포물선이 된다. (단, 평면은 원뿔의 꼭짓점과 만나지 않아야 한다.)

타원이나 쌍곡선의 선형 이심률은 중심과 한 초점 사이의 거리로, c (또는 f, e)로 나타낸다. 이심률은 선형 이심률과 장반축 a의 비율로 정의할 수 있다. 즉, $e = \frac{c}{a}$ 이다. (단, 포물선은 중심이 없으므로 선형 이심률이 정의되지 않는다.)

이심률이 증가하는 순서대로 늘어놓은 원뿔 곡선. 이심률이 늘어나면 곡률은 줄어든다는 점과 겹치는 곡선이 없다는 점을 주목하라.

원뿔 곡선의 이심률 범위는 다음과 같다. 직선도 이차곡선 중 일차직선이므로 이심률이 정의될 수 있다.

* 원: 이심률은 0이다.
* 타원: 이심률은 0과 1 사이의 값이다.
* 포물선: 이심률은 1이다.
* 쌍곡선: 이심률은 1보다 크다.
* 직선: 이심률은 무한대이다.

두 원뿔 곡선의 이심률이 같다는 것은 두 원뿔 곡선이 서로 닮는다는 것과 동치이다.

👆

좌우로 밀어서 보기

원뿔 단면	방정식	이심률 (e)	선형 이심률 (c)
원	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	0	0
타원	$\frac{x^{2}}{a^{2}}}+{\frac{y^{2}}{b^{2}}}=1$ 또는 ${\displaystyle {\frac{y^{2}}{a^{2}}}+{\frac{x^{2}}{b^{2}}}=1}$ (단, a>b)	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
포물선	$x^{2}=4ay$	1	–
쌍곡선	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 또는 ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

여기서 타원과 쌍곡선의 경우 a는 긴반지름의 길이이고 b는 짧은반지름의 길이다.

원뿔곡선이

Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0

의 꼴로 주어졌을 때, 이심률은 다음과 같이 계산된다.

:

e=\sqrt{\frac{2\sqrt{(A-C)^2 + B^2}}{\eta (A+C) + \sqrt{(A-C)^2 + B^2}}}

여기서

\begin{bmatrix}A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}

의 3x3 행렬의 행렬식 값이 음수이면

{\displaystyle \eta =1}

, 양수이면

{\displaystyle \eta =-1}

이다.

4. 타원의 이심률

이심률이 증가하는 순서대로 늘어놓은 원뿔 곡선. 이심률이 늘어나면 곡률은 줄어들고, 겹치는 곡선이 없다.

타원의 이심률은 0과 1 사이의 값이다. 원의 이심률은 0이며, 원을 타원의 특수한 경우로 볼 때 타원의 이심률은 0보다 크거나 같고, 원을 별도의 범주로 취급하면 타원의 이심률은 0보다 크다.

임의의 타원에서 긴 반지름의 길이를 , 짧은 반지름의 길이를 라고 할 때, 타원의 중심을 원점으로 하고 x축을 긴 축과 일치시키면 타원 위의 점들은 다음 방정식을 만족한다.

:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

초점은

(\pm c, 0)

에 있고,

c = \sqrt{a^2 - b^2}

이다.

타원과 관련하여 다음과 같은 개념들이 정의된다.

👆

좌우로 밀어서 보기

이름	기호	와 로 표현	로 표현
첫 번째 이심률	$e$	$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$	$e$
두 번째 이심률	$e'$	$\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}$	$\frac{e}{\sqrt{1-e^2}}$
세 번째 이심률	$e$ =\sqrt m	$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}$	$\frac{e}{\sqrt{2-e^2}}$
각 이심률	$\alpha$	$\cos^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$	$\sin^{-1} e$

타원의 이심률은 타원의 중심과 각 초점 사이의 거리(선형 이심률 )와 긴 반지름의 길이 의 비율로 간단히 나타낼 수 있다.

:

e = \frac{c}{a}

이심률은 또한 긴 반지름 와 중심에서 준선까지의 거리 의 비율이기도 하다.

:

e = \frac{a}{d}

이심률은 편평도 (긴 반지름 와 짧은 반지름 에 대해

f = 1 - b / a

로 정의)를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

e = \sqrt{1-(1-f)^2} = \sqrt{f(2-f)}

초점에서 타원까지의 최대 및 최소 거리를

r_\text{max}

및

r_\text{min}

이라 하면, 긴반지름 를 사용하여 이심률은 다음과 같이 계산된다.

:

e = \frac{r_\text{max}-r_\text{min}}{r_\text{max}+r_\text{min}} = \frac{r_\text{max}-r_\text{min}}{2a}

이는 초점 사이의 거리를 긴 축의 길이로 나눈 값과 같다.

이심률 의 값에 따라 그려지는 곡선은 다음과 같이 변화한다.

* : 원
* : 타원
* : 포물선
* : 쌍곡선

타원의 경우, 긴 축과 짧은 축을 각각 라고 하면 두 초점 사이의 거리는

2 \sqrt{a^2 - b^2}

이 되고,

:

e = \frac{2 \sqrt{a^2 - b^2}}{2a} = \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}

따라서 타원이 원에 가까울수록 이심률은 작아진다.

편평도를 라고 하면,

:

f=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}

이심률의 제곱 은,

:

e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}=f(2-f)

는 “제1이심률”이라고 하며, 제2이심률 , 제3이심률 도 쓰인다.

:

e'=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{b^2}}, \quad e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}

지구(GRS80 회전타원체)의 이심률은, 정의된 납작률에서 계산하면, 이다.

5. 쌍곡선의 이심률

쌍곡선의 이심률은 1보다 큰 임의의 실수이며, 상한은 없다. 직각쌍곡선의 이심률은 $\sqrt{2}$ 이다.

👆

좌우로 밀어서 보기

원뿔 단면	방정식	이심률 ( e )	선형 이심률( c )
쌍곡선	$\frac {x^{2}}{a^{2}} - \frac {y^{2}}{b^{2}}=1$ 또는 $\frac {y^{2}}{a^{2}} - \frac {x^{2}}{b^{2}}=1$	$\sqrt{1 + \frac {b^{2}}{a^{2}}}$	$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

여기서 a는 긴반지름의 길이이고 b는 짧은반지름의 길이이다.

6. 고차원 곡면의 이심률

--
3차원 이차곡면의 이심률은 이차곡면의 지정된 단면의 이심률이다. 예를 들어, 삼축 타원체에서 자오선 이심률은 가장 긴 축과 가장 짧은 축(그 중 하나는 극축이 될 것이다)을 모두 포함하는 단면에 의해 형성된 타원의 이심률이며, 적도 이심률은 중심을 지나고 극축에 수직인 단면(즉, 적도면)을 통해 형성된 타원의 이심률이다. 하지만 이러한 원뿔곡선 단면은 고차원 곡면에서도 발생할 수 있다(그림 참조).

7. 천체역학

천체역학에서 구형 포텐셜의 닫힌 궤도에 대해서는 위의 정의가 비공식적으로 일반화된다. 원일점 거리가 근일점 거리와 가까우면 궤도의 이심률이 낮다고 하고, 두 거리가 매우 다르면 궤도는 이심원 궤도이거나 이심률이 1에 가깝다고 한다. 케플러 퍼텐셜, 즉 1/r^영어 퍼텐셜에서 이 정의는 타원의 수학적 이심률 정의와 일치한다.

지구(GRS80 회전타원체)의 이심률은, 정의된 납작률에서 계산하면, ≈ 0.081 819 191 042 815 790, ≈ 0.006 694 380 022 900 788이다.