후시미 표현

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1. 개요
2. 역사
3. 정의 및 성질
- 3.1. 유사 확률 분포
- 3.2. 계산 방법
참조

1. 개요

후시미 표현은 1940년 이론물리학자 후시미 고지가 도입한 개념으로, 양자 역학에서 사용되는 위상 공간 표현의 일종이다. 밀도 행렬과 결맞는 상태를 사용하여 정의되며, 항상 양의 값을 갖고 1로 정규화된다. 위그너 유사 확률 분포의 바이어슈트라스 변환으로 이해할 수 있으며, 글라우버-수다르샨 P 표현과의 관계를 갖는다. 계산이 비교적 용이하며, 확률 공리의 세 번째 공리와는 일치하지 않는다.

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후시미 표현

2. 역사

이론물리학자 후시미 고지伏見康治^일본어가 1940년에 도입하였다.^[8]

3. 정의 및 성질

후시미 Q 표현 $Q(\alpha)$ 는 양자 광학 분야에서 Q-함수라고도 불리며, 위상 공간에서 사용되는 유사 확률 분포 중 하나이다. 이는 밀도 행렬 $\rho$ 와 결맞는 상태 $|\alpha\rangle$ 를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

: $Q(\alpha)=\frac{1}{\pi}\langle\alpha|\rho|\alpha\rangle$

후시미 Q 표현은 다음과 같은 주요 성질을 가진다.

정규화: 전체 위상 공간에 대해 적분하면 1이 된다.

:

\int Q(\alpha)\,d^2\alpha = 1

음이 아닌 정부호 및 유계: 항상 0보다 크거나 같고, $1/\pi$ 보다 작거나 같은 값을 가진다.

:

0 \leq Q(\alpha) \leq \frac{1}{\pi}

^[7]

또한, 후시미 Q 표현은 다른 주요 유사 확률 분포들과 다음과 같은 관계를 가진다.

위그너 유사 확률 분포 $W(\beta)$ 의 바이어슈트라스 변환으로 이해할 수 있다. 즉, 위그너 함수를 가우시안 필터로 부드럽게 처리한 형태이다.^[6]

:

Q(\alpha)= \frac{2}{\pi} \int W(\beta) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta.

글라우버-수다르샨 P 표현 $P(\beta, \beta^*)$ 의 바이어슈트라스 변환으로도 얻을 수 있다.

:

Q(\alpha,\alpha^*)= \frac{1}{\pi} \int P(\beta,\beta^*) e^{-|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta.

이러한 변환 관계는 후시미 Q 표현이 위그너 분포나 P 표현과 마찬가지로 위상 공간에서 양자 상태를 기술하는 동등한 방법을 제공함을 시사한다. Q 분포는 계산이 비교적 용이하다는 장점이 있으나, 진정한 확률 분포는 아니라는 점에 유의해야 한다. 이는 서로 다른 결맞는 상태들이 직교하지 않기 때문이다.

3. 1. 유사 확률 분포

후시미 Q 분포는 양자 광학 분야에서 Q-함수라고도 불리며, 위상 공간에서 사용되는 가장 간단한 유사 확률 분포 중 하나이다.^[6] 이 분포는 관측값이 ''역'' 정규 순서(anti-normal order)로 작성될 때 광학적 등가 정리를 따르도록 구성되며, 본질적으로 밀도 행렬

\rho

를 정규 순서로 표현한 것과 관련된다. 이는 밀도 행렬

\rho

와 결맞는 상태

|\alpha\rangle

를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:

Q(\alpha)=\frac{1}{\pi}\langle\alpha|\rho|\alpha\rangle

Q 분포는 다음과 같은 중요한 수학적 속성을 가진다.

정규화: 전체 위상 공간에 대해 적분하면 1이 되어 확률 분포와 같이 정규화된다.

:

\int Q(\alpha)\,d^2\alpha = 1

음이 아닌 정부호 및 유계: 항상 음이 아닌 정부호(non-negative definite)이며 유계(bounded)이다. 즉, 0보다 크거나 같고 특정 최댓값(1/π)보다 작거나 같다.

:

0 \leq Q(\alpha) \leq \frac{1}{\pi}

^[7]

이러한 특성 때문에 Q 분포는 표준 결합 확률 분포와 유사해 보일 수 있다. 즉, 음이 아닌 값을 가지며 전체를 합하면 1이 되고, 값이 제한되어 있다는 점이다. 하지만 이는 유사 확률 분포일 뿐, 진정한 확률 분포는 아니다. 가장 큰 이유는 서로 다른 결맞는 상태

|\alpha\rangle

들이 서로 직교하지 않기 때문이다. 따라서 두 개의 서로 다른 점

\alpha

는 상호 배타적인 물리적 상태를 나타내지 않으며, Q 분포는 확률 이론의 세 번째 공리(상호 배타적인 사건들의 합집합 확률은 각 사건 확률의 합과 같다는 공리)를 만족하지 않는다. 즉, Q(α)는 상호 배타적인 상태들의 확률을 나타내는 것이 아니다.

후시미 Q 분포는 다른 유사 확률 분포와도 관련이 있다.

위너 유사 확률 분포 W(β)를 가우시안 함수로 합성곱하면(바이어슈트라스 변환) Q 분포를 얻을 수 있다.

:

Q(\alpha)= \frac{2}{\pi} \int W(\beta) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta.

이 가우스 변환은 합성곱 정리를 통해 푸리에 영역에서 가역적이므로, Q 분포는 위너 분포와 마찬가지로 위상 공간에서 양자역학을 동등하게 기술할 수 있는 방법을 제공한다.

글라우버-수다르샨 P 표현 P(β, β*)의 바이어슈트라스 변환으로도 얻을 수 있다.

:

Q(\alpha,\alpha^*)= \frac{1}{\pi} \int P(\beta,\beta^*) e^{-|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta.

여기서

\hat{\rho} = \int P(\beta,\beta^*) |{\beta}\rangle \langle {\beta}|\, d^{2}\beta

이다.

계산 측면에서는 결맞는 상태

|\alpha\rangle

로의 투영 연산자

|\alpha\rangle \langle\alpha|

와 밀도 행렬

\hat{\rho}

의 곱의 대각합에 비례하기 때문에 다른 유사 확률 분포에 비해 계산이 비교적 쉽다. 이는 Q 분포가 다른 분포들보다 상대적으로 부드러운(smooth) 함수 형태를 가지는 것과 관련이 있다. 또한 파동 함수의 세갈-바르그만 변환을 통해 관련된 확률 밀도를 계산하여 구할 수도 있다.

3. 2. 계산 방법

후시미 Q 분포는 위상 공간에서 계산이 비교적 간단한 유사 확률 분포 중 하나이다. 이는 역 정규 순서로 작성된 관측값이 광학적 등가 정리를 따르도록 구성되기 때문인데, 본질적으로 밀도 행렬을 정규 순서로 배치하는 것과 같다. 이로 인해 다른 유사 확률 분포에 비해 계산이 상대적으로 용이하다.

기본적인 계산 공식은 다음과 같다.

:

Q(\alpha)=\frac{1}{\pi}\langle\alpha|\hat{\rho}|\alpha\rangle,

이 식은 밀도 행렬

\hat{\rho}

를 코히어런트 상태

|\alpha\rangle

로 투영하는 연산자

\hat{\rho}|\alpha\rangle \langle\alpha|

의 트레이스에 비례하는 값을 계산한다. 이 계산 방식은 상태 ''ρ''의 그림 표현을 생성하여 여러 수학적 속성을 설명하는 데 사용된다.^[6] 계산의 상대적인 용이성은 분포의 부드러움과 관련이 있는데, 이는 위너 유사 확률 분포에 가우시안 필터를 적용한 것, 즉 바이어슈트라스 변환으로 이해할 수 있다.

:

Q(\alpha)= \frac{2}{\pi} \int W(\beta) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta.

이러한 가우스 변환은 합성곱 정리를 통해 푸리에 영역에서 본질적으로 가역적이므로, ''Q''는 위그너 분포가 제공하는 위상 공간에서 양자 역학에 대한 등가적인 설명을 제공한다.

또는, 파동 함수의 세갈-바르그만 변환을 수행한 후, 관련된 확률 밀도를 계산하여 후시미 Q 분포를 구할 수도 있다.

''Q''는 1로 정규화된다.

:

\int Q(\alpha)\,d^2\alpha  = 1

그리고 ''음이 아닌 정부호''이며^[7] ''유계''이다.

:

0 \leq Q(\alpha) \leq \frac{1}{\pi}.

Q가 표준 결합 확률 분포처럼 음이 아닌 정부호이고 유계라는 사실에도 불구하고, 이러한 유사성은 오해의 소지가 있을 수 있다. 서로 다른 코히어런트 상태는 직교하지 않기 때문이다. 두 개의 서로 다른 점 α는 상호 배타적인 물리적 우발성을 나타내지 않으므로, ''Q(α)''는 확률 이론의 세 번째 공리에서 필요한 것처럼 ''상호 배타적인 상태의 확률을 나타내지 않는다''.

''Q''는 글라우버-수다르샨 P 표현의 다른 바이어슈트라스 변환으로 얻을 수도 있다.

:

Q(\alpha,\alpha^*)= \frac{1}{\pi} \int P(\beta,\beta^*) e^{-|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta,

여기서

\hat{\rho} = \int P(\beta,\beta^*) |{\beta}\rangle \langle {\beta}|\, d^{2}\beta

이고 코히어런트 상태의 표준 내적을 사용한다.

참조

_[1] 논문 Some Formal Properties of the Density Matrix https://www.jstage.j[...] 1940
_[2] 서적 The principles of quantum mechanics https://books.google[...] Oxford University Press
_[3] 서적 Measuring the Quantum State of Light
_[4] 서적 Statistical Methods in Quantum Optics I: Master Equations and Fokker-Planck Equations Springer-Verlag
_[5] 논문 On the remarkable structure of the superconducting intermediate state
_[6] 서적 Quantum Mechanics in Phase Space https://books.google[...] World Scientific
_[7] 논문 A non-negative Wigner-type distribution
_[8] 저널 Some formal properties of the density matrix http://jlc.jst.go.jp[...] 1940

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