가우시안 필터

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1. 개요

가우시안 필터는 가우시안 함수의 임펄스 응답을 갖는 선형 평활화 필터로, 이미지의 노이즈를 줄이거나 엣지 검출 알고리즘의 전처리 단계에 사용된다. 1차원 및 2차원 형태로 표현되며, 주파수 응답과 표준 편차 간의 관계를 갖는다. 가우시안 필터는 다항식 합성을 통해 구현될 수 있으며, 디지털적으로는 컨볼루션, FFT, 이동 평균 등을 통해 적용된다. 응용 분야로는 이미지 평활화, 엣지 검출, 이미지 크기 조절, 컴퓨터 비전, 의료 영상, 그래픽스, 기계 학습, 통신 시스템 등이 있으며, 이미지의 노이즈를 줄여 품질을 향상시키고, 다양한 시각적 효과를 생성하는 데 기여한다.

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가우시안 필터
개요
가우시안 필터의 임펄스 응답
종류	선형 필터
응용 분야	이미지 처리 신호 처리

2. 정의

가우시안 필터는 신호 처리 및 이미지 처리 분야에서 널리 사용되는 필터로, 가우시안 함수(정규 분포)를 기반으로 한다. 1차원 및 2차원 가우시안 필터에 대한 수식은 하위 섹션에 상세히 설명되어 있다.

표준 편차( $\sigma$ )와 주파수 영역에서의 표준 편차( $\sigma_f$ )의 곱은 다음과 같이 표현된다.

: $\sigma\sigma_f=\frac{1}{2\pi}$

여기서 표준 편차는 물리적 단위(예: 시간과 주파수의 경우 각각 초와 헤르츠)로 표현된다.

2. 1. 1차원 가우시안 필터

1차원 가우시안 필터는 다음과 같은 임펄스 응답을 갖는다.

:

g(x)= \sqrt{\frac{a}{\pi}}e^{-ax^2}

그리고 주파수 응답은 푸리에 변환에 의해 다음과 같이 주어진다.

:

\hat g(f)= e^{-\pi^2f^2/a}

여기서

f

는 일반적인 주파수를 나타낸다. 이 방정식들은 또한 표준 편차를 매개변수로 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-x^2/(2\sigma^2)}

그리고 주파수 응답은 다음과 같이 주어진다.

:

\hat g(f) = e^{-f^2/(2\sigma_f^2)}

a

를

\sigma

의 함수로, 그리고

\hat g(f)

에 대한 두 방정식으로

\sigma_f

의 함수로 나타내면, 표준 편차와 주파수 영역에서의 표준 편차의 곱은 다음과 같다.

:

\sigma\sigma_f=\frac{1}{2\pi}

여기서 표준 편차는 물리적 단위로 표현된다. 예를 들어 시간과 주파수의 경우 각각 초와 헤르츠로 표현된다.

2. 2. 2차원 가우시안 필터

2차원 가우시안 필터는 각 방향에 대해 두 개의 가우시안 함수를 곱한 것이다.

:

g(x,y) = \frac{1}{2\pi \sigma^2}e^{-(x^2 + y^2)/(2 \sigma^2)}

여기서 ''x''는 수평 축에서 원점까지의 거리, ''y''는 수직 축에서 원점까지의 거리이며, ''σ''는 가우시안 분포의 표준 편차이다.

3. 가우시안 필터 다항식 합성

가우시안 전달 함수 다항식은 $\epsilon^{-a\omega^2}$ 형태의 가우시안 함수 제곱에 대한 테일러 급수 전개를 사용하여 합성할 수 있다. 여기서 $a$ 는 $\omega=1$ 에서 $\epsilon^{-a\omega^2} = \sqrt{1/2}$ (-3.01dB와 동일)이 되도록 설정된다.^[6] 이 제약 조건을 이용해 $a$ 값을 계산하면 $a=-log\bigg(\sqrt{1/2}\bigg)$ , 즉 약 -3.010 dB 차단 감쇠의 경우 0.34657359가 된다. 다른 감쇠값을 원하면 $a=log(10^{(|dB|/20)})$ 를 통해 다시 계산할 수 있다.

위 기준을 모두 만족하는 $F(\omega)$ 는 정지대 영점이 없으며, 다음과 같은 형태를 가진다.

$F(\omega) =\epsilon^{-a\omega^2}\sqrt{(\epsilon^{-a\omega^2})^2}=\sqrt{\frac{1}{\epsilon^{2a\omega^2}}}$

전달 함수를 완성하기 위해 $\epsilon^{2a\omega^2}$ 는 0에 대한 테일러 급수로 근사할 수 있다. 전체 테일러 급수는 다음과 같다.^[6]

$\epsilon^{2a\omega^2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2a)^k\omega^{2k}}{k!}$

필터가 실제 가우시안 함수를 모방하는 정도는 급수에서 사용하는 항의 개수에 따라 결정된다. 0을 넘어 취해진 항의 수는 필터의 차수 N을 결정한다.

$F_N(\omega) = \sqrt{\frac{1}{\sum_{k=0}^\N \frac{(2a)^k\omega^{2k}}{k!}}}$

주파수 축의 경우, $\omega$ 는 $j\omega$ 로 대체된다.

$F_N(j\omega) = \sqrt{\frac{1}{\sum_{k=0}^\N \frac{(2a)^k(j\omega)^{2k}}{k!}}}\bigg |_{\text{좌반 평면}}$

극점의 절반만 좌반 평면에 위치하므로, 전달 함수를 구성하기 위해 해당 극점만 선택하면 방정식을 제곱근하는 데 도움이 된다.

3. 1. 3차 가우시안 필터 예시

3차 가우시안 필터는

\omega

= 1에서 -3.010 dB의 컷오프 감쇠를 가지도록 설계되며, 제곱된 가우시안 함수를 만들기 위해 테일러 급수에서 k=0부터 k=3까지의 항을 사용한다.^[6]

:

F_3((j\omega)^2)= \frac{1}{1.33333a^3(j\omega)^6+2a^2(j\omega)^4+2a(j\omega)^2+1}= \frac{1}{-1.33333a^3\omega^6+2a^2\omega^4-2a\omega^2+1}

여기서

a

는

a=-log\bigg(\sqrt{1/2}\bigg)

(약 -3.010 dB 차단 감쇠의 경우 0.34657359)로 계산된다.^[6]

a

를 계수에 흡수하고, 근 찾기 알고리즘을 사용하여 인수분해한 다음, 왼쪽 반평면 극점만을 사용하여 다항식을 구성하면 필요한 -3.010 dB 컷오프 감쇠를 갖는 3차 가우시안 필터의 전달 함수를 얻을 수 있다.

:

F_3(j\omega) = \frac{1}{ 0.2355931(j\omega)^3+1.0078328(j\omega)^2+1.6458471(j\omega)+1}

|F_3(j)|

를 계산하면 -2.986 dB의 크기를 얻을 수 있으며, 이는 원하는 -3.010 dB에서 약 0.8%의 오차를 나타낸다. 이 오차는 필터의 차수가 증가함에 따라 감소한다. 또한, 모든 가우시안 필터에 대해 고주파수에서의 오차가 더 두드러지지만, 필터의 차수가 증가함에 따라 감소한다.

4. 과도 가우시안 필터

가우시안 필터는 바람직한 군 지연을 나타내지만, 차단 감쇠의 경사가 원하는 것보다 작을 수 있다.^[9] 이를 해결하기 위해, 바람직한 가우시안 군 지연 응답과 저주파수 및 중간 주파수를 유지하면서 고주파수에서 더 높은 경사의 체비셰프 감쇠로 전환하는 표가 개발되어 발표되었다.^[9]

5. 디지털 구현

가우시안 필터는 $x \in (-\infty,\infty)$ 에 대해 정의되어 이론적으로 무한한 창 길이를 필요로 한다. 그러나 가우시안 함수는 빠르게 감소하기 때문에 필터 창을 잘라내고 좁은 창에 대해 필터를 직접 구현하는 것이 합리적이다. 이는 간단한 사각형 창 함수를 사용하는 것과 같다. 하지만 잘라내기로 인해 상당한 오류가 발생할 수 있으므로, 윈도우 함수를 사용하면 더 나은 결과를 얻을 수 있다. 자세한 내용은 스케일 공간 구현을 참조한다.

필터링에는 컨볼루션이 포함되며, 필터 함수는 적분 변환의 커널이라고 한다. 가우시안 커널은 연속적이지만, 일반적으로 이산적인 등가물인 샘플링된 가우시안 커널을 사용한다. 이산 가우시안 커널은 연속 가우시안에서 샘플링 지점을 생성하여 만든다. 다른 방법으로는 이산 가우시안 커널^[10]을 사용할 수 있는데, 이는 일부 목적에 더 우수한 특성을 가지며 이산 확산 방정식의 해이다.

가우시안 함수의 푸리에 변환은 가우시안 함수를 생성한다. 따라서 신호(가급적 중첩된 윈도우 블록으로 분할)는 고속 푸리에 변환으로 변환하고 가우시안 함수와 곱한 후 다시 변환할 수 있다. 이는 임의의 유한 임펄스 응답 필터를 적용하는 표준 절차이며, 유일한 차이점은 필터 윈도우의 푸리에 변환이 명시적으로 알려져 있다는 것이다.

중심 극한 정리(통계학)에 따르면, 가우시안 필터는 이동 평균과 같은 간단한 필터를 여러 번 실행하여 근사할 수 있다. 간단한 이동 평균은 상수 B-스플라인(사각형 펄스)과의 컨볼루션에 해당한다. 예를 들어, 이동 평균을 4번 반복하면 필터 윈도우로 입방 B-스플라인이 생성되어 가우시안 필터를 상당히 잘 근사한다. 이동 평균은 계산 비용이 매우 저렴하므로 레벨을 쉽게 계단식으로 만들 수 있다.

이산적인 경우, 필터의 표준 편차(시간 및 주파수 도메인)는 다음과 같이 관련된다.

: $\sigma_t\cdot\sigma_f=\frac{N}{2\pi}$

여기서 표준 편차는 샘플 수로 표현되고, ''N''은 총 샘플 수이다.

간단한 이동 평균은 균일 확률 분포에 해당하므로 크기 $n$ 의 필터 폭은 표준 편차 $\sqrt{(n^2-1)/12}$ 를 갖는다. 따라서 크기가 ${n}_1,\dots,{n}_m$ 인 연속적인 $m$ 이동 평균을 적용하면 표준 편차는 다음과 같다.

: $\sigma = \sqrt{\frac{n_1^2+\cdots+n_m^2-m}{12}}$

(표준 편차는 더해지지 않지만, 분산은 더해진다.)

가우시안 커널은 $6\sigma_t-1$ 값을 필요로 한다. 예를 들어 ${\sigma_t}$ 가 3인 경우, 길이 17의 커널이 필요하다. 5개 지점의 실행 평균 필터는 ${\sqrt{2}}$ 의 시그마를 갖는다. 세 번 실행하면 ${\sigma_t}$ 가 2.42가 된다.

2차원으로 적용될 때, 가우시안 필터 공식은 원점에서 최대값을 가지며, 윤곽선은 원점을 중심으로 하는 동심원인 가우시안 표면을 생성한다. 2차원 컨볼루션 행렬은 공식에서 미리 계산되어 2차원 데이터와 컨볼루션된다. 결과 행렬의 각 요소의 새로운 값은 해당 요소 주변 요소의 가중 평균으로 설정된다. 초점 요소는 가장 무거운 가중치(가장 높은 가우시안 값)를 받으며, 인접 요소는 초점 요소와의 거리가 증가함에 따라 작은 가중치를 받는다. 이미지 처리에서 행렬의 각 요소는 밝기 또는 색상 강도와 같은 픽셀 속성을 나타내며, 전체 효과는 가우시안 블러라고 한다.

5. 1. 컷오프 주파수

가우시안 필터의 컷오프 주파수는 주파수 영역에서 표준 편차(

\sigma_f

)로 정의할 수 있으며, 이는 필터의 크기를 측정하는 척도로 해석된다. 컷오프 주파수(

f_c

)는 다음 식과 같이 표현된다.^[11]

:

f_c = \sigma_f = \frac{1}{2\pi\sigma_t}

여기서

\sigma_t

는 시간 영역에서의 표준 편차이며, 모든 양은 물리적 단위(예: 시간은 초, 주파수는 헤르츠)로 표현된다.

\sigma_t

가 샘플 수로 측정되는 경우, 컷오프 주파수는 다음 식으로 계산할 수 있다.

:

f_c = \frac{F_s}{2\pi\sigma_t}

여기서

F_s

는 샘플링 속도(sampling rate)이다.

이 컷오프 주파수에서 가우시안 필터의 응답 값은 exp(−0.5) ≈ 0.607이다.

일반적으로 컷오프 주파수는 반전력 지점(half-power point)으로 정의한다. 반전력 지점은 필터 응답이 전력 스펙트럼에서 0.5 (-3dB), 진폭 스펙트럼에서 1/

\sqrt{2}

≈ 0.707로 감소하는 지점이다.

필터 응답에 대한 임의의 컷오프 값 1/''c''에 대해 컷오프 주파수는 다음과 같다.

:

f_c = \sqrt{2\ln(c)}\cdot\sigma_f

^[11]

''c'' = 2인 경우, 위 식에서 주파수 영역 표준 편차 앞의 상수는 약 1.1774이며, 이는 반 최대 전폭(FWHM)의 절반에 해당한다. ''c'' =

\sqrt{2}

인 경우에는 이 상수가 약 0.8326으로, 1에 매우 가깝다.

5. 2. 인과성 문제

가우시안 필터는 비인과적(non-causal)이어서 필터 창이 시간 영역에서 원점을 중심으로 대칭이다. 즉, 미래의 값을 참조하여 현재 값을 계산하기 때문에 실시간 시스템에서는 물리적으로 구현하기 어렵다. Real-time system^영어에서는 들어오는 샘플이 필터 창을 채울 때까지 기다려야 하므로 지연이 발생한다. 이론적으로 가우시안 필터는 모든 구간에서 0이 아니기 때문에, 완벽하게 인과적인 필터를 만드는 것은 불가능하다. 그러나 가우시안 함수는 0으로 매우 빠르게 수렴하는 특성이 있어, 적절한 지연 시간을 주면 부동 소수점 표현의 정밀도 범위 내에서 인과적 필터로 근사하여 사용할 수 있다.^[11]

6. 응용 분야

가우시안 필터는 이미지 처리, 컴퓨터 비전, 의료 영상, 그래픽스, 기계 학습, 통신 시스템 등 다양한 분야에서 활용된다.

분야	역할
이미지 평활화	이미지 노이즈 제거^[12]
가장자리 감지	전처리 단계로 사용^[12]
이미지 크기 조절	앨리어싱 아티팩트 방지^[13]
컴퓨터 비전	객체 감지, 이미지 분할, 특징 추출 등에 활용^[14]
의료 영상	MRI, CT 스캔 등에서 이미지 품질 향상
그래픽스 및 렌더링	피사계 심도, 모션 블러 효과 생성
기계 학습	합성곱 신경망(CNN)에서 이미지 전처리에 사용^[14]
통신 시스템	GSM의 GMSK 변조, GFSK에 사용
이미지 처리	캐니 가장자리 검출기 전처리 단계

6. 1. 이미지 평활화 (노이즈 제거)

이미지 평활화에서 가우시안 필터는 주로 이미지의 노이즈를 줄이는 데 사용된다. 가우시안 필터는 가중 가우시안 분포를 사용하여 픽셀 값을 평균화하여 이미지를 흐리게 만들고, 이를 통해 고주파 노이즈를 효과적으로 감소시킨다.^[12]

6. 2. 엣지 검출

가우시안 필터는 가장자리 감지 알고리즘의 전처리 단계로 자주 사용된다. 이미지를 평활화함으로써, 소벨이나 캐니 가장자리 검출기와 같은 방법을 적용하기 전에 노이즈의 영향을 최소화하는 데 도움이 된다.^[12]

6. 3. 이미지 크기 조절

가우시안 필터는 이미지 크기 조절 작업에서 앨리어싱 아티팩트를 방지하는 데 사용될 수 있다. 이미지를 다운샘플링하기 전에 가우시안 필터로 평활화하면, 결과 이미지의 품질과 시각적 충실도를 더 잘 유지할 수 있다.^[13]

6. 4. 컴퓨터 비전

컴퓨터 비전에서 가우시안 필터는 객체 감지, 이미지 분할, 특징 추출 등 광범위한 분야에 적용되어 노이즈를 줄임으로써 정확한 분석을 가능하게 한다.^[14]

6. 5. 의료 영상

MRI와 CT 스캔 같은 의료 영상 기술에서 가우시안 필터는 노이즈를 줄여 이미지 품질을 향상시키며, 이를 통해 보다 명확한 진단과 분석을 지원한다.

6. 6. 그래픽스 및 렌더링

컴퓨터 그래픽스에서 가우시안 필터는 피사계 심도 및 모션 블러와 같은 효과를 생성하여 렌더링된 장면의 현실감을 향상시킨다.^[14]

6. 7. 기계 학습

합성곱 신경망(CNN)에서 가우시안 필터는 이미지 분류 및 객체 인식과 같은 작업에 사용된다. 가우시안 필터는 이미지를 전처리하여 모델의 성능을 향상시키는데, ^[14] 이미지를 평활화하여 노이즈를 줄이는 역할을 한다.^[12]

6. 8. 통신 시스템 (GSM, GFSK)

GSM은 GMSK 변조를 적용하기 때문에 가우시안 필터가 사용된다. 가우시안 필터는 GFSK에서도 사용된다.

6. 9. 이미지 처리 (캐니 엣지 검출기)

가우시안 필터는 캐니 가장자리 검출기와 같은 이미지 처리 알고리즘에서 전처리 단계로 활용된다. 이미지를 평활화함으로써, 노이즈의 영향을 최소화하여 이후 가장자리 감지 단계의 정확도를 높인다.^[12]

참조

_[1] 서적 Oscilloscope Vertical Amplifiers https://www.radiomus[...] Tektronix Circuit Concepts 2022-11-17
_[2] 웹사이트 Low-Pass Risetime Filters for Time Domain Applications https://kh6htv.files[...] Picosecond Pulse Labs 1999
_[3] 논문 A Class of Fast Gaussian Binomial Filters for Speech and Image Processing https://web.njit.edu[...] 1991-03
_[4] 서적 Computer Vision Prentence Hall 2001
_[5] 서적 Feature Extraction and Image Processing Academic Press 2008
_[6] 서적 Handbook of Filter Synthesis https://archive.org/[...] John Wiley & Sons, Inc. 1967
_[7] 간행물 Dr. Byron Bennett's filter design lecture notes https://arc.lib.mont[...] Montana State University, EE Department 1985
_[8] 서적 Filter Theory and Design: Active and Passive https://archive.org/[...] Matrix Publishers, Inc. 1978
_[9] 서적 Electronic Filter Design Handbook https://archive.org/[...] McGraw-Hill, Inc.
_[10] 간행물 "Scale-space for discrete signals," PAMI(12), No. 3 http://www.nada.kth.[...] 1990-03
_[11] 서적 Noise and Signal Interference in Optical Fiber Transmission Systems John Wiley & Sons 2008
_[12] 웹사이트 Spatial Filters - Gaussian Smoothing https://homepages.in[...] 2024-12-19
_[13] 웹사이트 Using Gaussian blur in image processing https://www.adobe.co[...] 2024-12-19
_[14] 웹사이트 Gaussian Filtering - Computer Vision Website Header https://www.southamp[...] 2024-12-19

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