초월수론

3. 접근법들

대수학의 기본 정리에 따르면 유리 계수를 갖는 비상수 다항식(또는 정수 계수를 갖는 다항식)은 복소 해를 가진다. 초월수론은 이와 반대로, 복소수 α가 주어졌을 때, P(α) = 0을 만족하는 유리 계수 다항식 P가 존재하는지 질문한다. 만약 그러한 다항식이 없다면 α는 초월수이다.

더 일반적으로 이 이론은 숫자들의 대수적 독립성을 다룬다. 숫자 집합 {α₁, ..., α_n}이 체 K에 대해 대수적으로 독립이라는 것은, K 계수를 갖는 n 변수의 0이 아닌 다항식 P가 존재하지 않고, P(α₁, α₂, ..., α_n) = 0인 경우를 말한다. 따라서 주어진 숫자가 초월수인지 판별하는 것은, 체 K가 유리수체이고 n=1인 대수적 독립의 특수한 경우이다.

이와 관련된 개념으로 지수, 로그, 대수 연산을 포함하는 숫자에 대한 폐쇄형 표현식의 존재 여부가 있다. "폐쇄형"의 정의는 다양하며, 이에 대한 질문은 종종 초월성에 대한 질문으로 축소될 수 있다.

이 분야의 대표적인 문제는 주어진 숫자가 초월수인지 판별하는 것이다. 칸토어는 기수 논증을 사용하여 대수적 수는 셀 수 있을 만큼 많으며, 따라서 거의 모든 수가 초월수임을 보였다. 그럼에도 주어진 수가 초월수인지 증명하는 것은 매우 어려울 수 있다.

이러한 이유로 초월 이론은 정량적인 접근 방식을 취한다. 복소수 α가 주어졌을 때, α가 대수적 수에 얼마나 가까운지를 묻는다. 예를 들어, α가 대수적이라고 가정하면, 매우 높은 차수나 매우 큰 계수를 갖는 최소 다항식을 가져야 하는가? 유한 차수나 계수의 크기가 충분하지 않다는 것을 보일 수 있다면 그 숫자는 초월수여야 한다. α가 초월수라는 것은 정수 계수를 갖는 모든 0이 아닌 다항식 P에 대해 P(α) ≠ 0인 것과 동치이다. 이 문제는 다음 형식의 하한을 찾으려고 시도하여 접근할 수 있다.

:$|P(a)|\; >\; F(A,d)$

여기서 우변 F는 모든 P ≠ 0에 대해 P의 계수의 크기를 측정하는 A와 그 차수 d에 따라 달라지는 양함수이다.

d = 1의 경우는 "고전적" 디오판토스 근사의 하한인 $|ax\; +\; b|$를 요구하는 것이다.

초월수론과 디오판토스 근사법은 보조 함수의 개념을 사용하는 등 많은 공통점을 가진다.

3. 1. 초월 측도

4. 주요 결과

대수학의 기본 정리에 따르면 유리 계수를 갖는 비상수 다항식은 복소수 해를 가진다. 즉, 상수가 아닌 유리 계수 다항식 $P$에 대해서 $P(\backslash alpha)=0$를 만족하는 복소수 $\backslash alpha$가 언제나 존재한다. 초월수론은 임의의 복소수 $\backslash alpha$가 주어졌을 때, $P(\backslash alpha)=0$를 만족하는 유리 계수 다항식 $P$가 존재하는지에 대한 질문을 다룬다. 그러한 다항식이 존재하지 않으면 $\backslash alpha$를 초월수라고 한다.

더 일반적으로 이 이론은 숫자들의 대수적 독립성을 다룬다. 숫자 집합 $\backslash \{\; \backslash alpha\_1,\; \backslash dots,\backslash alpha\_\{n\}\; \backslash \}$는 ''K'' 계수 ''n'' 변수의 0이 아닌 다항식 ''P''가 없고 ''P'' (α ₁, α ₂, …, α _''n'' ) = 0인 경우 체 ''K''에 대해 대수적 독립이라고 한다. 따라서 주어진 숫자가 초월수인지 아닌지 알아내는 것은 체 ''K''가 유리수체이고, ''n= 1''인 대수적 독립의 특수한 경우이다.

이와 관련된 개념으로는 지수, 로그, 대수 연산을 포함하여 숫자에 대한 폐쇄형 표현식이 있는지 여부가 있다.

겔폰트-슈나이더 정리는 1900년~1950년대 초월수론의 주요 발전이었다. 1960년대에 대수적 수들의 로그의 선형 결합에 관한 앨런 베이커의 방법은 디오판토스 방정식에 응용되어 초월수론을 재부흥시켰다.

4. 1. 겔폰트-슈나이더 정리

4. 2. 베이커 정리

5. 말러의 분류

쿠르트 말러는 1932년에 초월수를 S수, T수, U수라는 세 가지 종류로 나누었다.^[23] 이 분류는 리우빌 수 개념을 확장한 것이다.

복소수 x에 대해, 차수가 최대 n이고 높이가 최대 H인 정수 계수 다항식을 고려하여, 이 다항식이 x에서 취하는 0이 아닌 최소 절댓값을 m(x, n, H)라 하고, 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash omega(x,\; n,\; H)\; =\; -\backslash frac\{\backslash log\; m(x,\; n,\; H)\}\{n\backslash log\; H\}$

:$\backslash omega(x,\; n)\; =\; \backslash limsup\_\{H\backslash to\backslash infty\}\backslash ,\; \backslash omega(x,n,H).$

• $\backslash omega(x,n)$이 어떤 자연수 n에 대해 무한하면, 복소수 ''x''를 차수 n의 '''U 수'''라고 정의한다.
• ω(x, n)이 유계이면, $\backslash omega\; (x)\; =\; \backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash ,\; \backslash omega(x,n).$ 가 유한하며, 이때 x를 '''S 수'''라고 한다.
• ω(x, n)이 유한하지만 유계가 아니면 x를 '''T 수'''라고 한다.
• x가 대수적이라는 것은 ω( ''x'' )=0과 동치이다.

5. 1. 실수의 무리 측도

5. 2. 복소수의 초월 측도

5. 3. Koksma의 분류법

• 가장 작은 양의 정수 ''n''에 대해 ω*( ''x'', ''n'' )이 무한대이면 ''x''를 n 차수의 '''U*-수'''라고 한다.
• ω*( ''x'', ''n'' )이 유계이고 0으로 수렴하지 않으면 ''x''를 '''S*-수'''라고 한다.
• ω*( ''x'', ''n'' )이 0으로 수렴하면 ''x''를 '''A*-수'''라고 한다.
• ω*( ''x'', ''n'' )이 모두 유한하지만 비유계이면 ''x''를 '''T*-수'''라고 한다.

5. 4. LeVeque의 구성

5. 5. 유형(type)

6. 미해결 문제들

스티븐 섀뉴얼(Stephen Schanuel)은 유리수체 위에서 선형적으로 독립인 복소수 $x\_1,\; \backslash dots\; ,x\_\{n\}$들에 대해, 체 $K=\backslash mathbb\{Q\}(x\_1,\backslash ldots,x\_n,e^\{x\_1\},\backslash ldots,e^\{x\_n\})$의 초월 차수가 적어도 ''n'' 이상이라고 추측했지만, 현재까지 증명은 알려져 있지 않다.^[21] 2004년에 보리스 질버(Boris Zilber)는 덧셈, 곱셈, 지수 연산을 갖춘 복소수와 매우 유사하게 동작하는 구조를 만드는 모형 이론적 기법을 사용한 논문을 발표했다. 이 추상적인 구조에서는 섀뉴얼의 추측이 성립한다.^[21] 그러나 이 구조가 언급된 연산을 거친 복소수와 실제로 동일한지는 아직 알 수 없다. 질버는 문제의 구조가 '''C'''임을 증명할 수 있는 여러 기준을 제시했지만, 강력한 지수 폐쇄 공리(Strong Exponential Closure axiom)를 증명하지는 못했다. 이 공리의 가장 간단한 경우는 증명되었지만,^[22] 추측을 완전히 증명하려면 이것이 완전한 일반성을 가진다는 증명이 필요하다.

겔폰트-슈나이더 정리는 많은 수의 종류가 초월수임을 증명했지만, 이 종류는 여전히 가산이다. 잘 알려진 수학 상수 중 상당수는 아직 초월수로 알려지지 않았으며, 어떤 경우에는 유리수인지 무리수인지조차 알려지지 않았다.

초월수론의 주요 문제는 개별 수가 초월적임을 보여주는 것이 아니라 특정 숫자 집합이 대수적으로 독립적임을 보여주는 것이다. ''e'' 와 ''π''가 초월수라는 것을 알고 있지만, ''e+π'' 나 다른 방법 (예를 들어 e''π'') 으로 결합하여도 초월수임을 의미하지 않는다. (초월수로 알려진 겔폰트 상수 $e^\{\backslash pi\}$는 예외) 또 다른 큰 문제는 지수 함수와 관련이 없는 숫자를 다루는 것이다. 초월수론의 주요 결과는 ''e'' 와 로그 함수를 중심으로 하는 경향이 있는데, 이는 이 두 가지 대상을 이용한 기본적인 방식으로 표현할 수 없는 숫자를 처리하기 위해 완전히 새로운 방법이 필요하다는 것을 의미한다.

섀뉴얼의 추측은 대수적 독립성을 다루므로 이런 문제 중 첫 번째 문제를 어느 정도 해결할 수 있으며, 참으로 증명된다면 실제로 ''e'' + ''π가'' 초월수임을 확인할 것이다. 하지만 여전히 지수 함수를 중심으로 돌아가기 때문에 아페리 상수나 오일러-마스케로니 상수와 같은 숫자를 다루지는 않는다. 또 다른 극도로 어려운 미해결 문제는 소위 상수 문제 또는 항등성 문제이다.^[38]

참조

_[1] 서적 Elements of the History of Mathematics Springer 1994
_[2] 하버드 인용
_[3] 서적 Introductio in analysin infinitorum https://archive.org/[...]
_[4] 문서
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_[6] 저널 Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen
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_[10] 저널 Sur la fonction exponentielle
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_[15] 간행물 Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. I, II, III
_[16] 저널 Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen http://gdz.sub.uni-g[...]
_[17] 저널 Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre http://resolver.sub.[...]
_[18] 서적 Mathematics and Logic https://archive.org/[...] Fredering A. Praeger
_[19] 서적 Men of Mathematics https://archive.org/[...] Simon & Schuster
_[20] 저널 Georg Cantor and Transcendental Numbers http://www.maa.org/s[...] 2024-08-13
_[21] 저널 Pseudo-exponentiation on algebraically closed fields of characteristic zero
_[22] 저널 A remark on Zilber's pseudoexponentiation
_[23] 하버드 인용
_[24] 하버드 인용
_[25] 하버드 인용
_[26] 하버드 인용
_[27] 하버드 인용
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_[38] 저널 Some Undecidable Problems Involving Elementary Functions of a Real Variable