단체 호몰로지

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1. 개요
2. 정의
3. 호몰로지 군
- 3.1. 호몰로지 군 계산 예시
4. 단체 사상 (Simplicial Maps)
5. 관련 호몰로지
- 5.1. 특이 호몰로지 (Singular Homology)
- 5.2. 세포 호몰로지 (Cellular Homology)
6. 응용
- 6.1. 위상 데이터 분석 (Topological Data Analysis, TDA)
- 6.2. 컴퓨터 프로그램 구현
7. 한국 사회에 대한 적용 및 함의 (중도 진보적 관점)
8. 같이 보기
참조

1. 개요

단체 호몰로지는 단체 복합체의 위상적 특징을 연구하는 수학적 도구이다. 단체의 방향 개념을 바탕으로 k-사슬, 경계 연산자, 사이클, 경계 등의 개념을 정의하고, 이를 통해 호몰로지 군을 계산한다. 호몰로지 군은 단체 복합체 내의 구멍의 존재 여부와 차원을 나타내며, 단체 사상을 통해 호몰로지 군 간의 관계를 파악할 수 있다. 특이 호몰로지, 세포 호몰로지 등 관련 호몰로지 이론이 있으며, 위상적 데이터 분석, 이미지 및 텍스트 분석, 사회 현상 분석 등 다양한 분야에 응용된다.

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단체 호몰로지

2. 정의

$S$ 를 단체 복합체라고 하자. 단체 $k$ -사슬은 유한 형식적 합

: $\sum_{i=1}^N c_i \sigma_i, \,$

으로 표현된다. 여기서 각 $c_i$ 는 정수이고 $\sigma_i$ 는 방향이 지정된 $k$ -단순체이다. 이 정의에서 각 방향이 지정된 단순체는 반대 방향의 단순체의 음수와 같다고 정의한다. 예를 들어,

: $(v_0,v_1) = -(v_1,v_0).$

와 같이 표현할 수 있다.

$S$ 에 대한 $k$ -사슬의 군은 $C_k$ 로 표기한다. 이는 $S$ 의 $k$ -단순체의 집합과 일대일 대응을 이루는 기저를 가진 자유 아벨 군이다. 기저를 명시적으로 정의하려면 각 단순체의 방향을 선택해야 한다. 이를 수행하는 한 가지 표준 방법은 모든 꼭짓점의 순서를 선택하고, 각 단순체에 유도된 꼭짓점 순서에 해당하는 방향을 부여하는 것이다.

2-단체의 경계(왼쪽)와 1-사슬의 경계(오른쪽)의 경계를 취한다. 둘 다 0이며, 0 단체의 양수와 음수가 모두 한 번 발생하는 합이다. 경계의 경계는 항상 0이다. 자명하지 않은 사이클는 경계의 합이 0이라는 점에서 단체의 경계처럼 닫혀 있지만 실제로는 단체 또는 사슬의 경계가 아니다. 자명한 1사이클는 0에서 $H_1$ , 오른쪽 중간에 있는 1사이클는 왼쪽에 있는 2-단체의 경계와의 합과 호몰로지이다.

단체 호몰로지를 정의하기 위해서는 단체의 향, 사슬, 경계 및 사이클 등의 개념이 필요하다.

2. 1. 향 (Orientation)

단체 호몰로지를 정의하는 핵심 개념은 단체의 향이라는 개념이다.

k

-단체의 방향은 꼭짓점의 순서

(v_0,\dots,v_k)

로 지정되며, 두 순서가 짝순열만큼 다르면 같은 방향을, 홀순열만큼 다르면 반대 방향을 나타낸다는 규칙이 있다. 따라서 모든 단체는 정확히 두 방향을 가지며, 두 정점의 순서를 바꾸면 방향이 반대로 바뀐다. 예를 들어, 1-단체(선분)의 방향을 선택하는 것은 가능한 두 방향 중 하나를 선택하는 것이고, 2-단체(삼각형)의 방향을 선택하는 것은 "시계 반대 방향"이 어떤 의미여야 하는지를 선택하는 것과 같다.

2. 2. 사슬 (Chain)

S

를 단체 복합체라고 하자. 단체

k

-사슬은 유한 형식 합

:

\sum_{i=1}^N c_i \sigma_i

이다. 여기서 각각의

c_i

는 정수이고

\sigma_i

는 유향

k

-단체이다. 이 정의에서 각 방향 단체는 방향이 반대인 단체의 음수와 같다고 선언한다. 예를 들어,

:

(v_0,v_1) = -(v_1,v_0).

S

의

k

-사슬 군은

C_k

로 표시된다. 이것은

S

의

k

-단체 집합과 일대일 대응의 기저를 갖는 자유 아벨 군이다. 기저를 명시적으로 정의하려면 각 단체의 방향을 선택해야 한다. 이를 수행하는 한 가지 표준 방법은 모든 꼭짓점의 순서를 선택하고 각 단체에 해당 꼭짓점의 유도된 순서에 해당하는 방향을 지정하는 것이다.

2. 3. 경계 및 사이클 (Boundary and Cycle)

\sigma=(v_0\dots,v_k)

를

C_k

의 기저 원소로 볼 수 있는 유향

k

-단체라고 하자. '''경계 연산자'''

:

\partial_k: C_k \rightarrow C_{k-1}

는 다음과 같이 정의된 준동형사상이다.

:

\partial_k(\sigma)=\sum_{i=0}^k (-1)^i (v_0, \dots, \widehat{v_i}, \dots ,v_k)

여기서 향이 주어진 단체

:

(v_0, \dots, \widehat{v_i}, \dots ,v_k)

는

i

번째 점을 삭제하여 얻은

\sigma

의

i

번째 면이다.

C_k

에서 부분군의 원소

:

Z_k := \ker \partial_k

는 '''사이클''' 이라고하며 하위 군

:

B_k := \operatorname{im} \partial_{k+1}

는 '''경계'''로 구성되어 있다고 한다.

\partial^2 = 0

이다. 이것은 기하학적 용어로 모든 것의 경계에는 경계가 없다는 뜻이다. 동등하게, 아벨 군

:

(C_k, \partial_k)

는 사슬 복합체를 형성한다. 또 다른 동등한 진술은

B_k

가

Z_k

에 포함된다는 것이다.

예를 들어, 정점이

w,x,y,z

방향인 사면체를 고려하자. 정의에 따라 경계는

xyz-wyz+wxz-wxy

로 지정된다. 이 경계의 경계는

(yz-xz+xy)-(yz-wz+wy)+(xz-wz+wx)-(xy-wy+wx)=0

로 지정된다.

3. 호몰로지 군

$S$ 의 $k$ 번째 호몰로지 군 $H_k$ 는 몫 아벨 군

: $H_k(S) = Z_k/B_k$

으로 정의된다. 여기서 $Z_k$ 는 $k$ 차 사이클 군이고, $B_k$ 는 $k$ 차 경계 군이다. 호몰로지 군 $H_k(S)$ 는 경계가 아닌 $k$ -사이클이 있을 때 0이 아니다. 이는 복합체에 $k$ 차원 구멍이 있음을 의미한다.^[3]

예를 들어, 한 모서리를 따라 두 개의 삼각형(내부가 없음)을 붙여서 얻은 복합체 $S$ 를 생각해보자. 각 삼각형의 가장자리는 순환을 형성하도록 방향을 지정할 수 있다. 이 두 사이클은 모든 2-사슬이 0이므로 경계가 아니다. 이때, $H_1(S)$ 는 이 두 사이클을 기저로 하는 $\Z^2$ 와 동형이다. 이는 $S$ 가 두 개의 "1차원 구멍"을 가지고 있다는 비공식적인 개념을 수학적으로 보여준다.

구멍의 차원은 다를 수 있다. $k$ 번째 호몰로지 군의 랭크

: $\beta_k = \operatorname{rank} (H_k(S))\,$

는 $S$ 의 $k$ 번째 베티 수라고 불린다. 베티 수는 $S$ 의 $k$ 차원 구멍의 수를 측정하는 척도를 제공한다.

3. 1. 호몰로지 군 계산 예시

S^영어를 내부가 없는 삼각형으로 나타내는 단체 복합체라고 가정한다. S^영어는 3개의 꼭짓점(

v_0, v_1, v_2

)과 3개의 1차원 단체(모서리)를 갖는다. S^영어의 호몰로지 군을 계산하기 위해 사슬 군

C_k

를 설명하면 다음과 같다.

$C_0$ 는 기저 $(v_0), (v_1), (v_2)$ 를 가지며, 자유 아벨군 $\Z^3$ 와 동형이다.
$C_1$ 은 유향 1-단체들 $(v_0, v_1)$ , $(v_0, v_2)$ , $(v_1, v_2)$ 를 기저로 가지며, $\Z^3$ 와 동형이다.
$C_2$ 는 내부가 없는 삼각형이므로 $(v_0, v_1, v_2)$ 같은 단체가 없어 자명군이다. 더 높은 차원의 사슬군들도 마찬가지로 자명군이다.

'''경계 준동형사상'''

\partial : C_1\rightarrow C_0

은 다음과 같이 정의된다.

:

\partial(v_0,v_1) = (v_1)-(v_0)

:

\partial(v_0,v_2) = (v_2)-(v_0)

:

\partial(v_1,v_2) = (v_2)-(v_1)

C_{-1}=0

이므로 모든 0-사슬은 사이클이다(즉,

Z_0=C_0

). 또한, 0-경계의 군

B_0

은 위 방정식의 오른쪽에 있는 세 개의 원소에 의해 생성되어

C_0

의 2차원 부분군을 생성한다. 따라서 '''0번째 호몰로지 군

H_0(S)=Z_0/B_0

'''는

\Z

와 동형이며, 0-사이클

(v_0)

의 상에 의해 주어진 기저를 갖는다. 실제로 세 꼭짓점 모두 몫 군에서 같아지는데, 이는

S

가 연결 공간이라는 사실을 나타낸다.

1-사이클의 군은 위에서 정의된 준동형사상 ∂의 커널이며,

(v_0,v_1)-(v_0,v_2)+(v_1,v_2)

에 의해 주어진 기저를 가지는

\Z

와 동형이다. (이 1-사이클은 삼각형 주위를 두 방향 중 하나로 돌고 있음을 보여준다.)

C_2=0

이므로 1-경계 군은 0이므로 '''첫 번째 호몰로지 군'''

H_1(S)

는

\Z/0\cong \Z

와 동형이다. 이는 삼각형에 하나의 1차원 구멍이 있다는 것을 의미한다.

C_2=0

( 자명군)이므로, 정의상 2-사이클이 없다. 따라서 '''두 번째 호몰로지 군'''

H_2(S)

는 0이다. 0 또는 1이 아닌 모든

i

에 대해

H_i(S)

도 마찬가지이다. 따라서 삼각형의 호몰로지 연결성은 0이다.

S^영어를 내부가 없는 사면체로 나타내는 단체 복합체라고 하면, S^영어는 4개의 0차원 정점, 6개의 1차원 모서리, 4개의 2차원 면을 갖는다. 이 경우,

H_0(S)\cong H_2(S)\cong\Z

이며 다른 모든 군은 자명하다.^[10] 따라서 사면체의 호몰로지 연결성은 0이다.

만약 사면체가 내부를 포함한다면

H_2(S)

는 자명군이 된다.

일반적으로,

S

가

d

차원 단체이면 다음이 성립한다.

$S$ 가 내부 없이 고려된다면 $H_0(S)=\Z$ , $H_{d-1}(S)=\Z$ 이고, 다른 모든 호몰로지는 자명하다.
$S$ 를 내부와 함께 고려하면 $H_0(S)=\Z$ 이고, 다른 모든 호몰로지는 자명하다.

4. 단체 사상 (Simplicial Maps)

''S''와 ''T''를 단체 복합체라고 하자. ''S''에서 ''T''로의 '''단체 사상''' ''f''는 ''S''의 정점 집합에서 ''T''의 정점 집합으로의 함수로, ''S''의 각 단체(정점 집합으로 표시됨)의 상이 ''T''의 단체가 되도록 한다. 단체 사상 $f:S\rightarrow T$ 는 각 정수 ''k''에 대한 호몰로지 군 $H_k(S)\rightarrow H_k(T)$ 의 준동형 사상을 결정한다. 이것은 ''S''의 사슬 복합체에서 ''T''의 사슬 복합체까지의 사슬 사상과 관련된 동형이다. 명시적으로 이 사슬 사상은 다음과 같이 ''k''-사슬에 제공된다.

: $f((v_0, \ldots, v_k)) = (f(v_0),\ldots,f(v_k))$

$f(v_0), \ldots, f(v_k)$ 가 모두 유일하지 않으면 $f((v_0, \ldots, v_k)) =0$ 이다.

이 구조는 단체 호몰로지를 단체 복합체에서 아벨 군으로 가는 함자로 만든다. 이것은 브라우어르 고정점 정리와 단체 호몰로지의 위상 불변성을 포함하여 이론의 적용에 필수적이다.

5. 관련 호몰로지

특이 호몰로지는 계산보다는 이론에 더 적합한 관련 이론이다. 특이 호몰로지는 모든 위상 공간에 대해 정의되며, 삼각 분할이 아닌 위상에만 의존하고, 삼각 분할이 가능한 공간에 대해서는 단체 호몰로지와 일치한다.^[11] 그럼에도 불구하고 단체 복합체의 단체 호몰로지를 자동으로 효율적으로 계산할 수 있기 때문에 단체 호몰로지는 영상 분석, 의료 영상 및 데이터 분석 전반과 같은 실생활에 적용하는 데 중요해졌다.

또 다른 관련 이론은 세포 호몰로지이다.

5. 1. 특이 호몰로지 (Singular Homology)

'''특이 호몰로지'''는 계산보다는 이론에 더 적합한 관련 이론이다. 특이 호몰로지는 모든 위상 공간에 대해 정의되며, 삼각 분할이 아닌 위상에만 의존한다. 삼각 분할할 수 있는 공간에 대한 단체 호몰로지에 동의한다.^[11] 그럼에도 불구하고 단체 복합체의 단체 호몰로지를 자동으로 효율적으로 계산할 수 있기 때문에 단체 호몰로지는 영상 분석, 의료 영상 및 자료 분석 전반과 같은 실생활에 적용하는 데 중요해졌다.

5. 2. 세포 호몰로지 (Cellular Homology)

세포 호몰로지는 CW 복합체에 대해 정의되는 호몰로지 이론이다.^[4]

6. 응용

단체 호몰로지는 특이 호몰로지, 세포 호몰로지와 함께 위상 공간의 호몰로지를 계산하는 데 사용되는 방법 중 하나이다. 특이 호몰로지는 이론적인 측면에 강점이 있는 반면, 단체 호몰로지는 계산이 용이하여 실제 문제 해결에 유용하게 활용된다.^[11]

단체 호몰로지는 특히 위상적 데이터 분석, 의료 영상, 자료 분석 등 다양한 분야에서 활용된다.

6. 1. 위상 데이터 분석 (Topological Data Analysis, TDA)

단체 호몰로지는 데이터 마이닝 분야의 기술인 위상적 데이터 분석에서 중심적인 역할을 한다.^[12] 위상 데이터 분석은 데이터의 위상적 특징을 분석하여 데이터의 구조와 패턴을 파악하는 분야이다.

많은 컴퓨터 응용 프로그램에서 표준적인 시나리오는 위상학적 특징을 찾고자 하는 일련의 점(측정값, 비트 맵의 어두운 픽셀 등)이다. 호몰로지는 단순 복합체와 같은 조합 데이터로부터 쉽게 계산할 수 있으므로 이러한 특징을 검색하는 데 질적인 도구 역할을 할 수 있다. 그러나 먼저 데이터 점을 삼각 분할해야 하는데, 이는 데이터를 단순 복합체 근사로 대체하는 것을 의미한다. 지속적 호몰로지^[5] 계산은 서로 다른 해상도에서 호몰로지를 분석하여 해상도가 변경됨에 따라 지속되는 호몰로지 클래스(구멍)를 등록하는 과정을 포함한다. 이러한 특징은 분자의 구조, X-ray의 종양 및 복잡한 데이터의 클러스터 구조를 감지하는 데 사용할 수 있다.

6. 2. 컴퓨터 프로그램 구현

단순 호몰로지 및 지속적 호몰로지 계산을 위한 다양한 소프트웨어 도구들은 다음과 같다.

MATLAB 도구 상자인 Plex (빈 데 실바, 거너 칼슨)는 [https://web.archive.org/web/20070222070444/http://math.stanford.edu/comptop/programs/ 이 사이트]에서 구할 수 있다.
C++의 독립 실행형 구현은 [http://www.sas.upenn.edu/~vnanda/perseus/index.html Perseus], [http://www.mrzv.org/software/dionysus/ Dionysus] 및 [https://bitbucket.org/phat-code/phat PHAT] 소프트웨어 프로젝트의 일부로 사용할 수 있다.
파이썬의 경우, [https://scikit-tda.org/ scikit-tda], [https://github.com/scikit-tda/persim Persim], [https://github.com/giotto-ai/giotto-tda giotto-tda] 및 기계 학습을 위한 위상적 특징을 생성하는 것을 목표로 하는 [https://gudhi.inria.fr/ GUDHI]와 같은 라이브러리가 있다. 이들은 PyPI 저장소에서 찾을 수 있다.
대규모 단순 복합체의 단순 호몰로지의 정확하고 효율적인 계산은 GAP [https://membres-ljk.imag.fr/Jean-Guillaume.Dumas/Homology/ Simplicial Homology.]를 사용하여 계산할 수 있다.

7. 한국 사회에 대한 적용 및 함의 (중도 진보적 관점)

단순 호몰로지는 한국 사회의 다양한 현상을 분석하고 이해하는 데 유용한 도구가 될 수 있다는 점은 분명하지만, 원본 소스 자료가 제공되지 않아 구체적인 적용 및 함의를 제시하기 어렵다. 제공된 정보가 없으므로, 이 섹션에는 내용을 작성할 수 없다.

8. 같이 보기

단순 호모토피

참조

_[1] 서적 Elements of combinatorial and differential topology American Mathematical Society
_[2] 서적 Basic topology Springer-Verlag
_[3] 웹사이트 More homology computations https://www.youtube.[...] 2012
_[4] 서적 Algebraic topology http://pi.math.corne[...] Cambridge University Press
_[5] 논문 Topological Persistence and Simplification https://geometry.sta[...]
_[6] 서적 Elements of combinatorial and differential topology American Mathematical Society
_[7] 서적 Basic topology Springer-Verlag
_[8] 간행물 American Mathematical Society
_[9] 간행물 Springer-Verlag
_[10] 웹인용 More homology computations https://www.youtube.[...] 2023-05-01
_[11] 간행물 Cambridge University Press
_[12] 논문 Topological Persistence and Simplification https://geometry.sta[...]

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