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리의 세 번째 정리

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목차

1. 개요

리의 세 번째 정리는 단일 연결 실수 리 군과 유한 차원 실수 리 대수 사이의 동치성을 다루는 정리이다. 이는 일반적으로 카르탕의 정리 또는 카르탕-리 정리로 불리며, 소푸스 리가 국소적 가해성, 즉 유한 차원 리 대수 범주와 국소 리 군 범주 사이의 동치성이라는 국소 버전을 증명한 것을 확장한 것이다. 장피에르 세르는 이 정리를 '리의 세 번째 정리'로 명명했으며, 아도 정리, 엘리 카르탕의 증명, 코호몰로지적 방법, 기하학적 증명 등 다양한 증명 방법이 존재한다.

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리의 세 번째 정리

2. 역사

단일 연결 실수 리 군 범주와 유한 차원 실수 리 대수 사이의 동치성은 일반적으로 (20세기 후반 문헌에서) 카르탕의 정리 또는 엘리 카르탕이 증명한 카르탕-리 정리라고 불린다.[1] 소푸스 리는 이전에 마우러-카르탕 방정식의 국소적 가해성, 즉 유한 차원 리 대수 범주와 국소 리 군 범주 사이의 동치성이라는 국소 버전을 증명했다.

리는 그의 결과를 3개의 직접 정리와 3개의 역 정리로 나열했다. 카르탕 정리의 무한소 변형은 본질적으로 리의 세 번째 역 정리였다. 장피에르 세르는 영향력 있는 책[1][8]에서 이를 '''리의 세 번째 정리'''라고 불렀다. 이 이름은 역사적으로 다소 오해의 소지가 있지만 일반화와 관련하여 자주 사용된다.

세르는 그의 책에서 두 가지 증명을 제공했다. 하나는 아도 정리에 기초한 것이고 다른 하나는 엘리 카르탕의 증명을 자세히 설명한 것이다.

2. 1. 소포스 리의 초기 연구

단일 연결 실수 리 군 범주와 유한 차원 실수 리 대수 사이의 동치성은 일반적으로 (20세기 후반 문헌에서) 카르탕의 정리 또는 엘리 카르탕이 증명한 카르탕-리 정리라고 불린다.[1] 소포스 리는 이전에 마우러-카르탕 방정식의 국소적 가해성, 즉 유한 차원 리 대수 범주와 국소 리 군 범주 사이의 동치성이라는 국소 버전을 증명했다.[1]

리는 그의 결과를 3개의 직접 정리와 3개의 역 정리로 나열했다.[1] 카르탕 정리의 무한소 변형은 본질적으로 리의 세 번째 역 정리였다.[1] 장피에르 세르는 영향력 있는 책에서 이를 '''리의 세 번째 정리'''라고 불렀다.[1][8] 이 이름은 역사적으로 다소 오해의 소지가 있지만 일반화와 관련하여 자주 사용된다.[1]

세르는 그의 책에서 아도 정리에 기초한 것과 엘리 카르탕의 증명을 자세히 설명한 것, 두 가지 증명을 제공했다.[1]

2. 2. 엘리 카르탕의 확장

단일 연결 실수 리 군 범주와 유한 차원 실수 리 대수 사이의 동치성은 20세기 후반 문헌에서 카르탕의 정리 또는 엘리 카르탕이 증명한 카르탕-리 정리라고 불린다.[1] 소푸스 리는 이전에 마우러-카르탕 방정식의 국소적 가해성, 즉 유한 차원 리 대수 범주와 국소 리 군 범주 사이의 동치성이라는 국소 버전을 증명했다.

리는 자신의 결과를 3개의 직접 정리와 3개의 역 정리로 나열했다. 카르탕 정리의 무한소 변형은 본질적으로 리의 세 번째 역 정리였다. 장피에르 세르는 자신의 책에서 이를 '''리의 세 번째 정리'''라고 불렀다.[1] 이 명칭은 역사적으로 다소 오해의 소지가 있는 것으로 알려져 있다.[1]

세르는 그의 책에서 아도 정리에 기초한 것과 엘리 카르탕의 증명을 자세히 설명한 것, 두 가지 증명을 제공했다.[8]

2. 3. 장피에르 세르의 영향

단일 연결 실수 리 군 범주와 유한 차원 실수 리 대수 사이의 동치성은 20세기 후반 문헌에서 카르탕의 정리 또는 엘리 카르탕이 증명한 카르탕-리 정리라고 불린다.[1] 소푸스 리는 이전에 마우러-카르탕 방정식의 국소적 가해성, 즉 유한 차원 리 대수 범주와 국소 리 군 범주 사이의 동치성이라는 국소 버전을 증명했다. 리는 그의 결과를 3개의 직접 정리와 3개의 역 정리로 나열했고, 카르탕 정리의 무한소 변형은 본질적으로 리의 세 번째 역 정리였다.[1] 장피에르 세르는 영향력 있는 책에서 이를 '''리의 세 번째 정리'''라고 불렀다. 이 명칭은 역사적으로 다소 오해의 소지가 있지만 일반화와 관련하여 자주 사용된다.[1] 세르는 그의 책에서 아도 정리에 기초한 증명과 엘리 카르탕의 증명을 자세히 설명한 두 가지 증명을 제시했다.[1]

3. 증명

리의 세 번째 정리에 대한 여러 가지 증명이 있으며, 각각은 서로 다른 대수적이거나 기하학적인 방법을 사용한다. 리 군의 제3정리에 대한 증명은 여러 가지가 있으며, 각 증명은 서로 다른 대수적 및/또는 기하학적 기법을 사용한다.
대수적 증명고전적인 증명은 간단하지만 증명이 대수적이고 아주 비자명한 아도 정리에 의존한다.[9][2] 아도 정리에 따르면 모든 유한 차원 리 대수는 행렬로 표현될 수 있다. 결과적으로 행렬 지수 함수를 통해 이러한 행렬 대수를 적분하면 원래 리 대수를 적분한 리 군이 생성된다.
코호몰로지적 증명엘리 카르탕이 좀 더 기하학적인 증명을 했다.[10] 이 증명은 중심의 차원에 대한 귀납법을 사용하며 슈발레-엘렌베르크 복합체를 연관시킨다.[11] 더욱 기하학적인 증명은 빌렘 판 에스트/Willem van Estnl에 의해 출판되었다.[3] 이 증명은 수학적 귀납법을 사용하여 리 대수의 중심의 차원에 대해 귀납법을 사용하며, 슈발레-에일렌베르크 복합체를 포함한다.[4]
기하학적 증명2000년에 더이스터마트와 콜크는 다른 기하학적 증명을 발견했다.[12][5] 이전의 증명과 달리 이는 구성적 증명이다. 적분 결과인 리 군은 리 대수의 경로들이 이루는 (무한 차원) 바나흐 리 군과 적합한 리 부분 군의 몫으로 구성된다. 이 증명은 리 준군과 리 준대수에 대한 리 세 번째 정리의 일반화를 위한 길을 열었기 때문에 리 이론[13][14]에 영향을 미쳤다.[6][7]

3. 1. 대수적 증명

고전적인 증명은 간단하지만 증명이 대수적이고 아주 비자명한 아도 정리에 의존한다.[9][2] 아도 정리에 따르면 모든 유한 차원 리 대수는 행렬로 표현될 수 있다. 결과적으로 행렬 지수 함수를 통해 이러한 행렬 대수를 적분하면 원래 리 대수를 적분한 리 군이 생성된다.

3. 2. 코호몰로지적 증명

엘리 카르탕이 좀 더 기하학적인 증명을 했다.[10] 이 증명은 중심의 차원에 대한 귀납법을 사용하며 슈발레-엘렌베르크 복합체를 연관시킨다.[11] 더욱 기하학적인 증명은 빌렘 판 에스트/Willem van Estnl에 의해 출판되었다.[3] 이 증명은 수학적 귀납법을 사용하여 리 대수의 중심의 차원에 대해 귀납법을 사용하며, 슈발레-에일렌베르크 복합체를 포함한다.[4]

3. 3. 기하학적 증명

2000년에 더이스터마트와 콜크는 다른 기하학적 증명을 발견했다.[12][5] 이전의 증명과 달리 이는 구성적 증명이다. 적분 결과인 리 군은 리 대수의 경로들이 이루는 (무한 차원) 바나흐 리 군과 적합한 리 부분 군의 몫으로 구성된다. 이 증명은 리 준군과 리 준대수에 대한 리 세 번째 정리의 일반화를 위한 길을 열었기 때문에 리 이론[13][14]에 영향을 미쳤다.[6][7]

4. 한국의 관점

4. 1. 더불어민주당과 진보 진영의 관점

4. 2. 수학 교육과의 연관성

참조

[1] 서적 Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures Given at Harvard University Springer 1992
[2] 웹사이트 Ado's theorem https://terrytao.wor[...] 2011-05-10
[3] 간행물 Une démonstration de E. Cartan du troisième théorème de Lie https://internationa[...] Hermann 1987
[4] 웹사이트 Van Est's exposition of Cartan's proof of Lie's third theorem https://ivv5hpp.uni-[...]
[5] 서적 Lie Groups http://link.springer[...] Springer Berlin Heidelberg 2000
[6] ArXiv Hans Duistermaat's contributions to Poisson geometry 2011-10-25
[7] 저널 Integrability of Lie brackets http://annals.math.p[...] 2003-03-01
[8] 서적 Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures Given at Harvard University Springer 1992
[9] 웹인용 Ado's theorem https://terrytao.wor[...] 2011-05-10
[10] 저널 Une démonstration de E. Cartan du troisième théorème de Lie https://internationa[...] Hermann 1987
[11] 웹인용 Van Est's exposition of Cartan's proof of Lie's third theorem https://ivv5hpp.uni-[...]
[12] 서적 Lie Groups http://link.springer[...] Springer Berlin Heidelberg 2000
[13] ArXiv Hans Duistermaat's contributions to Poisson geometry 2011-10-25
[14] 저널 Integrability of Lie brackets http://annals.math.p[...] 2003-03-01


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